matlab常用函数之傅里叶变换&傅里叶级数&频谱分析（1）

ゞ浴缸里的玫瑰 2023-07-24 13:29 81阅读 0赞

# **一、连续时间** #

### **从傅里叶级数(FS)到傅里叶变换(FT)（周期信号到非周期信号）** ###

（1）任意周期函数都可以写成三角函数之和。

（2）傅立叶级数是针对周期函数的，为了可以处理非周期函数，需要傅立叶变换。

![20200412142055489.png][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d1d3VrdTEyMw_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

既：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d1d3VrdTEyMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

![20200412142251581.png][]

# **二、离散时间** #

### **从傅里叶级数到傅里叶变换（周期信号到非周期信号）** ###

> 理解一个公式：
> 
>  *  y=A\*cos(ω\*t+φ)+b（A＞0，0＜φ＜π/2）；
>  *  y=A\*cos(（2\*pi/T）\*t+φ)+b（A＞0，0＜φ＜π/2）；% T为余弦信号(y)的周期；
>  *  y=A\*cos((2\*pi\*f)\*t+φ)+b（A＞0，0＜φ＜π/2）；% f为信号频率
> 
> 抛开时间抛开采样频率，只看点的个数，我们对某个余弦信号在两个周期内采样了40次：如下：
> 
> ![20200412154601315.png][]
> 
> matlab画图：
> 
>     n = 0:39;
>     y = cos(2*pi*(2*n)/40);
>     stem(n,y);
>     figure
>     plot(n,y)
> 
> ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d1d3VrdTEyMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]
> 
> 频率信号：
> 
>     stem(n, abs(fft(y)));
> 
> ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d1d3VrdTEyMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

*  **信号频率：**以余弦函数表达式为例：y=A\*cos((2\*pi\*f)\*t+φ)+b（A＞0，0＜φ＜π/2）；% f为信号频率

信号频率为 f；如果要对其信号进行采样，必须满足奈奎斯特采样定率，即采样频率**(Fs**)大于2\*f HZ；

*  **采样频率Fs/采样周期Ts：**
 *  **频率分辨率/频率间隔：Fs/N 100/40=2.5**

**以上面介绍为例：**

上面的信号是40个采样，如果给一个采样频率是100Hz，那么信号长度就是0.4s，原信号在40个采样内振动了两个周期，可以算出其频率为5Hz。

对于频域，每个“在40个采样内振动了k个周期”的基信号的实际频率为![20200412155448830.png][] ，也就是说频域图中的每一个点代表2.5Hz，这个系统的频域分辨率是2.5Hz，所以原信号的实际频率为![20200412155549577.png][]

# **三、采样频率和信号带宽** #

### 1、采样频率： ###

采样频率，也称为采样速度或者采样率，定义了每秒从连续信号中提取并组成离散信号的采样个数，它用赫兹（Hz）来表示。采样频率的倒数是采样周期或者叫作采样时间，它是采样之间的时间间隔。通俗的讲采样频率是指计算机每秒钟采集多少个信号样本。

采样定理是指，如果信号带宽不到采样频率的一半（即奈奎斯特频率），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

### 2、信号带宽： ###

由信号频谱图可以观察到一个信号所包含的频率成分。把一个信号所包含谐波的最高频率与最低频率之差，即该信号所拥有的频率范围，定义为该信号的带宽。因此可以说，信号的频率变化范围越大，信号的带宽就越宽。

# **四、角频率、归一化频率** #

**1、实际信号的物理频率f：**

表示AD采集物理信号的频率，fs为采样频率，由奈奎斯特采样定理可以知道，fs必须≥信号最高频率(f)的2倍才不会发生信号混叠，因此fs能采样到的信号最高频率为fs/2。单位：Hz

2、**角频率(角速度)Ω/模拟频率：**

是实际物理频率f的2\*pi倍，这个也称模拟频率，单位: rad/s。

Ω=2pi\*f=2pi/T，T=1/f=2pi/Ω

**3、归一化频率：**

是将物理频率f按fs归一化之后的结果，最高的信号频率为fs/2对应归一化频率0.5。**这也就是为什么在matlab的fdtool工具中归一化频率为什么最大只到0.5的原因。 单位：无。**

**4、圆周频率w/数字频率** ：

是归一化频率的2\*pi倍，这个也称数字频率。数字频率w：单位: rad。

w=2\*pi\*(f/fs)=ΩTs=Ω/fs

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d1d3VrdTEyMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

**举例：**

假定有一个正弦信号x\[n\]，其频率f=100Hz，幅度为A，初始相位为0，则这个信号用公式可以表示为：

x(t) =A\*sin(2\*pi\*100\*t)

用采样频率fs=500Hz对其进行采样，得到的数字信号x\[n\]为：

x\[n\] =A\*sin(2\*pi\*100\*n/fs)= A\*sin(0.4\*pi\*n)

很明显，这个数字信号的频率为0.4pi 。

参考：

1、[如何理解傅立叶级数公式？][Link 1]

2、[如何通俗地解释欧拉公式（e^πi+1=0）？][e_i_1_0]

3、[ 如何通俗地理解傅立叶变换？][Link 2]

4、[ 从傅立叶级数到傅立叶变换][Link 3]

5、[采样频率][Link 4]

6、[信号带宽][Link 5]

7、[数字角频率和模拟角频率和物理频率和归一化角频率的关系，及FFT频率和实际物理频率的关系分析][FFT]

8、[模拟角频率和数字角频率的关系][Link 6]

9、[如何通俗地解释泰勒公式？][Link 7]

[20200412142055489.png]: /images/20230528/98d0ed94f39b4e8da2d289c534342374.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d1d3VrdTEyMw_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20230528/21c6eabe17de42dca6ec17f67a06b4ae.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d1d3VrdTEyMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20230528/10d30e895e034e5699471f2a07b02882.png
[20200412142251581.png]: /images/20230528/755c25171e35446ea1206b249419c56e.png
[20200412154601315.png]: /images/20230528/56a00597aa5b4fabb0a10d299ecce7fd.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d1d3VrdTEyMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20230528/e2b05449913346cf81562e19ce61d7af.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d1d3VrdTEyMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20230528/7093273d75184dbeae4fc90611b469d0.png
[20200412155448830.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200412155448830.png
[20200412155549577.png]: /images/20230528/0520a202f930491f9e25f44f2d4af21f.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3d1d3VrdTEyMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20230528/dabae9ad7feb4e1c80423f4372e60bdc.png
[Link 1]: https://www.matongxue.com/madocs/619.html
[e_i_1_0]: https://www.matongxue.com/madocs/8.html
[Link 2]: https://www.matongxue.com/madocs/473.html
[Link 3]: https://www.matongxue.com/madocs/712.html
[Link 4]: https://baike.baidu.com/item/%E9%87%87%E6%A0%B7%E9%A2%91%E7%8E%87/1494233?fr=aladdin
[Link 5]: https://baike.baidu.com/item/%E4%BF%A1%E5%8F%B7%E5%B8%A6%E5%AE%BD
[FFT]: https://blog.csdn.net/weixin_43478836/article/details/88751302
[Link 6]: https://blog.csdn.net/jyfu2_12/article/details/78650858
[Link 7]: https://www.matongxue.com/madocs/7.html