斐波那契(黄金分割法)查找介绍

r囧r小猫 2021-07-24 19:38 597阅读 0赞

# 一 斐波那契(黄金分割法)查找介绍 #

黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是 0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不到的效果。

斐波那契数列 \{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 \}，发现斐波那契数列的两个相邻数的比例，无限接近黄金分割值0.618。

# 二 斐波那契(黄金分割法)原理 #

斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid 不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即 mid=low+F(k-1)-1（F 代表斐波那契数列），如下图所示。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

# 三 对 F(k-1)-1 的理解 #

1 由斐波那契数列 F\[k\]=F\[k-1\]+F\[k-2\] 的性质，可以得到 （F\[k\]-1）=（F\[k-1\]-1）+（F\[k-2\]-1）+1 。

该式说明：只要顺序表的长度为 F\[k\]-1，则可以将该表分成长度为 F\[k-1\]-1 和 F\[k-2\]-1 的两段，即如上图所示。从而中间位置为 mid=low+F(k-1)-1。

2 类似的，每一子段也可以用相同的方式分割。

3 但顺序表长度 n 不一定刚好等于 F\[k\]-1，所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F\[k\]-1。这里的 k 值只要能使得 F\[k\]-1 恰好大于或等于 n 即可，由以下代码得到,顺序表长度增加后，新增的位置（从 n+1 到 F\[k\]-1 位置），都赋为 n 位置的值即可。

while(n>fib(k)-1)
        k++;

# 四 实战 #

## 1 需求 ##

请对一个有序数组进行斐波那契查找 \{1,8, 10, 89, 1000, 1234\} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"。

## 2 代码 ##

package com.atguigu.search;
    
    import java.util.Arrays;
    
    /**
    * @className: FibonacciSearch
    * @description: 斐波那契(黄金分割法)查找
    * @date: 2021/3/14
    * @author: cakin
    */
    public class FibonacciSearch {
        // 斐波那契数组长度
        public static int maxSize = 20;
    
        /**
         * 功能描述：斐波那契(黄金分割法)查找
         *
         * @param args 命令行
         * @author cakin
         * @date 2021/3/14
         */
        public static void main(String[] args) {
            int[] arr = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234};
            System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 89));
        }
    
        /**
         * 功能描述：产生一个斐波那契数列
         *
         * @return int[] 斐波那契数列  {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 }
         * @author cakin
         * @date 2021/3/14
         */
        public static int[] fib() {
            int[] f = new int[maxSize];
            f[0] = 1;
            f[1] = 1;
            for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
                f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
            }
            return f;
        }
    
        /**
         * 功能描述：斐波那契查找算法——使用非递归的方式
         *
         * @param a   待查找数组
         * @param key 需要查找的关键字
         * @return int 找到：对应的下标 没找到：-1
         */
        public static int fibSearch(int[] a, int key) {
            int low = 0;
            int high = a.length - 1;
            int k = 0; // 表示斐波那契分割数值的下标
            int mid; // 存放mid值
            int f[] = fib(); // 获取到斐波那契数列
            // 获取到斐波那契分割数值的下标
            while (high > f[k] - 1) {
                k++;
            }
            // 因为 f[k] 值 可能大于 a 的 长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组 temp[]，不足的部分会使用0填充
            int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
            // 实际上需求使用a数组最后的数填充 temp
            // 例如：temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0}  => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,}
            for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
                temp[i] = a[high];
            }
    
            // 使用while来循环处理，找到的数 key
            while (low <= high) { // 只要这个条件满足，就可以找
                mid = low + f[k - 1] - 1;
                if (key < temp[mid]) { // 向 mid 左边找
                    high = mid - 1;
                    /**
                     *   k-- 说明
                     *   1 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                     *   2 f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                     *   3 因为前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
                     *   4 本轮查询是在 f[k]-1 个数中进行，下次查询是在f[k-1]-1 个数中进行，所以是 k-1
                     */
                    k--;
                } else if (key > temp[mid]) { // 向 mid 右边找
                    low = mid + 1;
                    /**
                     *    k -= 2 说明
                     *    1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                     *    2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                     *    3. 因为后面有f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-2] = f[k-3] + f[k-4]
                     *    4 轮查询是在 f[k]-1 个数中进行，下次查询是在f[k-2]-1 个数中进行，所以是 k-2
                     */
                    k -= 2;
                } else { // 找到
                    // 需要确定，返回的是哪个下标，这里返回较小者
                    if (mid <= high) {
                        return mid;
                    } else {
                        return high;
                    }
                }
            }
            // 没找到
            return -1;
        }
    }

## 3 测试 ##

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