KL散度、交叉熵与JS散度数学公式以及代码例子

曾经终败给现在 2022-11-10 14:16 498阅读 0赞

# KL散度、交叉熵与JS散度数学公式以及代码例子 #

## 1.1 KL 散度概述 ##

**KL 散度** ，Kullback-Leibler divergence，（也称相对熵，relative entropy）是概率论和信息论中十分重要的一个概念，是两个概率分布（probability distribution）间差异的非对称性度量。

对离散概率分布的  **KL 散度**  计算公式为：  
 K L ( p ∣ ∣ q ) = ∑ p ( x ) log ⁡ p ( x ) q ( x )            ( 1 ) KL(p||q)=\\sum p(x)\\log\{ \{p(x)\}\\over\{q(x)\}\} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (1) KL(p∣∣q)=∑p(x)logq(x)p(x)          (1)

对连续概率分布的  **KL 散度**  计算公式为：  
 K L ( p ∣ ∣ q ) = ∫ p ( x ) log ⁡ p ( x ) q ( x ) d x           ( 2 ) KL(p||q)=\\int p(x)\\log \{ \{p(x)\}\\over\{q(x)\}\}dx \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (2) KL(p∣∣q)=∫p(x)logq(x)p(x)dx         (2)

一般情况下，我们得到的数据都是离散的。

**KL 散度**  的重要性质：

*   **KL 散度**  的结果是非负的。
 *   **KL 散度**  是非对称的，即  K L ( p ∣ ∣ q )   ! =   K L ( q ∣ ∣ p ) KL(p||q) \\ !=\\ KL(q||p) KL(p∣∣q) != KL(q∣∣p)

具体内容参考 \[1\] 《深度学习轻松学》。

## 1.2 KL 散度计算方法的代码实现 ##

### 1.2.1 自己编写代码 ###

请结合 **公式 (1)** 理解以下代码：

import numpy as np
    import math
    
    def KL(p,q):
        # p,q 为两个 list，表示对应取值的概率 且 sum(p) == 1 ，sum(q) == 1
        return sum(_p*math.log(_p/_q) for (_p,_q) in zip(p,q) if _p != 0 )
    
    P = [0.2, 0.4, 0.4]
    Q = [0.4, 0.2, 0.4]
    
    print(KL(P,Q))

输出内容为：

0.13862943611198905

**计算过程**： K L ( P , Q ) = 0.2 ∗ log ⁡ 0.2 0.4 + 0.4 ∗ log ⁡ 0.4 0.2 + 0.4 ∗ log ⁡ 0.4 0.4 = 0.13862943611198905 KL(P,Q) = 0.2\*\\log\{ \{0.2\}\\over\{0.4\}\}+0.4\*\\log\{ \{0.4\}\\over\{0.2\}\}+0.4\*\\log\{ \{0.4\}\\over\{0.4\}\}=0.13862943611198905 KL(P,Q)=0.2∗log0.40.2\+0.4∗log0.20.4\+0.4∗log0.40.4=0.13862943611198905

当然如果是 **二分类问题** 计算过程也是一样的。

import numpy as np
    import math
    
    def KL(p,q):
        # p,q 为两个 list，表示对应取值的概率 且 sum(p) == 1 ，sum(q) == 1
        return sum(_p*math.log(_p/_q) for (_p,_q) in zip(p,q) if _p != 0 )
    
    P = [0, 1]
    Q = [0.4,0.6]
    
    print(KL(P,Q))

输出结果为：

0.5108256237659907

可以自己复制粘贴填写更多测试数值，需要 **保证**：

*  P 中每一组的各项的和为 1
 *  Q 中每一组各项的和为 1
 *  Q 中每一组不允许出现 0

注意：  以上内容只考虑维度为 1 的情况，如 P=\[\[0.1,0.2,0.7\],\[0.2,0.3,0.5\]\] 这种情况没有考虑到。

### 1.2.2 使用已存在的库 scipy ###

from scipy import stats
    
    P = [0.2, 0.4, 0.4]
    Q = [0.4, 0.2, 0.4]
    stats.entropy(P,Q)

输出内容为：

0.13862943611198905

和上面的例子一样，可以测试那些数据。

## 2.1 交叉熵基本概述 ##

**交叉熵**（Cross Entropy）是 Shannon 信息论中一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。

对 **二分类** 任务的  **交叉熵**  计算公式为：

C r o s s E n t r o p y   ( y , y ^ ) = − ( y ∗ log ⁡ ( y ^ ) + ( 1 − y ) ∗ log ⁡ ( 1 − y ^ ) )           ( 3 ) Cross Entropy\\ (y, \{\\hat y\}) = -(y\*\\log(\\hat y)+(1-y)\*\\log(1-\\hat y)) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (3) CrossEntropy (y,y^)=−(y∗log(y^)\+(1−y)∗log(1−y^))         (3)  
其中， y y y 可以理解为数据集中的 **label**，也就是接下来例子中的  y t r u e y\_\{true\} ytrue；而  y ^ \\hat y y^ 可以理解与模型的预测标签，也就是接下来的例子中的  y p r e d y\_\{pred\} ypred。

注意： 如果二分类问题时， y y y 的取值并非 \[0,1\] 两种这种正常模式，需要分别求和再求均值，这一部分内容将会在后面 **2.3** 进行讨论。

对 **多分类** 任务的交叉熵计算公式为：

C r o s s E n t r o p y   ( y , y ^ ) = ∑ y ∗ log ⁡ ( 1 y ^ )              ( 4 ) Cross Entropy\\ (y, \{\\hat y\}) = \\sum y\*\\log (\{ \{1\}\\over\{\\hat y\}\}) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (4) CrossEntropy (y,y^)=∑y∗log(y^1)            (4)  
公式 4 可以写成如下格式：

C r o s s E n t r o p y   ( y , y ^ ) = − ∑ y ∗ log ⁡ ( y ^ )              ( 5 ) Cross Entropy\\ (y, \{\\hat y\}) = -\\sum y\*\\log (\{\\hat y\}) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (5) CrossEntropy (y,y^)=−∑y∗log(y^)            (5)

其中， **多分类** 任务的计算公式同样适用于 **二分类** ，因为二分类任务直接等于两个概率运算的和，所以没必要加  ∑ \\sum ∑ 符号。

## 2.2 交叉熵计算方法的代码实现 ##

### 2.2.1 自己编写代码 ###

参考 **公式4** ，编写代码比较简单。

import math
    
    def CE(p,q):
        # p,q 为两个 list，表示对应取值的概率 且 sum(p) == 1 ，sum(q) == 1
        return sum(_p*math.log( 1 /_q) for (_p,_q) in zip(p,q) if _q != 0 )
    
    P = [0.,1.]
    Q = [0.6,0.4]
    
    print(CE(P,Q))

**计算过程**： C E ( P , Q ) = 0 ∗ log ⁡ ( 1 0.6 ) + 1 ∗ log ⁡ ( 1 0.4 ) = log ⁡ ( 2.5 ) = 0.91629073187415506518352721176801 CE(P, Q)=0\*\\log(\{ \{1\}\\over\{0.6\}\})+1\*\\log(\{ \{1\}\\over\{0.4\}\})=\\log(2.5)=0.91629073187415506518352721176801 CE(P,Q)=0∗log(0.61)\+1∗log(0.41)=log(2.5)=0.91629073187415506518352721176801

输出内容为：

0.9162907318741551

注意对比前文中对 KL 的实现的代码，非常相似，除了函数名就改动两个地方。

根据 **公式5**，代码实现如下：

import math
    
    def CE(p,q):
        # p,q 为两个 list，表示对应取值的概率 且 sum(p) == 1 ，sum(q) == 1
        return -sum(_p*math.log(_q) for (_p,_q) in zip(p,q) if _q != 0 )
    
    P = [0.,1.]
    Q = [0.6,0.4]
    
    print(CE(P,Q))

输出结果为：

0.916290731874155

### 2.2.1 使用 tensorflow2 ###

主要是因为使用 tensorflow 的时候可能会用到这个函数，所以特地在这里介绍一下计算过程。

注意 这里只适合 Binary 这种情况，也就是说标签只是 0 与 1 两种。具体参考 [\[3\]][3]

这里直接上例子，然后解释计算过程：

import tensorflow as tf
    
    y_true = [0., 1.]
    y_pred = [0.6, 0.4]
    bce = tf.keras.losses.BinaryCrossentropy()
    bce(y_true, y_pred).numpy()

输出内容为：

0.9162905

在官方文档中给出的例子有两组数据，代码如下：

import tensorflow as tf
    
    y_true = [[0., 1.], [0., 1.]]
    y_pred = [[0.6, 0.4], [0.4, 0.6]]
    # Using 'auto'/'sum_over_batch_size' reduction type.
    bce = tf.keras.losses.BinaryCrossentropy()
    bce(y_true, y_pred).numpy()

输出内容为：

0.71355796

这种情况只是分别求两组结果，再进行平均即可。

## 2.3 当测试数据为全0或全1 的二分类时 ##

上面的公式以及自己编写的代码中，都没有考虑到当测试数据为全0 或全 1 这种情况，接下来在这里讨论，在二分类问题中，应该如何计算结果。

C r o s s E n t r o p y   ( y , y ^ ) = − ( y ∗ log ⁡ ( y ^ ) + ( 1 − y ) ∗ log ⁡ ( 1 − y ^ ) )           ( 3 ) Cross Entropy\\ (y, \{\\hat y\}) = -(y\*\\log(\\hat y)+(1-y)\*\\log(1-\\hat y)) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (3) CrossEntropy (y,y^)=−(y∗log(y^)\+(1−y)∗log(1−y^))         (3)  
如 **公式3** 所示，在 输入数据的  y y y 为 \[0,1\] 两种时，使用 **公式3,4,5** 计算都可以。但是如果输入数据的  y y y 全部为 0 的时候，公式3 与公式4 则不适用。

这个时候需要使用 **公式3** 进行计算，并且同样需要做一次求均值，如 **公式6** 所示。

C r o s s E n t r o p y   ( y , y ^ ) = − 1 n ∑ i = 1 n ( y i ∗ log ⁡ ( y ^ i ) + ( 1 − y i ) ∗ log ⁡ ( 1 − y ^ i ) )           ( 6 ) Cross Entropy\\ (y, \{\\hat y\}) = -\{ \{1\}\\over\{n\}\}\\sum\_\{i=1\}^n(y\_i\*\\log(\\hat y\_i)+(1-y\_i)\*\\log(1-\\hat y\_i)) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (6) CrossEntropy (y,y^)=−n1i=1∑n(yi∗log(y^i)\+(1−yi)∗log(1−y^i))         (6)

对应的代码实现如下：

import math
    
    def CE(p,q):
        return -sum((_p*math.log(_q)+(1-_p)*math.log(1-_q) )for (_p,_q) in zip(p,q) if _q != 0 )/len(p)
    
    P = [0.,0.]
    Q = [0.6,0.4]
    
    print(CE(P,Q))

输出结果为：

0.7135581778200728

**计算过程**： C E ( p , q ) = − 1 2 ( ( 0 ∗ log ⁡ 0.6 + 1 ∗ log ⁡ 0.4 ) + ( 0 ∗ log ⁡ 0.4 + 1 ∗ log ⁡ 0.6 ) ) = − 1 2 log ⁡ 0.24 = 0.71355817782007287419452065403584 CE(p,q)=-\{ \{1\}\\over\{2\}\}((0\*\\log 0.6 + 1\*\\log 0.4)+(0\*\\log 0.4+1\*\\log0.6))=-\{ \{1\}\\over\{2\}\}\\log0.24=0.71355817782007287419452065403584 CE(p,q)=−21((0∗log0.6\+1∗log0.4)\+(0∗log0.4\+1∗log0.6))=−21log0.24=0.71355817782007287419452065403584

对应的 tensorflow2 代码如下：

import tensorflow as tf
    
    y_true =  [0., 0.]
    y_pred = [0.4, 0.6]
    
    bce = tf.keras.losses.BinaryCrossentropy()
    bce(y_true, y_pred).numpy()

输出结果为：

0.71355796

如果测试数据为 \[1.,1.\] 的时候，输出结果是相同的。

## 3.1 JS 散度概述 ##

**JS 散度** Jensen-Shannon divergence 用于描述两个概率分布的相似程度。和上面的 KL 的描述一致的话，JS 散度是两个概率分布间差异的对称性度量。

JS 散度的求解公式如下：  
 J S ( P   ∣ ∣   Q ) = 1 2 K L ( P   ∣ ∣   P + Q 2 ) + 1 2 K L ( Q   ∣ ∣   P + Q 2 )            ( 7 ) JS(P \\ ||\\ Q ) = \{ \{1\}\\over\{2\}\}KL(P\\ ||\\ \{ \{P+Q\}\\over\{2\}\})+\{ \{1\}\\over\{2\}\}KL(Q \\ ||\\ \{ \{P+Q\}\\over\{2\}\}) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (7) JS(P ∣∣ Q)=21KL(P ∣∣ 2P\+Q)\+21KL(Q ∣∣ 2P\+Q)          (7)

很明显，等式是对称成立的，也就是说  J S ( P   ∣ ∣   Q ) = = J S ( Q   ∣ ∣   P ) JS(P \\ || \\ Q) == JS(Q\\ ||\\ P) JS(P ∣∣ Q)==JS(Q ∣∣ P)

## 3.2 JS散度计算方法的代码实现 ##

**公式7** 是通过计算 KL 散度来计算 JS 散度的，因此代码实现需要用到前面的 KL 散度，具体实现如下：

**实验 1**

输出内容为：

0.27435846855026524
    0.27435846855026524

可以看出  J S ( P , Q ) JS(P,Q) JS(P,Q) 与  J S ( Q , P ) JS(Q,P) JS(Q,P) 相等。

--------------------

**实验 2**

接下来看一下两个概率分布差异大小在 JS 值上的直观反映：

import math
    
    def KL(p,q):
        # p,q 为两个 list，表示对应取值的概率 且 sum(p) == 1 ，sum(q) == 1
        return sum(_p*math.log(_p/_q) for (_p,_q) in zip(p,q) if _p != 0 )
    
    def JS(p,q):
        M = [0.5*(_p +_q) for (_p,_q) in zip(p,q)]
        return 0.5*(KL(p,M)+KL(q,M))
    
    P = [0.,1.]
    Q = [0.01,0.99]
    
    print(JS(P,Q))
    
    P = [0.,1.]
    Q = [0.1,0.9]
    
    print(JS(P,Q))
    
    
    P = [0.,1.]
    Q = [0.5,0.5]
    
    print(JS(P,Q))
    
    P = [0.,1.]
    Q = [0.9,0.1]
    
    print(JS(P,Q))
    
    P = [0.,1.]
    Q = [0.99,0.01]
    
    print(JS(P,Q))

输出内容如下：

0.003478298769743019
    0.03597375665014844
    0.21576155433883565
    0.5255973270178643
    0.665096412549155

可以看出，最开始的数据两个概率分布是非常接近的，因为 JS 值比较小，接着两个概率分布差异越来越多，JS 值也越来越大。

--------------------

**实验 3**

接着使用相同的数据，测试一下 KL 值的大小与概率分布的关系，因为 KL 计算是非对称的，因此每次需要输出两个结果。

import math
    
    def KL(p,q):
        # p,q 为两个 list，表示对应取值的概率 且 sum(p) == 1 ，sum(q) == 1
        return sum(_p*math.log(_p/_q) for (_p,_q) in zip(p,q) if _p != 0 )
    
    
    P = [0.1,0.9]
    Q = [0.01,0.99]
    
    print(KL(P,Q),KL(Q,P))
    
    P = [0.1,0.9]
    Q = [0.1,0.9]
    
    print(KL(P,Q),KL(Q,P))
    
    P = [0.1,0.9]
    Q = [0.5,0.5]
    
    print(KL(P,Q),KL(Q,P))
    
    P = [0.1,0.9]
    Q = [0.9,0.1]
    
    print(KL(P,Q),KL(Q,P))
    
    P = [0.1,0.9]
    Q = [0.99,0.01]
    
    print(KL(P,Q),KL(Q,P))

输出结果为：

0.14447934747551233 0.07133122707634103
    0.0 0.0
    0.3680642071684971 0.5108256237659907
    1.7577796618689758 1.7577796618689758
    3.8205752275831846 2.224611312865836

可以看出，当 P 和 Q 相同分布时，KL 散度为 0；KL 散度随着分布差异的增大而增大，随着分布差异的减小而减小。

--------------------

**小结**

根据以上实验，可以看出：

*  随着两个概率分布差异的增大，KL 散度与 JS 散度的数值将增大；反之亦然。
 *  随着两个概率分布差异的增大，KL 散度的增大时不均匀的，而 JS 散度的增大时均匀的。
 *  KL 散度的不对称性可能带来一些潜在的问题。

# 4. 总结 #

本文总结了 KL 散度、交叉熵以及 JS 散度数学公式以及一些性质，并且通过 python 代码实现。在阅读论文或实际编码中，如果忘记了这方面的内容，可以考虑参考一下。

如有任何疑问，欢迎留言评论！

感谢您的阅读！如果有帮助到您的话，欢迎点赞 \+ 关注 ！感谢！

> Smileyan  
> 2021.3.28 22:15

\[1\] 《深度学习轻松学》核心算法与视觉实践 冯超著 电子工业出版社 P33  
\[2\] [《相对熵（KL散度）计算过程》][KL]  
\[3\] [tensorlflow文档 tf.keras.metrics.BinaryCrossentropy][3]  
\[4\] [《熵与信息增益》][Link 1]  
\[5\] [百度百科 相对熵 KL 散度][_ KL]  
\[6\] [百度百科 交叉熵][Link 2]  
\[7\] [熵与信息增益][Link 1]  
\[8\] [二分类、多分类交叉熵的计算][Link 3]  
\[9\] [tensorflow BinaryCrossentropy 源码][tensorflow BinaryCrossentropy]  
\[10\] [知乎 为什么交叉熵（cross-entropy）可以用于计算代价？][_cross-entropy]  
\[11\] [交叉熵、相对熵（KL散度）、JS散度和Wasserstein距离（推土机距离）][KL_JS_Wasserstein]  
\[12\] [tensorflow官网 KL公式][tensorflow_ KL]

[3]: https://tensorflow.google.cn/api_docs/python/tf/keras/metrics/BinaryCrossentropy?hl=en
[KL]: https://blog.csdn.net/guolindonggld/article/details/79736508
[Link 1]: https://blog.csdn.net/xg123321123/article/details/52864830
[_ KL]: https://baike.baidu.com/item/%E7%9B%B8%E5%AF%B9%E7%86%B5/4233536?fr=aladdin
[Link 2]: https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%A4%E5%8F%89%E7%86%B5/8983241?fr=aladdin
[Link 3]: https://blog.csdn.net/qq_24502469/article/details/105119638?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-baidujs_title-0&spm=1001.2101.3001.4242
[tensorflow BinaryCrossentropy]: https://github.com/tensorflow/tensorflow/blob/master/tensorflow/python/keras/losses.py
[_cross-entropy]: https://www.zhihu.com/question/65288314
[KL_JS_Wasserstein]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/74075915
[tensorflow_ KL]: https://tensorflow.google.cn/neural_structured_learning/api_docs/python/nsl/lib/kl_divergence?hl=en