【动态规划】回文串问题

ゞ浴缸里的玫瑰 2024-03-23 23:15 113阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  动态规划（回文串问题）
 *   *  1. 回文子串
     *  2. 最长回文子串
     *  3. 回文串分割 IV
     *  4. 分割回文串 ||
     *  5. 最长回文子序列
     *  6. 让字符串成为回文串的最小插入次数

## 动态规划（回文串问题） ##

### 1. 回文子串 ###

[题目链接][Link 1]

1.  状态表示
    
    `f[i][j]表示 i 到 j 的子串当中是否是回文`
2.  状态转移方程
    
    ![image-20230814152744276][]
3.  初始化
    
    最初所有的内容都是0即可
4.  填表
    
    因为 i j 需要用 i + 1 来初始化，所以这个时候需要从下往上填表
5.  返回值
    
    返回整个dp 表里true 的数目就可以

AC代码:

class Solution 
    {
        
    public:
        int countSubstrings(string s) 
        {
        
            int n = s.size();
            vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
            int ret = 0;
            for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
            {
        
                for (int j = i; j < n; j++)
                {
        
                    if (s[i] == s[j])
                    {
        
                        dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;
                    }
                    if (dp[i][j]) ret++;
                }
            }
            return ret;
        }
    };

### 2. 最长回文子串 ###

[题目链接][Link 2]

如果需要求一个字符串当中的最长的回文子串，需要将所有的回文子串找到，然后再所有的回文子串里面找打一个最长的就可以了

可以参考上一个题目回文子串

AC代码：

class Solution 
    {
        
    public:
        string longestPalindrome(string s) 
        {
        
            // 找到所有的回文子串
            int n = s.size();
            vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
            int begin = 0, len = 1;
            for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
            {
        
                for (int j = i; j < n; j++)
                {
        
                    if (s[i] == s[j])
                    {
        
                        dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;
                    }
                    if (dp[i][j] && j - i + 1 > len)
                    {
        
                        begin = i;
                        len = j - i + 1;
                    }
                }
            }
            return s.substr(begin, len);
        }
    };

### 3. 回文串分割 IV ###

[题目链接][Link 3]

分析：如果暴力解题的话，i 和 j 可以把整个字符串分为3份，只需要遍历所有可能分为3份的情况直接判断是否都是回文串不就可以了。但是判断回文串需要花费时间，可以使用上面两道题的方法来判断是不是回文串

AC代码：

class Solution 
    {
        
    public:
        bool checkPartitioning(string s) 
        {
        
            int n = s.size();
            vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
            for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
            {
        
                for (int j = i; j < n; j++)
                {
        
                    if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;
                }
            }
            for (int i = 1; i < n - 1; i++)
            {
        
                for (int j = i; j < n - 1; j++)
                {
        
                    if (dp[0][i - 1] && dp[i][j] && dp[j + 1][n - 1]) return true;
                }
            }
            return false;
        }
    };

### 4. 分割回文串 || ###

[题目链接][Link 4]

1.  状态表示
    
    `dp[i]表示0 到 i 之间，可以把所有子串都分割为回文串的最小次数`
2.  状态转移方程
    
    ![w30l7zd85k-1692000661157.png][]
3.  初始化
    
    所需初始位最大即可
4.  填表
    
    从左到右
5.  返回值

AC代码：

class Solution 
    {
        
    public:
        int minCut(string s) 
        {
        
            int n = s.size();
            vector<vector<bool>> isPal(n, vector<bool>(n));
            for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
            {
        
                for (int j = i; j < n; j++)
                {
        
                    if (s[i] == s[j]) isPal[i][j] = i + 1 < j ? isPal[i + 1][j - 1] : true;
                }
            }
            vector<int> dp(n, INT_MAX);
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
        
                if (isPal[0][i]) dp[i] = 0;
                else 
                {
        
                    for (int j = 1; j <= i; j++)
                    {
        
                        if (isPal[j][i]) dp[i] = min(dp[i], dp[j - 1] + 1);
                    }
                }
            }
            return dp[n - 1];
        }
    };

### 5. 最长回文子序列 ###

[题目链接][Link 5]

1.  状态表示
    
    之前以某个位置为结尾来分析状态表示，如果dp\[i\]表示到i位置的最长回文子序列的长度来推导状态转移方程，只有长度是分析不出来状态转移方程。
    
    `dp[i][j]表示i j 这个区间内，最长的回文子序列的长度`
2.  状态转移方程
    
    ![l1dd6ftxae-1692070247057.png][]
3.  初始化
    
    无需初始化
4.  填表
    
    因为需要用到 后面的值，所以填表需要从下到上，从左到右
5.  返回值

AC代码：

class Solution 
    {
        
    public:
        int longestPalindromeSubseq(string s) 
        {
        
            int n = s.size();
            vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
            for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
            {
        
                for (int j = i; j < n; j++)
                {
        
                    if (s[i] == s[j])
                    {
        
                        dp[i][j] = i ==j ? 1 : dp[i + 1][j - 1] + 2;
                    }
                    else dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
            return dp[0][n - 1];
        }
    };

### 6. 让字符串成为回文串的最小插入次数 ###

[题目链接][Link 6]

1.  状态表示
    
    `dp[i][j]表示：i 到 j 这个区间内，成为回文串的最小插入次数`
2.  状态转移方程
    
    ![ygc0i7wp4n-1692071284065.png][]
3.  初始化
4.  填表
    
    从下往上，从左到右
5.  返回值

AC代码：

class Solution 
    {
        
    public:
        int minInsertions(string s) 
        {
        
            int n = s.size();
            vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
            for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
            {
        
                for (int j = i; j < n; j++)
                {
        
                    if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : 0;
                    else dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
                }
            }
            return dp[0][n - 1];
        }
    };

[Link 1]: https://leetcode.cn/problems/palindromic-substrings/
[image-20230814152744276]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/13/a2dae31f39c4425baf831ac29144ce3c.png
[Link 2]: https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-substring/
[Link 3]: https://leetcode.cn/problems/palindrome-partitioning-iv/
[Link 4]: https://leetcode.cn/problems/palindrome-partitioning-ii/description/
[w30l7zd85k-1692000661157.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/13/86fae3a1c30044b6956eb5c93c5dec2a.png
[Link 5]: https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-subsequence/
[l1dd6ftxae-1692070247057.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/13/2345b8c5924947f7bb907d160c07df42.png
[Link 6]: https://leetcode.cn/problems/minimum-insertion-steps-to-make-a-string-palindrome/
[ygc0i7wp4n-1692071284065.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/13/6c1e76c39ebf4e99ab9bf81d725a6063.png