[每日一道小算法（六十三）] [查找/数学] 整数中1出现的个数（剑指offer）

快来打我* 2023-07-07 11:21 19阅读 0赞

前言：  
数学题啊，真的是太难了，真的学好数理化走遍全天下呀！！！！！

### 题目描述 ###

求出113的整数中1出现的次数,并算出1001300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

### 解题思路 ###

我先说自己的方法吧，也成功通过了，时间复杂度是O（n）。有点高了。我是使用StringBuilder来实现的。也是通过字符串将所有数字保存。然后查找1的个数。进行计数即可。实现很简单，但是不是最优解。  
再说一下一个比较好的方法。时间复杂度是O（logn）。  
主要思路：设定整数点（如1、10、100等等）作为位置点i（对应n的各位、十位、百位等等），分别对每个数位上有多少包含1的点进行分析  
根据设定的整数位置，对n进行分割，分为两部分，高位n/i，低位n%i  
当i表示百位，且百位对应的数>=2,如n=31456,i=100，则a=314,b=56，此时百位为1的次数有a/10+1=32（最高两位0~31），每一次都包含100个连续的点，即共有(a%10+1)*100个点的百位为1  
当i表示百位，且百位对应的数为1，如n=31156,i=100，则a=311,b=56，此时百位对应的就是1，则共有a%10(最高两位0-30)次是包含100个连续点，当最高两位为31（即a=311），本次只对应局部点00~56，共b+1次，所有点加起来共有（a%10*100）+(b+1)，这些点百位对应为1  
当i表示百位，且百位对应的数为0,如n=31056,i=100，则a=310,b=56，此时百位为1的次数有a/10=31（最高两位0~30）  
综合以上三种情况，当百位对应0或>=2时，有(a+8)/10次包含所有100个点，还有当百位为1(a%101)，需要增加局部点b+1  
之所以补8，是因为当百位为0，则a/10(a+8)/10，当百位>=2，补8会产生进位位，效果等同于(a/10+1)

### 代码样例 ###

#### 方法一 ####

package com.asong.leetcode.NumberOf1Between1AndN_Solution;
    
    /** * 整数中1出现的次数 * 求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包 * 含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。 * ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数） */
    public class Solution { 
        public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) { 
            StringBuffer stringBuffer = new StringBuffer();
            for (int i = 1; i <=n ; i++) { 
                stringBuffer.append(i);
            }
            int result = 0;
            for (int i = 0; i < stringBuffer.length(); i++) { 
                if(stringBuffer.charAt(i) == '1')
                { 
                    result++;
                }
            }
            return result;
        }
    }

#### 方法二 ####

package com.asong.leetcode.NumberOf1Between1AndN_Solution;
    
    /** * 整数中1出现的次数 * 思路： * */
    public class Solution1 { 
        public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) { 
            int cnt = 0;
            for (int m = 1; m <= n; m *= 10) { 
                int a = n / m, b = n % m;
                cnt += (a + 8) / 10 * m + (a % 10 == 1 ? b + 1 : 0);
            }
            return cnt;
        }
    }