校招 -- TopK问题

港控/mmm° 2024-03-26 17:37 196阅读 0赞

**问题描述：**

从arr\[1, n\]这n个数中，找出最大的k个数，这就是经典的TopK问题。

**栗子：**

从arr\[1, 12\]=\{5,3,7,1,8,2,9,4,7,2,6,6\} 这n=12个数中，找出最大的k=5个。

## 一、排序 ##

![在这里插入图片描述][89c3f8d08b7941b7af5b324d57e42e9c.png]  
排序是最容易想到的方法，**将n个数排序之后，取出最大的k个**，即为所得。

**时间复杂度：O(n\*lg(n))**

**分析**：明明只需要TopK，却将全局都排序了，这也是这个方法复杂度非常高的原因。那能不能不全局排序，而只局部排序呢？这就引出了第二个优化方法。

## 二、局部排序 ##

不再全局排序，只对最大的k个排序。

![\*\*640?wx\_fmt=png\*\*][640_wx_fmt_png]

冒泡是一个很常见的排序方法，每冒一个泡，找出最大值，冒k个泡，就得到TopK。

**时间复杂度：O(n\*k)**

\*\*分析：\*\*冒泡，将全局排序优化为了局部排序，非TopK的元素是不需要排序的，节省了计算资源。不少朋友会想到，需求是TopK，是不是这最大的k个元素也不需要排序呢？这就引出了第三个优化方法

## 三、堆 ##

**思路**：只找到TopK，不排序TopK。  
![在这里插入图片描述][ced89414b24f423f82c86570ba339243.png]

先用前k个元素生成一个小顶堆，这个小顶堆用于存储，当前最大的k个元素。

![在这里插入图片描述][7443b96e53274a2884f078552b9c82f3.png]  
接着，从第k+1个元素开始扫描，和堆顶（堆中最小的元素）比较，**如果被扫描的元素大于堆顶，则替换堆顶的元素，并调整堆**，以保证堆内的k个元素，总是当前最大的k个元素。

![在这里插入图片描述][85cc9eac464747bc9a61fe0f492874cd.png]  
**时间复杂度：O(n\*lg(k))**

**画外音：n个元素扫一遍，假设运气很差，每次都入堆调整，调整时间复杂度为堆的高度，即lg(k)，故整体时间复杂度是n\*lg(k)。**

**分析**：堆，将冒泡的TopK排序优化为了TopK不排序，节省了计算资源。堆，是求TopK的经典算法，那还有没有更快的方案呢？

## 四、随机选择 ##

随机选择算在是《算法导论》中一个经典的算法，其时间复杂度为O(n)，是一个线性复杂度的方法。

这个方法并不是所有同学都知道，为了将算法讲透，先聊一些前序知识，一个所有程序员都应该烂熟于胸的经典算法：快速排序。

其核心算法思想是，**分治法**。

**分治法**（Divide&Conquer），把一个大的问题，转化为若干个子问题（Divide），每个子问题“都”解决，大的问题便随之解决（Conquer）。这里的关键词是“都”。从伪代码里可以看到，快速排序递归时，先通过partition把数组分隔为两个部分，两个部分“都”要再次递归。

**分治法有一个特例，叫减治法**。

**减治法**（Reduce&Conquer），把一个大的问题，转化为若干个子问题（Reduce），这些子问题中“只”解决一个，大的问题便随之解决（Conquer）。这里的关键词是“只”。

二分查找binary\_search，BS，是一个典型的运用减治法思想的算法，其伪代码是：

int BS(int[]arr, int low, inthigh, int target){
        
    
             if(low> high) return -1;
    
             mid= (low+high)/2;
    
             if(arr[mid]== target) return mid;
    
             if(arr[mid]> target)
    
                       return BS(arr, low, mid-1, target);
    
             else
    
                       return BS(arr, mid+1, high, target);
    
    }

从伪代码可以看到，二分查找，一个大的问题，可以用一个mid元素，分成左半区，右半区两个子问题。而左右两个子问题，只需要解决其中一个，递归一次，就能够解决二分查找全局的问题。

通过分治法与减治法的描述，可以发现，分治法的复杂度一般来说是大于减治法的：

**快速排序：O(n\*lg(n))  
二分查找：O(lg(n))**

话题收回来，快速排序的核心是：

i = partition(arr, low, high);

这个partition是干嘛的呢？

顾名思义，partition会把整体分为两个部分。

更具体的，会用数组arr中的一个元素（默认是第一个元素t=arr\[low\]）为划分依据，将数据arr\[low, high\]划分成左右两个子数组：

*  左半部分，都比t大
 *  右半部分，都比t小
 *  中间位置i是划分元素

![在这里插入图片描述][a923fd3b98b947fdbf05ba3c98c4f0b6.png]

以上述TopK的数组为例，先用第一个元素t=arr\[low\]为划分依据，扫描一遍数组，把数组分成了两个半区：

*  左半区比t大
 *  右半区比t小
 *  中间是t

partition返回的是t最终的位置i。

很容易知道，partition的时间复杂度是O(n)。

partition和TopK问题有什么关系呢？

TopK是希望求出arr\[1,n\]中最大的k个数，那如果找到了第k大的数，做一次partition，不就一次性找到最大的k个数了么？

**画外音：即partition后左半区的k个数。**

问题变成了arr\[1, n\]中找到第k大的数。

再回过头来看看第一次partition，划分之后：

i = partition(arr, 1, n);

*  如果i大于k，则说明arr\[i\]左边的元素都大于k，于是只递归arr\[1, i-1\]里第k大的元素即可；
 *  如果i小于k，则说明说明第k大的元素在arr\[i\]的右边，于是只递归arr\[i+1, n\]里第k-i大的元素即可；

**画外音：这一段非常重要，多读几遍。**

**这就是随机选择算法randomized\_select，RS，其伪代码如下：**

int RS(arr, low, high, k){
        
    
      if(low== high) return arr[low];
    
      i= partition(arr, low, high);
    
      temp= i-low; //数组前半部分元素个数
    
      if(temp>=k)
    
          return RS(arr, low, i-1, k); //求前半部分第k大
    
      else
    
          return RS(arr, i+1, high, k-i); //求后半部分第k-i大
    
    }

![在这里插入图片描述][641f01df6f0f4d4099c80c5f81d6dfb5.png]  
这是一个典型的减治算法，递归内的两个分支，最终只会执行一个，它的时间复杂度是O(n)。

再次强调一下：

*  分治法，大问题分解为小问题，小问题都要递归各个分支，例如：快速排序
 *  减治法，大问题分解为小问题，小问题只要递归一个分支，例如：二分查找，随机选择

通过随机选择（randomized\_select），找到arr\[1, n\]中第k大的数，再进行一次partition，就能得到TopK的结果。

## 五、总结 ##

TopK，不难；其思路优化过程，不简单：

*  全局排序，O(n\*lg(n))
 *  局部排序，只排序TopK个数，O(n\*k)
 *  堆，TopK个数也不排序了，O(n\*lg(k))
 *  分治法，每个分支“都要”递归，例如：快速排序，O(n\*lg(n))
 *  减治法，“只要”递归一个分支，例如：二分查找O(lg(n))，随机选择O(n)
 *  TopK的另一个解法：随机选择+partition

以上转载于：[拜托，面试别再问我TopK了！！！][TopK]

[89c3f8d08b7941b7af5b324d57e42e9c.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/26/457538dc1cfb4bb38360c7ab5d73a082.png
[640_wx_fmt_png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/26/5481b72d03254bf1878384c5117da1b6.png
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[TopK]: https://blog.csdn.net/z50L2O08e2u4afToR9A/article/details/82837278