Matlab之FFT变换

àì夳堔傛蜴生んèń 2023-07-24 11:34 31阅读 0赞

> 采集到一段信号，我们最想做的就是看信号的波形图以及信号的频谱图。波形图好画，但频谱图一直很难理解怎么画。而且自己采集到的一段信号可能是频率时变的，就需要窗函数截取信号，然后滑动查看信号频域变化。这种方法展示频域随时间的变化不太明显，就需要做时频分析，以期得到频域变化图。

# 1.采样定理 #

对于一个正弦波信号，可以写为如下的形式：

![20200411102337202.png][]

其中：

A是信号的振幅；

f 是信号的频率；

![\\varphi][varphi]是信号的初始相位；

k 是信号的噪声电平；

则，一个信号振幅为4V，频率为1Hz的电压信号可以绘制如下：

clc;clear;close all;
    %% 参数初始化
    A=4;%振幅
    f=1;%频率
    v=0;%初始相位
    k=0;%噪声电平
    
    fs=100;%采样频率
    
    %% 画出波形
    t = 0:1/fs:2;        
    
    x = A*sin(2*pi*f*t+v)+k;%弧度为单位
    plot(t,x,'LineWidth',1)
    grid on
    xlabel('时间/s','FontSize',13);%设置x轴标签
    ylabel('电压值/V','FontSize',13);%设置y轴标签

绘制结果如下：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

**根据奈奎斯特采样定理（Nyquist-Shannon 采样定理）：信号采样率fs必须大于被测信号感兴趣最高频率分量的两倍。**通常希望采样率大于信号频率约五倍。

## 实验验证1：对于振幅是4V，频率为1Hz的信号，使用1Hz的采样率进行采样 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

## 实验验证2：对于振幅是4V，频率为1Hz的信号，使用2Hz的采样率进行采样 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

## 实验验证3：对于振幅是4V，频率为1Hz的信号，使用4Hz的采样率进行采样 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

## 实验验证4：对于振幅是4V，频率为1Hz的信号，使用8Hz的采样率进行采样 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

## 实验验证5：对于振幅是4V，频率为1Hz的信号，使用16Hz的采样率进行采样 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]

## 结论： ##

从图中可以看出，随着采样率的提高，波形越来越趋近原始波形。当采样率只是信号频率的2倍时，其实信号畸变还是非常严重的，基本到4倍左右，才能基本看出波形周期和振幅。

# 2.FFT得到信号频谱图 #

参考文章链接：[https://blog.csdn.net/qq\_29689907/article/details/82793459][https_blog.csdn.net_qq_29689907_article_details_82793459]

信号的频谱分析分为：**实信号**和**复数信号**的频谱分析。

实信号的频谱特点：关于原点对称，是双边谱。

复信号的频谱特点：只存在正频域部分，单边谱。

**复信号是实际信号处理常用的表示形式：x=x\_re+j\*x\_im；分为实部和虚部，虚部是实部的希尔伯特变换。**

## 2.1 实信号的频谱分析 ##

由于实信号是双边谱，因此可以看到信号的负频率。而进行了信号的时域采样，因此使得频域出现了周期性，周期为采样率。

使用fft得到只有正频域的，可以在正频率部分看到两根谱线（**fft(x)运算后得到的是N的结果对应\[0,fs\]频点的对应的值，进行(abs(fft(x))\*2/N)后才是对应的真是幅度值**）。为了看到负频率部分的频谱，我们可以使用**shiftfft函数**，使用shiftfft时需要注意的是横坐标刻度是\[-fs/2,fs/2\]。

使用fft函数绘出实信号的频谱图：采样周期20Hz，由于周期性，19Hz的频点其实是负频率。

clc;clear;close all;
    %% 参数初始化
    A=4;%振幅
    f=1;%频率
    v=0;%初始相位
    k=0;%噪声电平
     
    fs=20;%采样频率
     
    %% 画出波形
    t = 1/fs:1/fs:2;        
     
    x = A*sin(2*pi*f*t+v)+k;%弧度为单位
    plot(t,x,'LineWidth',1)
    grid on
    xlabel('时间/s','FontSize',13);%设置x轴标签
    ylabel('电压值/V','FontSize',13);%设置y轴标签
     
    %% 画出fft后的频谱图
    N=length(x);
    figure(2);
    f1_index=(0:N-1)*(fs/N);
    y1=abs(fft(x)).*2/N;
    plot(f1_index,y1);
    xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度(V)');

绘制结果如下：这里要注意**点数必须为偶数，不能是奇数，否则会出现频率误差**。推荐的点数是2的幂次方，如1024等等。因为fft不足2的幂次方会补零，造成频率域扩宽。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 6][]

使用shiftfft绘制实信号的频谱图：采样周期20Hz

clc;clear;close all;
    %% 参数初始化
    A=4;%振幅
    f=1;%频率
    v=0;%初始相位
    k=0;%噪声电平
     
    fs=20;%采样频率
     
    %% 画出波形
    t = 1/fs:1/fs:2;        
     
    x = A*sin(2*pi*f*t+v)+k;%弧度为单位
    plot(t,x,'LineWidth',1)
    grid on
    xlabel('时间/s','FontSize',13);%设置x轴标签
    ylabel('电压值/V','FontSize',13);%设置y轴标签
     
    %% 画出fft后的频谱图
    N=length(x);
    figure(2);
    f2_index = (-N/2:(N-1)/2)*(fs/N);
    y2=abs(fftshift(fft(x))).*2/N;
    plot(f2_index,y2);
    xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度(V)');

绘制结果如下：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 7][]

## 2.2 复信号的频域分析 ##

# 3.得到信号时频图 #

# 4.名词解释 #

## 4.1 负频率 ##

关于负频率，目前的理解有两个，**第一个看法**是没有实际意义，可以看到，**对信号进行傅里叶变换之后信号从实数域被转换到了复数域**，而之所以会出现负频率，正是为了消除信号的虚部。实际上，傅里叶级数展开后，负频率对实部与对应正频率相同，而虚部相反从而消除虚部，从这个意义上来说，负频率没有实际的物理意义而纯粹是数学处理，**另一个看法**是负频率也可以存在，他可以理解为信号在复平面上的正转与反转，而负频率对应的正式反转。

[20200411102337202.png]: /images/20230528/fe76b9d1a4a9428f95dadf9336e99f49.png
[varphi]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarphi
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20230528/30b7faee0bc1417698363e2af1826b3d.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20230528/e81f225df5d64df8b318e6be0d1c5219.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20230528/c4f971bc13b44d5db1e6b69ff7c236ab.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20230528/a2eb010ae66a4144bbed891b4ff17271.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20230528/3591365adfb343f1a1b6d6d9c8430e44.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: /images/20230528/c7a3d8b05d4246a2a03661d895f08f73.png
[https_blog.csdn.net_qq_29689907_article_details_82793459]: https://blog.csdn.net/qq_29689907/article/details/82793459
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]: /images/20230528/ff24f3306ce74e7a9e88024ceff111ad.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]: /images/20230528/58a122228c834582b9ee8b988d2b6a00.png