时空复杂度

蔚落 2024-03-24 14:47 41阅读 0赞

#### 时空复杂度 ####

*  一、算法效率
 *   *  时间效率
     *  空间效率
 *  二、时间复杂度
 *   *  概念
     *  大O的渐进表示法
     *   *  1、演示
         *  2、推导大O阶方法
         *  3、常见的时间复杂度
 *  三、空间复杂度
 *   *  概念
     *  实例

## 一、算法效率 ##

算法效率分为时间效率和空间效率。

### 时间效率 ###

时间复杂度，衡量一个算法的运行速度。

### 空间效率 ###

空间复杂度，衡量一个算法所需要的额外空间。

## 二、时间复杂度 ##

### 概念 ###

算法的时间复杂度是一个数学函数，**描述了该算法的运行时间**。一个算  
法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，**算法中的基本操作的执行次数**，为算法的时间复杂度。

### 大O的渐进表示法 ###

#### 1、演示 ####

void f1(int n){
        
            int count =0;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
        
                for (int j = 0; j < n; j++) {
        //N^2
                    count++;
                }
            }
            for (int k = 0; k < 2*n; k++) {
        //2N
                count++;
            }
            int m=10;
            while((m--)>0){
        //10
                count++;
            }
            System.out.println(count);
        }

f1执行的基本操作次数：**F(N)=N^2+2N+10**

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

#### 2、推导大O阶方法 ####

1、**用常数1取代运行时间中的所有加法常数。**  
F(N)=N^2+2N  
2、**在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。**  
F(N)=N^2  
3、**如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。**  
F(N)=N^2  
使用大O的渐进表示法后可得到f1的时间复杂度为：**O(N^2)**

大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：  
**最坏情况**：任意输入规模的最大运行次数(上界)  
**平均情况**：任意输入规模的期望运行次  
**最好情况**：任意输入规模的最小运行次数(下界)

**在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况。**

#### 3、常见的时间复杂度 ####

**O(1)** < **O(log2N)** < **O(N)** < **O(Nlog2N)** < **O(N^2)**

void f2(int n){
        
            int count=0;
    
            for (int i = 0; i < 100; i++) {
        //O(1)
                count++;
            }
            System.out.println(count);
        }

int binarySearch(int[] array,int value){
        //二分查找
            int begin=0;
            int end=array.length-1;
            while(begin<=end){
        //O(log2N)
                int mid=begin+((end-begin)/2);
                if(array[mid]<value)
                    begin=mid+1;
                else if(array[mid]>value)
                    end=mid-1;
                else
                    return mid;
            }
            return -1;
        }

结合二分查找思想

执行次数：**X=log2N+1**  
时间复杂度：**O(log2N)**

long factorial(int n){
        
            //递归   递归的次数*每次递归后代码的执行次数
            //N*1
            //O(N)
            return n<2?n:factorial(n-1)*n;
        }

## 三、空间复杂度 ##

### 概念 ###

空间复杂度是对一个算法在运行过程中**临时占用存储空间大小的量度** 。空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用**大O渐进表示法**。

### 实例 ###

void bubbleSort(int[] array){
        
            for(int end=array.length;end>0;end--){
        
                boolean sorted=true;//问题的规模：n个数据
                //sorted 空间复杂度 O(1)
                for(int i=1;i<end;i++){
        
                    if(array[i-1]>array[i]){
        
                        Swap(array,i-1,i);
                        sorted=false;
                    }
                }
                if(sorted==true){
        
                    break;
                }
            }
        }

long[] fibonacci(int n){
        
            long[] fibArray=new long[n+1];
            fibArray[0]=0;
            fibArray[1]=1;
            for(int i=2;i<=n;i++){
        
                fibArray[i]=fibArray[i-1]+fibArray[i-2];//O(N)
            }
            return fibArray;
        }

long factorial(int N){
        
            return N<2?N:factorial(N-1)*N;//O(N)
        }

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