考研管理类联考(专业代码199)数学基础【1】实数及其运算

浅浅的花香味﹌ 2024-05-07 22:29 104阅读 0赞

## 一、实数及其运算 ##

### 1.实数的分类 ###

![在这里插入图片描述][f5b6d5566b27458ab397aa3f381065ca.jpeg]

### 2.实数相关概念 ###

**(1)自然数**:我们把 0、1、2、3、4……等，非负整数叫做自然数

**(2)奇数与偶数**

①能被 2 整除的整数叫做偶数，常表示成2k( k为整数)；不能被2整除的整数叫做奇数，常表示成2k+1或者2k -1( k 为整数)

②奇数与偶数的运算性质：

![在这里插入图片描述][3465fcd0748044f7830b45c07d9b9c09.jpeg]  
**(3)质数和合数**

①**质数**:如果一个大于 1 的整数，只能被1 和它本身整除，那么这个数叫做质数（或素数）,例如：2、3、5、7……

②**合数**:一个大于 1 的整数，除了能被1 和本身整除外，还能被其他正整数整除，这样的数叫做合数,例如：4、6、9……

**【注意】1 既不是质数也不是合数，2 是最小的、唯一的偶质数**

**(4)数的整除**

设 ∀a,b∈Z且b≠0，若∃p∈Z使得a = pb 成立，则 b称能整除a，或a能被b整除，,此时我们把 b 叫做 a 的因数，把 a叫做b的倍数

**【注意】关于整除，掌握以下几个规律**：

①被 2 整除的数，个位数是偶数；

②被 3 整除的数，各位数之和为3 的倍数；

③被 4 整除的数，末两位数是4 的倍数；

④被 5 整除的数，个位数是0 或5；

⑤被 6 整除的数，既能被 2 整除又能被3 整除；

⑥被 8 整除的数，末三位数之和是8 的倍数；

⑦被 9 整除的数，各位数之和为9 的倍数；

⑧被 10 整除的数，个位数为0

**(5)公约数与公倍数**

①**公约数**：如果一个整数同时是几个整数的约数，则称这个整数为它们的公约数；所有公约数中最大的，称为这些整数的最大公约数，比如 20 和 50 的公约数有1、2、5、10，但是10是它们的最大公约数

②**公倍数**：如果几个整数有相同的倍数，则称这个倍数是它们的公倍数；所有公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数，如 25 和 5 的公倍数有 25、50 等，但是25 是它们的最小公倍数

**(6)有理数与无理数**

①**有理数**：我们把整数、分数、有限小数和无限循环小数，统称为有理数

②**无理数**：无限不循环小数叫做无理数

(7)**实数**:有理数和无理数统称为实数，实数集用R表示

### 3.实数的运算 ###

(1\*\*)实数的加、减、乘、除四则运算\*\*符合加法和乘法运算的交换律，结合律和分配律

(2)**乘方运算**：

当 a∈R,a ≠ 0 时，a^0 = 1，a^-n = 1/a

**负实数的奇数次幂为负数；负实数的偶数次幂为正数**

(3)**开方运算**：在实数范围内，负实数无偶次方根；0的偶次方根是 0；正实数的偶次方根有两个，它们互为相反数；正实数的平方根有两个，它们互为相反数；其中正的平方根称为算术平方根

在运算有意义时,![在这里插入图片描述][067d99357ee1482d8193e8c387678425.jpeg]

## 二、绝对值 ##

### 1.绝对值的定义 ###

![在这里插入图片描述][50265e26e4574f1fbc997379d2c307f7.jpeg]

### 2.绝对值的几何意义 ###

实数 a 在数轴上对应一点，这个点到原点的距离就是 a 的绝对值（如下图）

![在这里插入图片描述][10153400c02d4a42bef7cb04f5f9aa2a.png]

### 3.绝对值性质 ###

**(1)对称性**：互为相反的两个数的绝对值相等,即| -a | = | a |

**(2)自反性**：| x | / x = x / | x | = 1 ( x>0 ) 或 -1 (x<0)

**(3)等价性**：①| a | = 根号a^2，②| a^2 | = | a | ^ 2

**(4)非负性**：任何实数 a的绝对值非负，即a≥0

**【归纳】其他非负性的变量：**

![在这里插入图片描述][730e583405dc472896a87a65b52bc932.jpeg]  
**重要规则：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零**

### 4.绝对值运算法则和三角不等式 ###

![在这里插入图片描述][b49fbe212de24800a373f7c1008e5497.png]  
![在这里插入图片描述][dca90de874a54721804220f1908bd192.png]

## 三、平均数 ##

### 1.(算术)平均数 ###

**(1)算术平均数定义**

设x1， x2， x3 … ， xn 为n个实数， 称 (x1 + x2 + x3 … + xn) / n 为这n个数的**算术平均数**

**(2)算术平均数计算**

算术平均值常用下面方法计算:

![在这里插入图片描述][80d39ea485b2433ea15e4a074f7e8068.png]

### 2.几何平均数 ###

![在这里插入图片描述][ca503bf432844e57ab6b1b5c0ee22fd3.png]

## 四、比和比例 ##

### 1…比和比例的定义 ###

**(1)比**

a 除以 b 的商，叫做a,b这两个数的比，记做a : b 、即 a : b = a / b，其中 a叫做比的前项，b叫做比后项，若a / b的商为 k ，则称 k为a : b的值

**(2)比例**

如果 a : b和 c: d的比值相等，就称a,b,c,d成比例，记作 a : b = c : d或a / b = c / d，a和d叫做比例的外项， b 和 c 叫做比例的内项；当a: b=b:d时，称b为a 和 d 的比例中项，即 b^2 = ad

### 2.比和比例的性质 ###

![在这里插入图片描述][74fe31d3900a4f5ba282041f28b818cb.png]

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