IEEE754浮点数向偶数舍入

素颜马尾好姑娘i 2023-07-18 02:55 36阅读 0赞

### 目录 ###

*  概念介绍
 *  向偶数舍入
 *   *  保留位(Guard bit)、近似位(Round bit)和粘滞位(Sticky bit)
     *  中间值
     *  向偶数舍入 十进制举例
     *  向偶数舍入 二进制举例

# 概念介绍 #

我们大家都知道，浮点数的标准是IEEE754。关于IEEE754格式这里不讲了，主要是要讲一下它的默认舍入方式。  
因为表示方法限制了浮点数的范围和精度，所以使用浮点数只能近似地表示实数运算。而此时就不得不考虑舍入的问题了。舍入的原则是找到最接近的匹配值。  
为此，IEEE754定义了四种不同的舍入方式：

*  向偶数舍入
 *  向零舍入
 *  向下舍入
 *  向上舍入  
    IEEE754默认采用向偶数舍入，用来找到最接近的匹配近似值。而其他三种方式则用于计算上下界。

下表是按照四种不同的方式保留整数后的舍入结果：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0Jha2VyVGhlR3JlYXQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]

对于上表，除了向偶数舍入之外，大家应该都很熟悉了。会不会有人产生疑问：1.40向偶数舍入的结果竟然是一个奇数。哈哈，如果你有这个疑问，那表明你还没有搞懂什么是向偶数舍入。

# 向偶数舍入 #

所谓向偶数舍入(round-to-even)，其真实的意思是向最接近的值舍入(round-to-nearest)。用通俗的话讲就是四舍六入五成双，或者四舍六入五凑偶。当然这句通俗的口诀是针对十进制来说的。  
向偶数舍入只有两条规则：

1.  如果最接近的值唯一，则直接向最接近的值舍入；
2.  如果是处在“中间值”，那么要看保留位(Guard bit)是否是偶数，如果是偶数则直接舍去后面的数不进位，如果是奇数则进位后再舍去后面的数。

只要理解了上面两条规则，那么就完全掌握了向偶数舍入。为了详细解读这两条规则，下面将分别用十进制和二进制来举例说明。

## 保留位(Guard bit)、近似位(Round bit)和粘滞位(Sticky bit) ##

我们以十进制数来举例。如果我们想保留两位小数，即留下十分位和百分位上的数。那么保留位(Guard bit)就是结果的最低位，即百分位；近似位(Round bit)就是第一个被舍掉的位，即千分位；而千分位之后的所有位（包括万分位、十万分位等等）或起来构成粘滞位(Sticky bit)。

同理，对于二进制，如果我们想要保留两位小数，那么小数点右边第二位就是保留位(Guard bit)，小数点右边第三位就是近似位(Round bit)，小数点右边第四位开始一直向右的所有小数位或起来构成粘滞位(Sticky bit)。  
用CMU的课件也许更容易理解一点。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0Jha2VyVGhlR3JlYXQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

## 中间值 ##

在进行举例说明之前，我们有必要引入一个中间值的概念。这对于理解 “向偶数舍入” 至关重要。对于十进制来说，如果要保留一位小数，即百分位和百分位之后的小数都会被近似掉，那么此时中间值就是xxx.x5000…（5之后全零）。  
也就是说，求中间值的方法如下：

1.  保留位(Guard bit)和左边的数字保持不变；
2.  近似位(Round bit)改写为N/2（N为进制数，十进制就是10，二进制就是2）
3.  粘滞位(Sticky bit)全部写零

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th align="center">原始值(十进制)</th> 
   <th align="center">中间值 (保留一位小数)</th> 
   <th align="center">中间值 (保留两位小数)</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td align="center">1.334</td> 
   <td align="center">1.350</td> 
   <td align="center">1.335</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">1.622</td> 
   <td align="center">1.650</td> 
   <td align="center">1.625</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">1.744</td> 
   <td align="center">1.750</td> 
   <td align="center">1.745</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">1.835</td> 
   <td align="center">1.850</td> 
   <td align="center">1.835</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">1.668</td> 
   <td align="center">1.650</td> 
   <td align="center">1.665</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">1.774</td> 
   <td align="center">1.750</td> 
   <td align="center">1.775</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">1.488</td> 
   <td align="center">1.450</td> 
   <td align="center">1.485</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th align="center">原始值(二进制)</th> 
   <th align="center">中间值 (保留一位小数)</th> 
   <th align="center">中间值 (保留两位小数)</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td align="center">1.101</td> 
   <td align="center">1.110</td> 
   <td align="center">1.101</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">101.111</td> 
   <td align="center">101.110</td> 
   <td align="center">101.111</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">11.001</td> 
   <td align="center">11.010</td> 
   <td align="center">11.001</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">1.010</td> 
   <td align="center">1.010</td> 
   <td align="center">1.011</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="center">1.100</td> 
   <td align="center">1.110</td> 
   <td align="center">1.101</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 向偶数舍入 十进制举例 ##

对于以下十进制的数值，我们采用向偶数舍入的方式，保留精确度到十分位，即保留一位小数。

1.  请看第一组例子：
    
    <table> 
     <thead> 
      <tr> 
       <th align="center">原始值</th> 
       <th align="center">中间值</th> 
       <th align="center">近似值 (向偶数舍入)</th> 
      </tr> 
     </thead> 
     <tbody> 
      <tr> 
       <td align="center">1.36</td> 
       <td align="center">1.35</td> 
       <td align="center">1.4</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.751</td> 
       <td align="center">1.75</td> 
       <td align="center">1.8</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.852</td> 
       <td align="center">1.85</td> 
       <td align="center">1.9</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.77</td> 
       <td align="center">1.75</td> 
       <td align="center">1.8</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.45001</td> 
       <td align="center">1.45</td> 
       <td align="center">1.5</td> 
      </tr> 
     </tbody> 
    </table>
    
    可以看到，上述这些原始值都比中间值要大，也就是“四舍六入五成双”中的“六入”。所以都向十分位进一，从而使得损失的精度最小。
2.  请看第二组例子：
    
    <table> 
     <thead> 
      <tr> 
       <th align="center">原始值</th> 
       <th align="center">中间值</th> 
       <th align="center">近似值 (向偶数舍入)</th> 
      </tr> 
     </thead> 
     <tbody> 
      <tr> 
       <td align="center">1.33</td> 
       <td align="center">1.35</td> 
       <td align="center">1.3</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.74</td> 
       <td align="center">1.75</td> 
       <td align="center">1.7</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.82</td> 
       <td align="center">1.85</td> 
       <td align="center">1.8</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.71</td> 
       <td align="center">1.75</td> 
       <td align="center">1.7</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.43</td> 
       <td align="center">1.45</td> 
       <td align="center">1.4</td> 
      </tr> 
     </tbody> 
    </table>
    
    可以看到，上述这些原始值都比中间值要小，也就是“四舍六入五成双”中的“四舍”。所以直接舍弃，不进位，从而使得损失的精度最小。
3.  请看第三组例子：
    
    <table> 
     <thead> 
      <tr> 
       <th align="center">原始值</th> 
       <th align="center">中间值</th> 
       <th align="center">近似值 (向偶数舍入)</th> 
      </tr> 
     </thead> 
     <tbody> 
      <tr> 
       <td align="center">1.35</td> 
       <td align="center">1.35</td> 
       <td align="center">1.4</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.75</td> 
       <td align="center">1.75</td> 
       <td align="center">1.8</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.85</td> 
       <td align="center">1.85</td> 
       <td align="center">1.8</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.25</td> 
       <td align="center">1.25</td> 
       <td align="center">1.2</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.45</td> 
       <td align="center">1.45</td> 
       <td align="center">1.4</td> 
      </tr> 
     </tbody> 
    </table>
    
    可以看到，上述这些原始值和中间值相等，也就是“四舍六入五成双”中的“五成双”。对于这些和中间值完全相等的原始值，我们考察保留位(Guard bit)，如果保留位是偶数，则直接舍弃近似位(Round bit)和粘滞位(Sticky bit)；如果保留位是奇数，则先向保留位进一，之后舍弃近似位(Round bit)和粘滞位(Sticky bit)。这样，结果中的保留位就是偶数了。这就是向偶数舍入 名字的由来。

## 向偶数舍入 二进制举例 ##

对于以下二进制的数值，我们采用向偶数舍入的方式，保留一位小数。

1.  请看第一组例子：
    
    <table> 
     <thead> 
      <tr> 
       <th align="center">原始值(二进制)</th> 
       <th align="center">中间值</th> 
       <th align="center">近似值 (向偶数舍入)</th> 
      </tr> 
     </thead> 
     <tbody> 
      <tr> 
       <td align="center">1.111</td> 
       <td align="center">1.11</td> 
       <td align="center">10.0</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.0101</td> 
       <td align="center">1.01</td> 
       <td align="center">1.1</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.0111</td> 
       <td align="center">1.01</td> 
       <td align="center">1.1</td> 
      </tr> 
     </tbody> 
    </table>
    
    可以看到，上述这些原始值都比中间值要大，也就是“四舍六入五成双”中的“六入”。所以都向小数点右边第1位进一，从而使得损失的精度最小。
2.  请看第二组例子：
    
    <table> 
     <thead> 
      <tr> 
       <th align="center">原始值(二进制)</th> 
       <th align="center">中间值</th> 
       <th align="center">近似值 (向偶数舍入)</th> 
      </tr> 
     </thead> 
     <tbody> 
      <tr> 
       <td align="center">1.001</td> 
       <td align="center">1.01</td> 
       <td align="center">1.0</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.10</td> 
       <td align="center">1.11</td> 
       <td align="center">1.1</td> 
      </tr> 
     </tbody> 
    </table>
    
    可以看到，上述这些原始值都比中间值要小，也就是“四舍六入五成双”中的“四舍”。所以直接舍弃，不进位，从而使得损失的精度最小。
3.  请看第三组例子：
    
    <table> 
     <thead> 
      <tr> 
       <th align="center">原始值(二进制)</th> 
       <th align="center">中间值</th> 
       <th align="center">近似值 (向偶数舍入)</th> 
      </tr> 
     </thead> 
     <tbody> 
      <tr> 
       <td align="center">1.110</td> 
       <td align="center">1.11</td> 
       <td align="center">10.0</td> 
      </tr> 
      <tr> 
       <td align="center">1.010</td> 
       <td align="center">1.01</td> 
       <td align="center">1.0</td> 
      </tr> 
     </tbody> 
    </table>
    
    可以看到，上述这些原始值和中间值相等，也就是“四舍六入五成双”中的“五成双”。对于这些和中间值完全相等的原始值，我们考察保留位(Guard bit)，如果保留位是偶数，则直接舍弃近似位(Round bit)和粘滞位(Sticky bit)；如果保留位是奇数，则先向保留位进一，之后舍弃近似位(Round bit)和粘滞位(Sticky bit)。这样，结果中的保留位就是偶数了。这就是向偶数舍入 名字的由来。

怎么样？现在彻底搞懂什么是向偶数舍入了吧。

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0Jha2VyVGhlR3JlYXQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20230528/13107d5172b8431d992f96d1ca3396c5.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0Jha2VyVGhlR3JlYXQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20230528/4087912467a0475a8c7f117e800e0970.png