【算法挨揍日记】day26——53. 最大子数组和、918. 环形子数组的最大和

短命女 2024-02-19 09:31 125阅读 0赞

## 53. 最大子数组和 ##

[53. 最大子数组和][53.]

### 题目描述： ###

给你一个整数数组 `nums` ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

**子数组** 是数组中的一个连续部分。![8f0dcaabccce43ab95522e018c30e418.png][]

### 解题思路： ###

> 状态表示：
> 
> dp【i】表示以i位置结尾的最大子数组的元素之和
> 
> 状态转移方程：
> 
> dp\[i\]=max(dp\[i-1\],0)+nums\[i\];
> 
> 初始化：
> 
> dp【0】=nums【0】
> 
> 填表顺序：左到右
> 
> 返回值：0-n-1范围中的最大值

### 解题代码： ###

ass Solution {
    public:
        int maxSubArray(vector<int>& nums) {
            int n=nums.size();
            vector<int>dp(n,0);
            dp[0]=nums[0];
            for(int i=1;i<n;i++)
                dp[i]=max(dp[i-1],0)+nums[i];
            int ret=INT_MIN;
            for(int i=0;i<n;i++)ret=max(ret,dp[i]);
            return ret;
        }
    };

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## 918. 环形子数组的最大和 ##

[918. 环形子数组的最大和][918.]

### 题目描述： ###

给定一个长度为 `n` 的**环形整数数组** `nums` ，返回*`nums` 的非空 **子数组** 的最大可能和* 。

**环形数组**意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。形式上， `nums[i]` 的下一个元素是 `nums[(i + 1) % n]` ， `nums[i]` 的前一个元素是 `nums[(i - 1 + n) % n]` 。

**子数组** 最多只能包含固定缓冲区 `nums` 中的每个元素一次。形式上，对于子数组 `nums[i], nums[i + 1], ..., nums[j]` ，不存在 `i <= k1, k2 <= j` 其中 `k1 % n == k2 % n` 。

![db92d9ddc99f45619d63b8fbc595090f.png][]

### 解题思路： ###

本题与「最⼤⼦数组和」的区别在于，考虑问题的时候不仅要分析「数组内的连续区域」，还要考

虑「数组⾸尾相连」的⼀部分。结果的可能情况分为以下两种：

i.  结果在数组的内部，包括整个数组；

ii.  结果在数组⾸尾相连的⼀部分上。

其中，对于第⼀种情况，我们仅需按照「最⼤⼦数组和」的求法就可以得到结果，记为  fmax  。

对于第⼆种情况，我们可以分析⼀下：

i.  如果数组⾸尾相连的⼀部分是最⼤的数组和，那么数组中间就会空出来⼀部分；

ii.  因为数组的总和  sum  是不变的，那么中间连续的⼀部分的和⼀定是最⼩的；

因此，我们就可以得出⼀个结论，对于第⼆种情况的最⼤和，应该等于  sum - gmin  ，其中

gmin  表⽰数组内的「最⼩⼦数组和」。

两种情况下的最⼤值，就是我们要的结果。

但是，由于数组内有可能全部都是负数，第⼀种情况下的结果是数组内的最⼤值（是个负数），第

⼆种情况下的  gmin == sum  ，求的得结果就会是  0  。若直接求两者的最⼤值，就会是  0  。但

是实际的结果应该是数组内的最⼤值。对于这种情况，我们需要特殊判断⼀下。

由于「最⼤⼦数组和」的⽅法已经讲过，这⾥只提⼀下「最⼩⼦数组和」的求解过程，其实与「最

⼤⼦数组和」的求法是⼀致的。⽤  f  表⽰最⼤和，  g  表⽰最⼩和。

1.  状态表⽰：

g\[i\]  表⽰：以  i  做结尾的「所有⼦数组」中和的最⼩值。

2.  状态转移⽅程：

g\[i\]  的所有可能可以分为以下两种：

i.  ⼦数组的⻓度为  1  ：此时  g\[i\] = nums\[i\]  ；

ii.  ⼦数组的⻓度⼤于  1  ：此时  g\[i\]  应该等于 以  i - 1  做结尾的「所有⼦数组」中和的

最⼩值再加上  nums\[i\]  ，也就是  g\[i - 1\] + nums\[i\]  。

由于我们要的是最⼩⼦数组和，因此应该是两种情况下的最⼩值，因此可得转移⽅程：

g\[i\] = min(nums\[i\], g\[i - 1\] + nums\[i\])  。

3.  初始化：

可以在最前⾯加上⼀个辅助结点，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

i.  辅助结点⾥⾯的值要保证后续填表是正确的；

ii.  下标的映射关系。

在本题中，最前⾯加上⼀个格⼦，并且让  g\[0\] = 0  即可。

4.  填表顺序：

根据状态转移⽅程易得，填表顺序为「从左往右」。

5.  返回值：

a.  先找到  f  表⾥⾯的最⼤值 ->  fmax  ；

b.  找到  g  表⾥⾯的最⼩值 ->  gmin  ；

c.  统计所有元素的和 ->  sum  ；

b.  返回  sum == gmin ? fmax : max(fmax，sum-gmin)

### 解题代码： ###

class Solution {
    public:
        int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) {
            int n=nums.size();
            if(n==1)return nums[0];
            vector<int>f(n,0);
            vector<int>g(n,0);
            f[0]=nums[0],g[0]=nums[0];
            int sum=nums[0];
            for(int i=1;i<n;i++)
            {
                f[i]=max(f[i-1],0)+nums[i];
                g[i]=min(g[i-1],0)+nums[i];
                sum+=nums[i];
            }
            int max_num=INT_MIN;
            int min_num=INT_MAX;
            for(int i=0;i<n;i++)
            {
                max_num=max(max_num,f[i]);
                min_num=min(min_num,g[i]);
            }
            if(sum==min_num)return max_num;
            return max(max_num,sum-min_num);
        }
    };

[53.]: https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/
[8f0dcaabccce43ab95522e018c30e418.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/19/7d91a612da23485ab0b5e6e1a3512b2b.png
[918.]: https://leetcode.cn/problems/maximum-sum-circular-subarray/
[db92d9ddc99f45619d63b8fbc595090f.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/19/74b92d6e997548bc9141b799be70161b.png