全排列的生成算法:字典序法

r囧r小猫 2023-10-17 15:33 33阅读 0赞

**全排列的生成算法:字典序法**

全排列的生成算法 对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。

字典序法按照字典序求下一个排列的算法 生成给定全排列的下一个排列所谓一个全排列的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。

/\*例 839647521是1—9的排列。1—9的排列最前面的是123456789，最后面的是987654321，从右向左扫描若都是增的，就到了987654321，也就没有下一个了。否则找出第一次出现下降的位置。

算法: 由 P1P2…Pn 生成的下一个排列的算法如下:

1. 求 i=max\{j| Pj-1

2. 求 l=max\{k| Pi-1

3. 交换Pi-1 与Pl得到P1P2…Pi-1 (P i....Pn ) , 将红色部分顺序逆转,得到结果.

例 求839647521的下一个排列

1. 确定i，从左到右两两比较找出后一个数比前一个大的组合，在这里有39 47，然后i取这些组中最到的位置号（不是最大的数）在这两组数中7的位置号最大为6，所以i=62.确定l， 找出在i（包括i）后面的所有比i前面那一位大的数的最大的位置号，在此例中7，5 都满足要求，则选5，5的位置号为7，所以 l=73. 先将4和5交换，然后将5后的四位数倒转得到结果

839657421à 839651247

以上算法是在数论课上老师给出的关于字典序全排列的生成算法，以前也经常要用到全排列生成算法来生成一个全排列对所有的情况进行测试，每次都是现到网上找一个算法，然后直接copy代码，修改一下和自己的程序兼容就行了，也不看是怎么来的，不是我不想看，实在是说的很抽象，那一大堆公式来吓人，一个实例都不给，更有甚者连算法都没有，只是在那里说，想看都看不懂，也没那个耐心取理解那些人写出来的那种让人无法忍受的解释。不过在说别人的同时我也知道，自己写的也不够好，不过这就是我的理解了，没法子写的再细了。

**全排列的生成算法**

全排列的生成算法就是对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。任何n个字符集的排列都可以与1～n的n个数字的排列一一对应，因此在此就以n个数字的排列为例说明排列的生成法。  
n个字符的全体排列之间存在一个确定的线性顺序关系。所有的排列中除最后一个排列外，都有一个后继；除第一个排列外，都有一个前驱。每个排列的后继都可以从 它 的前驱经过最少的变化而得到，全排列的生成算法就是从第一个排列开始逐个生成所有的排列的方法。  
全排列的生成法通常有以下几种：  
字典序法  
递增进位数制法  
递减进位数制法  
邻位交换法  
n进位制法  
递归类算法

**1.字典序法**  
字典序法中，对于数字1、2、3......n的排列，不同排列的先后关系是从左到右逐个比较对应的数字的先后来决定的。例如对于5个数字的排列 12354和12345，排列12345在前，排列12354在后。按照这样的规定，5个数字的所有的排列中最前面的是12345，最后面的是 54321。

字典序算法如下：  
设P是1～n的一个全排列:p=p1p2......pn=p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn  
1）从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j（j从左端开始计算），即 j=max\{i|pi  
2）在pj的右边的数字中，找出所有比pj大的数中最小的数字pk，即 k=max\{i|pi>pj\}（右边的数从右至左是递增的，因此k是所有大于pj的数字中序号最大者）  
3）对换pi，pk  
4）再将pj+1......pk-1pkpk+1pn倒转得到排列p'=p1p2.....pj-1pjpn.....pk+1pkpk-1.....pj+1，这就是排列p的下一个下一个排列。  
例如839647521是数字1～9的一个排列。从它生成下一个排列的步骤如下：  
自右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字4839647521  
在该数字后的数字中找出比4大的数中最小的一个5839647521  
将5与4交换839657421  
将7421倒转839651247  
所以839647521的下一个排列是839651247。  
程序代码如下：  
Private Sub Dict(p() As Integer, ByVal n As Integer)  
Dim i As Integer, j As Integer  
OutL p  
i = n - 1  
Do While i > 0  
If p(i) < p(i + 1) Then  
For j = n To i + 1 Step -1'从排列右端开始  
If p(i) <= p(j) Then Exit For'找出递减子序列  
Next  
Swap p(i), p(j)'将递减子序列前的数字与序列中比它大的第一个数交换  
For j = n To 1 Step -1'将这部分排列倒转  
i = i + 1  
If i >= j Then Exit For  
Swap p(i), p(j)  
Next  
OutL p'输出一个排列  
i = n  
End If  
i = i - 1  
Loop  
End Sub  
Swap p(i), p(j)是交换两个元素的子过程，OutL p是输出排列的子过程。

**2.递增进位数制法**  
在递增进位制数法中，从一个排列求另一个排列需要用到中介数。如果用 ki表示排列p1p2...pi...pn中元素pi的右边比pi小的数的个数，则排列的中介数就是对应的排列k1 ...... ki...... kn-1。  
例如排列839647521的中介数是72642321，7、2、6、......分别是排列中数字8、3、9、......的右边比它小的数字个数。  
中介数是计算排列的中间环节。已知一个排列，要求下一个排列，首先确定其中介数，一个排列的后继，其中介数是原排列中介数加1，需要注意的是，如果中介数 的末位kn-1+1=2，则要向前进位，一般情形，如果ki+1=n-i+1，则要进位，这就是所谓的递增进位制。例如排列839647521的中介数是 72642321，则下一个排列的中介数是67342221+1=67342300（因为1+1=2，所以向前进位，2+1=3，又发生进位，所以下一个 中介数是67342300）。  
得到中介数后，可根据它还原对应得排列。算法如下：  
中介数k1、k2、......、kn-1的各位数字顺序表示排列中的数字n、n-1、......、2在排列中距右端的的空位数，因此，要按k1、 k2、......、kn-1的值从右向左确定n、n-1、......、2的位置，并逐个放置在排列中：i放在右起的ki+1位，如果某位已放有数字， 则该位置不算在内，最后一个空位放1。  
因此从67342300可得到排列849617523，它就是839647521的后一个排列。因为9最先放置，k1=6，9放在右起第7位，空出6个空位，然后是放8，k2=7，8放在右起第8位，但9占用一位，故8应放在右起第9位，余类推。  
程序代码如下：  
  
Private Sub Incr(p() As Integer, ByVal n As Integer)  
Dim m() As Integer'保存中介数的数组  
Dim i As Integer, j As Integer  
Dim a As Integer  
ReDim m(n)  
For i = 1 To n'第一个排列的中介数为000......0  
m(i) = 0  
Next  
Do While n > 0  
For i = 1 To n'排列的各位为0  
p(i) = 0  
Next  
For i = 1 To n'从右向左察看排列中为0的位  
a = m(i) + 1  
j = n  
Do While j > 0  
If p(j) = 0 Then  
a = a - 1  
If a = 0 Then Exit Do'0的个数决定数字i的位置  
End If  
j = j - 1  
Loop  
p(j) = n - i + 1'将数字i放置在指定位置  
Next  
OutL p  
If MedN(m) Then Exit Do'计算下一个中介数，如果是00...0，则全部排列找到  
Loop  
End Sub  
Private Function MedN(m() As Integer)As Boolean'计算中介数函数  
Dim i As Integer, sum As Integer  
Dim b As Boolean  
b = False  
i = n - 1  
Do While i > 0  
m(i) = m(i) + 1  
If m(i) < n - i + 1 Then Exit Do  
m(i) = 0  
i = i - 1  
Loop  
Sum = 0  
For i = 1 To n - 1'计算中介数各位之和  
Sum = Sum + m(i)  
Next  
If Sum = 0 Then b = True'中介数各位之和为0  
MedN = b  
End Function

**3.递减进位制数法**  
在递增进位制数法中，中介数的最低位是逢2进1，进位频繁，这是一个缺点。把递增进位制数翻转,就得到递减进位制数。  
839647521的中介数是67342221(k1k2…kn-1)，倒转成为12224376(kn-1…k2k1)，这是递减进位制数的中介数： ki(i=n-1,n-2,…,2)位逢i向ki-1位进1。给定排列p，p的下一个排列的中介数定义为p的中介数加1。例如p=839647521，p 的中介数为12224376，p的下一个排列的中介数为12224376+1=12224377，由此得到p的下一个排列为893647521。  
给定中介数，可用与递增进位制数法类似的方法还原出排列。但在递减进位制数中，可以不先计算中介数就直接从一个排列求出下一个排列。具体算法如下：  
1）如果p(i)=n且i<>n，则p(i)与p(i-1)交换  
2）如果p(n)=n，则找出一个连续递减序列9、8、......、i，将其从排列左端删除，再以相反顺序加在排列右端，然后将i-1与左边的数字交换

例如p=893647521的下一个排列是983647521。求983647521的下一个排列时，因为9在最左边且第2位为8，第3位不是7，所以将 8和9从小到大排于最右端364752189，再将7与其左方数字对调得到983647521的下一个排列是367452189。又例如求 987635421的下一个排列，只需要将9876从小到大排到最右端并将5与其左方数字3对调，得到534216789。  
程序代码如下：  
Private Sub Degr(p() As Integer, ByVal n As Integer)  
Dim i As Integer, j As Integer  
Do While n > 0  
OutL p  
If p(1) = n Then'如果第一位是n  
i = 0  
Do'从左端开始找出最长的连续递降序列  
i = i + 1  
If i = n Then Exit Sub  
Loop Until p(i) <> p(i + 1) + 1  
j = i  
Do'找出递降序列末尾数字的下一个数字  
i = i + 1  
Loop Until p(i) = p(j) - 1  
Swap p(i), p(i - 1)'将它与序列末尾数字交换  
For i = 1 To n - j'将递减序列倒转后放置在排列右端  
p(i) = p(i + j)  
Next  
For i = 1 To j  
p(n - i + 1) = n - i + 1  
Next  
Else'如果最高位不是n  
i = 0'从左端开始  
Do'找出n所在位置  
i = i + 1  
Loop Until p(i) = n  
Swap p(i), p(i - 1)'将n与其左边数字交换  
End If  
Loop  
End Sub

**4.邻位对换法**  
邻位对换法中下一个排列总是上一个排列某相邻两位对换得到的。以4个元素的排列为例，将最后的元素4逐次与前面的元素交换，可以生成4个新排列：  
1 2 3 4 1 2 4 3 1 4 2 3 4 1 2 3  
然后将最后一个排列的末尾的两个元素交换，再逐次将排头的4与其后的元素交换，又生成四个新排列：  
4 1 3 2 1 4 3 2 1 3 4 2 1 3 2 4  
再将最后一个排列的末尾的两个元素交换，将4从后往前移：  
3 1 2 4 3 1 4 2 3 4 1 2 4 3 1 2  
如此循环既可求出全部排列。  
程序代码如下：  
Private Sub Adja(p() As Integer, ByVal n As Integer)  
m = 1  
For i = 3 To n - 1'计算(n-1)!/2  
m = m \* i  
Next  
For i = 1 To m - 1  
OutL p  
For j = n To 2 Step -1'将n从排列尾逐位向前移  
Swap p(j), p(j - 1)  
OutL p'移动一次产生一个新排列  
Next  
Swap p(n), p(n - 1)  
OutL p  
For j = 1 To n - 1'将n从排列头逐位向后移  
Swap p(j), p(j + 1)  
OutL p'移动一次产生一个新排列  
Next  
Swap p(1), p(2)  
Next  
End Sub

**5.元素增值法（n进制法）**  
1）从原始排列p=p1p2......pn开始，第n位加n-1，如果该位的值超过n，则将它除以n，用余数取代该位，并进位（将第n-1位加1）  
2）再按同样方法处理n-1位，n-2位，......，直至不再发生进位为止，处理完一个排列就产生了一个新的排列  
3）将其中有相同元素的排列去掉  
4）当第一个元素的值>n则结束  
以3个数1、2、3的排列为例：原始排列是1 2 3，从它开始，第3个元素是3，3+2=5，5 Mod 3=2，第2个元素是2，2+1=3，所以新排列是1 3 2。通过元素增值，顺序产生的排列是：1 2 3，1 3 2，2 1 1，2 1 3，2 2 2，2 3 1，2 3 3，3 1 2，3 2 1  
有下划线的排列中存在重复元素，丢弃，余下的就是全部排列。  
Private Sub Incr(p() As Integer, ByVal n As Integer)  
Dim i As Integer, j As Integer  
Do While n > 0  
OutL p  
Nextn: p(n) = p(n) + n - 1'第n个元素增值n-1  
For j = n To 2 Step -1'从后往前检查  
If p(j) > n Then'如果元素增值后超过n  
p(j) = p(j) Mod n'用n除它取余数  
p(j - 1) = p(j - 1) + 1'向前一个元素进位  
If p(1) > n Then Exit Sub'第一个元素值超过n，则所有排列都找到  
End If  
Next  
For i = 1 To n - 1'检查排列中的元素是否重复  
For j = i + 1 To n  
If p(i) = p(j) Then GoTo Nextn '排列中有重复元素，丢弃  
Next  
Next  
Loop  
End Sub

**6.递归类算法**  
全排列的生成方法用递归方式描述比较简洁，实现的方法也有多种。

**1）回溯法**  
回溯法通常是构造一颗生成树。以3个元素为例；树的节点有个数据，可取值是1、2、3。如果某个为0，则表示尚未取值。  
初始状态是(0，0，0)，第1个元素值可以分别挑选1，2，3，因此扩展出3个子结点。用相同方法找出这些结点的第2个元素的可能值，如此反复进行，一旦出现新结点的3个数据全非零，那就找到了一种全排列方案。当尝试了所有可能方案，即获得了问题的解答。  
程序代码如下：  
Private Sub Remo(p() As Integer, ByVal k As Integer)  
Dim b As Boolean  
If k = n + 1 Then'如果k>n则输出一个排列  
OutL p  
Else'否则  
For i = 1 To n  
b = False'重复元素标志置为False  
p(k) = i'第k个元素设为i  
For j = 1 To k - 1'检查是否存在重复元素  
If i = p(j) Then'有重复  
b = True'设置重复标志为True  
j = k - 1'回溯  
End If  
Next'换一个元素试探  
If Not b Then Remo, k + 1'无重复，继续递归找下一个元素  
Next  
End If  
End Sub

**2）递归算法**  
如果用P表示n个元素的排列，而Pi表示不包含元素i的排列，(i)Pi表示在排列Pi前加上前缀i的排列，那么，n个元素的排列可递归定义为：  
如果n=1，则排列P只有一个元素i  
如果n>1，则排列P由排列(i)Pi构成（i=1、2、....、n-1）。  
根据定义，容易看出如果已经生成了k-1个元素的排列，那么，k个元素的排列可以在每个k-1个元素的排列Pi前添加元素i而生成。例如2个元素的排列是 1 2和2 1，对与个元素而言，p1是2 3和3 2，在每个排列前加上1即生成1 2 3和1 3 2两个新排列，p2和p3则是1 3、3 1和1 2、2 1，按同样方法可生成新排列2 1 3、2 3 1和3 1 2、3 2 1。  
程序代码如下：  
Private Sub Recu(p() As Integer, ByVal k As Integer)  
If k = n Then  
OutL p  
Else  
For i = k To n  
Swap p(k), p(i)  
Recu p, k + 1  
Swap p(k), p(i)  
Next  
End If  
End Sub  
  
**3）循环移位法**  
如果已经生成了k-1个元素的排列，则在每个排列后添加元素k使之成为k个元素的排列，然后将每个排列循环左移（右移），每移动一次就产生一个新的排列。  
例如2个元素的排列是1 2和2 1。在1 2 后加上3成为新排列1 2 3，将它循环左移可再生成新排列2 3 1、3 1 2，同样2 1 可生成新排列2 1 3、1 3 2和3 2 1。  
程序代码如下：  
Private Sub Cycl(p() As Integer,ByVal k As Integer)  
If k > n Then  
OutL p  
tot = tot + 1  
Else  
For i = 0 To k - 1  
t = p(1)  
For j = 2 To k  
p(j - 1) = p(j)  
Next  
p(k) = t  
Cycl p,k + 1  
Next  
End If  
End Sub

**C++全排列之非递归算法:字典序法**

题目：1~n的全排列

思想：（字典序法）初始化数组为1,2,3,...,n作为开端；设法从后续排列中找到大于前次结果但小于其他结果的序列；依此找出这样的序列（后面序列肯定大于前面序列），则最后一个序列肯定是n,...,3,2,1  
步骤：

*  假设情景：找“\*243”该序列的下一个后续序列
 *  从后往前找，找到这样一个数，它后面的数更大，（即找到"\*24\*"，取2作为当前数，下标为i）
 *  在“2”的后面，找到最接近2且比2大的数，这里找到“3”（下标为j）
 *  调换a\[i\]和a\[j\]的值
 *  对a\[i+1\]……a\[n-1\]进行转置
 *  此时数组a中的数就是所求后续序列
 *  从1,2,3,...,n依此求出后续序列（即重新进行上面步骤），一直找到i=0且a\[0\]>a\[1\]则算法结束，全排列已全部给出。

三思：

*  怎么保证后面的序列比前面的大？首先开端是序列中最小的，i后面的部分是倒叙排列的，再对调（保证了大于前面序列）后，对i后面的进行逆置，保证了自身是后续排列中最小的，所以小于前面大于后面，依此递增，直到n,...,3,2,1算法结束。
 *  该算法要给一个开端，对于求“142”全排列这种情况，是不是还需要进行先排序得到“124”后再处理？
 *  该算法对调操作频繁，还有转置操作，相比较于递归调用函数，时间更少了，但心里不是滋味。
 *  处理"1223"这种情况又怎样？递归方法不能处理，但这种方法可以处理。
 *  对于字符排序"abc","abb"这两种情况，貌似与数字排序"123","122"一样，反正字符也可以比较大小，所以这两种情况也可以得到解决。

其他：头文件\#include<algorithm>提供字典序法求后续序列的函数为next\_permutation(\_, \_)。

代码：

[![复制代码][copycode.gif]][copycode.gif 1]

#include <iostream>
    using namespace std;
    const int MaxNum=9;
    int iArr[MaxNum];
    int count;
    inline void printArr(int n)//打印数组，n为元素的总个数
    {
    int i;
    for(i=0;i<n;i++)cout<<iArr[i];
    cout<<endl;
    count++;
    }
    inline void Swap(int i,int j)//调换iArr[i]与iArr[j]的值
    {
    int temp=iArr[i];
    iArr[i]=iArr[j];
    iArr[j]=temp;
    }
    void Transpose(int k,int m)//把数组下标为k~m的数转置
    {
    int i,j;
    for(i=k,j=m;j>i;i++,j--)Swap(i,j);
    }
    int FullArray2(const int n)//对1~n进行全排列
    {
    if(1==n){cout<<"1"<<endl;count++;return 1;}//特殊情况n=1
    int i,j;
    while(1){
    printArr(n);
    for(i=n-2;i>=0;i--){
          //要求n>=2
    if(iArr[i]<iArr[i+1])break;//先求i
    if(0==i)return 1;//函数出口：当i=0且iArr[0]>iArr[1]时，函数结束
    }
    for(j=n-1;j>i;j--){
    if(iArr[i]<iArr[j])break;//后求j
    }
    Swap(i,j);//调换iArr[i]与iArr[j]的值
    Transpose(i+1,n-1);//把i后面的数转置
    }
    }
    void main()
    {
    int i,n;
    while(1){
    system("cls");
    count=0;//测试新用例时,count重新置0
    cout<<"请输入n（最大为9）：";
    cin>>n;
    if(n>MaxNum || n<1){cout<<"Error: n的值在设定值范围之外"<<endl;break;}
    for(i=0;i<n;i++)iArr[i]=i+1;//由于FullArray2上一次调用完，不会把调换的元素调整回来，故每次调用FullArray2前都要对数组进行重新初始化，即这条语句不能放在while循环外。
    FullArray2(n);
    cout<<"1~"<<n<<"的全排列的个数："<<count<<endl;
    system("pause");
    }
    }

来源:http://blog.sina.com.cn/s/blog\_4cd4ffc401018x7r.html

[copycode.gif]: http://common.cnblogs.com/images/copycode.gif
[copycode.gif 1]: http://www.cnblogs.com/caixu/archive/2011/10/31/2230497.html