高等数学积分关系定理（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）的理解

女爷i 2024-02-17 12:32 136阅读 0赞

## 1 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式 ##

### 1.1 格林公式（Green formula） ###

![在这里插入图片描述][77cd6a3a76044890a03d6f3c8236caad.png]

#### 1.1.1 格林公式例题 ####

![在这里插入图片描述][4bb8afec4f6c418582bb70dc68dad124.png]

### 1.2 高斯公式（Gauss formula） ###

![在这里插入图片描述][ad04c2568beb4f5bb0b87fada2c5d5a2.png]

#### 1.2.1 高斯公式例题1 ####

![在这里插入图片描述][c9c7c739c04e40ad84f7295c920f97d2.png]

#### 1.2.2 高斯公式例题2 ####

![在这里插入图片描述][1cd71c9cf8254c3c9a8a26bdab9e6735.png]  
![在这里插入图片描述][6b1e432b3eb648058e83df652fc59192.png]

### 1.3 斯托克斯公式（Stokes formula） ###

![在这里插入图片描述][9bc6caf2988544df81993d1381f58452.png]

#### 1.3.1 斯托克斯公式例题 ####

![在这里插入图片描述][85079ff57d5d4b6b893cfc9d9dde1dca.png]  
![在这里插入图片描述][f0636726f9f44b8985ced24c18d4bbef.png]

## 2 各类积分的起源与关系 ##

### 2.1 各类积分的起源 ###

> 定积分的概念从计算“曲边梯形的面积”等问题引入  
> 二重积分从计算“曲顶柱体体积”引入  
> 三重积分则是从求“三维空间中的有界物体的质量”引入的  
> 第一类曲线积分从求“物质曲线的质量”中引入  
> 第二类曲线积分从计算“力场做功问题”引入  
> 第一类曲面积分从求“物质曲面质量问题”引入  
> 第二类曲面积分则是从“讨论流量问题”引入

### 2.2 各类积分之间的关系 ###

#### 2.2.1 重积分、线积分、面积分之间的关系 ####

![在这里插入图片描述][fc7a8951cedc409380c842f2cf6851b3.jpeg]

#### 2.2.2 各类积分之间的转换 ####

![在这里插入图片描述][b18c576ef4d940b498e72b3fa7d9dff9.png]

## 3 四个积分公式的统一形式 ##

> 前置知识需要补充两个概念微分的外积运算与外微分，目的是对微分增加方向的概念。

### 3.1 外积 ###

![在这里插入图片描述][8a00c0c53fcf4b40be8dffad2ea710d2.png]

### 3.2 外微分 ###

![在这里插入图片描述][3fd806eee51a42338cf21cfd97adc8d4.png]

### 3.3 用外积、外微分统一四个积分公式 ###

![在这里插入图片描述][f4e892b276ec4cf5ad88ab887bc59a72.png]

[77cd6a3a76044890a03d6f3c8236caad.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/58d37a75b4f1404996be2f1d2dcb298d.png
[4bb8afec4f6c418582bb70dc68dad124.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/4f41d633891c48eba4dd2031bd51df1b.png
[ad04c2568beb4f5bb0b87fada2c5d5a2.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/a175ecabcc434d348c6e3059338b80f0.png
[c9c7c739c04e40ad84f7295c920f97d2.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/b738008c6cea4593b1d1f20e6fde4860.png
[1cd71c9cf8254c3c9a8a26bdab9e6735.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/b25a0b10913140f9ac4ee66d9676ede9.png
[6b1e432b3eb648058e83df652fc59192.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/806237e58e6f4463a6935adc100ad04d.png
[9bc6caf2988544df81993d1381f58452.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/05ca1308be1440bfbdd4cd9d188af74d.png
[85079ff57d5d4b6b893cfc9d9dde1dca.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/d044ef9d53834eb2a0baa6f03e23bd63.png
[f0636726f9f44b8985ced24c18d4bbef.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/f0bace71753946f2bc5950cba092277e.png
[fc7a8951cedc409380c842f2cf6851b3.jpeg]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/0cf9749aeaf54342afd0c85f86c0e790.png
[b18c576ef4d940b498e72b3fa7d9dff9.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/73ae74e49d4b4469ba5db02d8e948c4e.png
[8a00c0c53fcf4b40be8dffad2ea710d2.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/9f9ddeb88d3d4a9492e0a69faa860000.png
[3fd806eee51a42338cf21cfd97adc8d4.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/45eb5eb253ef440f92016f64fabf7387.png
[f4e892b276ec4cf5ad88ab887bc59a72.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/e38353831b4d42619f4de9b44f6a0de3.png