高等数学：周期函数

小鱼儿 2023-10-15 12:00 209阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  定义
 *  最小正周期
 *  周期函数的判定定理

## 定义 ##

对于  y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，如果存在一个常数  T ≠ 0 T\\ne0 T=0 .使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有  f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T)=f(x) f(x\+T)=f(x) 成立，那么函数  y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)叫周期函数，非零常数 T 叫做  f ( x ) f(x) f(x)的周期。

定义需要注意的点：

定义应对定义域中的每一个 x 值来说，只有个别的 x 值满足  f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T)=f(x) f(x\+T)=f(x) 或不满足都不能说 T 是  f ( x ) f(x) f(x)的周期。  
从等式  f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T)=f(x) f(x\+T)=f(x)来看，应强调的是自变量 x 本身加的常数才是周期，如  f ( 2 x + T ) = f ( 2 x ) f(2x+T)=f(2x) f(2x\+T)=f(2x) ， T 不是周期，而应写成  f ( 2 x + T ) = f \[ 2 ( x + T 2 ) \] = f ( 2 x ) f(2x+T)=f\[2(x+\\frac\{T\}\{2\})\]=f(2x) f(2x\+T)=f\[2(x\+2T)\]=f(2x) ，则  T 2 \\frac\{T\}\{2\} 2T 是 f(x) 的周期。  
在周期函数  y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)中， T 是周期，若 x 是定义域的一个值，  x + k T x+kT x\+kT( k ∈ Z k\\in Z k∈Z，且 k ≠ 0 k\\ne 0 k=0) 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或无下界。

## 最小正周期 ##

周期函数的周期可以不止一个，如果在所有的周期中存在着一个最小正数，则称这个最小正数为该函数的最小正周期。

最小正周期需要注意：

周期函数不一定有最小正周期。比如常数函数，任何非零实数都是它的周期，但它没有最小正周期。  
若  f ( x ) f(x) f(x) 是定义在区间  ( − ∞ ， + ∞ ) (-∞，+∞) (−∞，\+∞) 上以 T 为周期的函数，则对于 k ∈ Z k∈Z k∈Z， k ≠ 0 k≠0 k=0 ， kT 也是  f ( x ) f(x) f(x)的周期。

## 周期函数的判定定理 ##

对于函数  y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) ，若关于 T 的方程  f ( x + T ) − f ( x ) = 0 f(x+T)-f(x)=0 f(x\+T)−f(x)=0 有与 x 无关的非零常数解  T ∗ T^\{\*\} T∗，则  y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)是周期函数，且  T ∗ T^\{\*\} T∗ 是它的一个周期。  
若函数  y = f ( x ) ( x ∈ R ) y=f(x)(x∈R) y=f(x)(x∈R)的图象关于  x = a x=a x=a  x = b ( b ≠ a ) x=b(b≠a) x=b(b=a)都对称，则  f ( x ) f(x) f(x)是周期函数，且  2 ∣ b − a ∣ 2|b-a| 2∣b−a∣是它的一个周期。  
如果一个偶函数的图象关于  x = a ( a ≠ 0 ) x=a(a≠0) x=a(a=0) 对称，则必是周期函数，且  2 a 2a 2a 是它的一个周期。  
若函数 f(x) 的图象关于点 （a,0） 与 (b,0)(a≠b) 都对称，则 f(x) 是周期函数，且 2|b-a| 是它的一个周期。  
如果一个奇函数的图象关于 （a,0）(a≠0) 对称，则必是周期函数，且 2a 是它的一个周期。  
设 f(x) 是定义在 R 上的函数， a、b 是不为零的常数  
①若满足 f(x+a)=f(x+b) ，则 f(x) 是周期函数，且 a-b 是它的一个周期。特别地，若 f(x+a)=f(x-a) ，则 f(x) 是周期函数，且 2a 是它的一个周期。  
②若满足 f(x+a)=-f(x) ，则 f(x) 是周期函数，且 2a 是它的一个周期。  
③若满足 f(x+a)=\\pm\\frac\{1\}\{f(x)\} ，则 f(x) 是周期函数，且 2a 是它的一个周期。  
④若满足 f(x)=f(x-a) ，则 f(x) 是周期函数，且 a 是它的一个周期。  
⑤若 f(x+a)=-f(x+b) ，则 f(x) 是周期函数，且 2(a-b) 为 f(x) 的一个周期。特别地，若 f(x+a)=-f(x-a) ，则 f(x) 是周期函数，且 4a 为 f(x) 的一个周期。  
7. 若函数 y=f(x)(x∈R) 满足 f(x)=f(x+a)+f(x-a) （ a>0 的常数），则 f(x) 是周期函数，且 6a 是它的一个周期。

1.  设 y=f(x) 是实数集 M 上的周期函数，则

① kf(x)+c（k,c为常数）是 M 上的周期函数；  
② |f(x)| 是 M 上的周期函数；  
③ \\frac\{1\}\{f(x)\} 是 \{x|f(x)≠0，x∈M\}上的周期函数；  
④ f(ax+b) 是 \{x|ax+b，x∈M\}上的周期函数。