Z检验|T检验|样本标准差S代替总体标准差 σ

痛定思痛。 2023-10-15 19:57 139阅读 0赞

Z检验也叫做正态分布的标准正态分布变量检验。它通常用于大样本（样本容量大于30）且总体标准差已知的情况下，用于比较样本均值与总体均值之间的差异是否显著。

**Z检验的基本思想**都是计算样本均值与参考值或另一个样本均值之间的差异，然后将其标准化为标准正态分布的z分数，最后使用z分数计算p值来判断差异是否显著。

Z分数（也称为标准分数或标准化分数）是一个表示数据点在标准正态分布中的位置的分数。它告诉我们一个数据点与平均值的差异**以标准差为单位**的程度。

Z检验通常需要满足以下两个重要的前提条件：

1.  **样本容量较大**：通常情况下，样本容量需要大于30，以确保中心极限定理成立，从而使样本均值的抽样分布近似正态分布。
2.  **已知总体标准差**：Z检验要求我们已经知道总体的标准差。如果我们不知道总体标准差，就无法进行Z检验。在实际情况中，如果我们不知道总体标准差，可以考虑使用T检验。

这两个前提条件是为了保证Z检验的可靠性和准确性。如果样本容量较小或者总体标准差未知，t检验可能是一个更合适的选择，因为它对样本容量和总体标准差的要求更为宽松。

总的来说，根据实际情况和样本数据的特点，选择合适的统计检验方法非常重要。

**当可以使用样本标准差 s 代替总体标准差 σ 进行Z检验时，通常涉及到以下情况：**

1.  **总体标准差已知**：
    
     *  当您已经知道总体的标准差 σ 时，可以直接使用它进行Z检验。这种情况下，您不需要对总体参数进行估计。
2.  **样本容量大**：
    
     *  当样本容量足够大时，通常大于30，使用样本标准差 s 代替总体标准差 σ 进行Z检验是合理的。这是因为当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布会趋近于正态分布，根据中心极限定理，我们可以使用样本标准差来估计总体标准差。
3.  **总体是正态分布或样本容量足够大**：
    
     *  如果您知道总体是正态分布的，或者即使总体不是正态分布但样本容量足够大，通常可以使用样本标准差进行Z检验。这是因为根据中心极限定理，样本均值的抽样分布会接近正态分布，从而允许我们使用样本标准差来进行统计推断。

需要注意的是，在实际应用中，对于总体标准差是否已知以及样本容量的大小，需要根据具体情况进行合理的选择。如果存在不确定性，也可以进行敏感性分析来评估不同假设下的影响。

总的来说，使用样本标准差 s 代替总体标准差 σ 进行Z检验通常是在满足上述条件的前提下，可以进行的一种合理假设。

当总体标准差未知且样本容量较小（小于30）时，我们可以使用样本标准差 s 来代替总体标准差 σ 进行统计推断。这通常发生在 t 检验等假设检验中。

这种情况下，我们使用 t 分布而不是标准正态分布，因为样本标准差的估计会引入额外的不确定性。t 分布会在样本容量较小时提供更准确的结果。

所以，在这种情况下，我们可以通过计算 t 统计量来进行假设检验，然后根据 t 分布表或使用统计软件来获取相应的 p 值。这样我们可以进行统计推断，例如判断两个平均值之间是否存在显著差异。

import numpy as np
    import statsmodels.stats.weightstats as sm
    
    # 一个样本数据，样本容量大于30
    group1 = [85, 88, 84, 82, 91, 95, 89, 90, 84, 87, 86, 82, 88, 89, 90, 85, 83, 87, 91, 92, 86, 87, 88, 89, 82, 85, 86, 87, 88, 84, 90]
    
    # 假设的总体均值
    population_mean = 85
    
    # 执行单样本 Z 检验
    z_statistic, p_value = sm.ztest(group1, value=population_mean)
    
    # 显示结果
    print(f"Z 统计量: {z_statistic}")
    print(f"P 值: {p_value}")
    
    if p_value < 0.05:
        print("在95%的置信水平下，样本均值与假设的总体均值存在显著差异")
    else:
        print("在95%的置信水平下，没有足够的证据表明样本均值与假设的总体均值存在显著差异")

import numpy as np
    import statsmodels.stats.weightstats as sm
    # 样本数据
    sample_data = [10, 12, 11, 9, 8, 10, 11, 12, 9, 10]
    
    # 假设的总体均值
    population_mean = 10
    
    # 执行单样本 t 检验
    t_statistic, p_value = sm.ttest_1samp(sample_data, population_mean)
    
    # 显示结果
    print(f"t 统计量: {t_statistic}")
    print(f"P值: {p_value}")
    
    if p_value < 0.05:
        print("在95%的置信水平下，样本均值与假设的总体均值存在显著差异")
    else:
        print("在95%的置信水平下，没有足够的证据表明样本均值与假设的总体均值存在显著差异")