【Java数据结构和算法】011-排序：排序算法、时间复杂度、空间复杂度

迈不过友情╰ 2023-10-05 04:56 19阅读 0赞

# **目录** #

0、警醒自己

一、排序算法概述

1、简介

2、分类

内部排序：

外部排序：

3、常见的排序算法

二、算法的时间复杂度

1、度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

事后统计的方法：

事前估算的方法：

2、时间频度

介绍：

举例说明-基本案例：

举例说明-忽略常数项：

举例说明-忽略低次项：

举例说明-忽略系数：

3、时间复杂度

4、常见的时间复杂度

（1）常数阶O(1)

（2）对数阶O(log2n)

（3）线性阶O(n)

（4）线性对数阶O(nlogN)

（5）平方阶O(n²)

（6）立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

5、平均时间复杂度和最坏时间复杂度

三、算法的空间复杂度

1、介绍

--------------------

# 0、警醒自己 #

**1、学习不用心，骗人又骗己；**

**2、学习不刻苦，纸上画老虎；**

**3、学习不惜时，终得人耻笑；**

**4、学习不复习，不如不学习；**

**5、学习不休息，毁眼伤身体；**

**7、狗才等着别人喂，狼都是自己寻找食物；**

# 一、排序算法概述 #

## 1、简介 ##

排序也称排序算法 (Sort Algorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程；

## 2、分类 ##

### 内部排序： ###

指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器（内存）中进行排序；

### 外部排序： ###

数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储进行排序；

## 3、常见的排序算法 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

# 二、算法的时间复杂度 #

## 1、度量一个程序(算法)执行时间的两种方法 ##

### 事后统计的方法： ###

这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，**这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快；**

### 事前估算的方法： ###

通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优；

## 2、时间频度 ##

### 介绍： ###

时间频度：一个算法执行所花费的时间与算法中语句的执行次数成正比，也就是说一个算法中语句执行次数越多，它花费的时间就越多。**一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度，记为T(n)；**

### 举例说明-基本案例： ###

比如计算1-100所有数字之和，我们设计两种算法：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

时间复杂度：T(n)=n+1;

![202011210732235.png][]

时间复杂度：T(n)=1

### 举例说明-忽略常数项： ###

**表：**

**对应的曲线图：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

**结论：**

随着n的变大，带常数和不带常数的算式的时间复杂度无限接近，所以说常熟可以忽略；

**在统计时间复杂度的时候，常数项可以忽略；**

### 举例说明-忽略低次项： ###

**表：**

**对应曲线图：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

**结论：**

2n^2+3n+10和 2n^2随着n变大，执行曲线无限接近，可以忽略3n+10；

n^2+5n+20和 n^2随着n变大，执行曲线无限接近，可以忽略 5n+20；

**在统计时间复杂度的时候，低次项可以忽略；**

### 举例说明-忽略系数： ###

**表：**

**表对应的曲线图：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

**结论：**

随着n值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略；

而n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方是关键；

**在统计时间复杂度的时候，系数可以忽略；**

## 3、时间复杂度 ##

①一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度；

②T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)；

③计算时间复杂度的方法：

用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1；

修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²；

去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)；

## 4、常见的时间复杂度 ##

常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)；

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]

说明：

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：**Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n^2)＜Ο(n^3)＜ Ο(n^k) ＜Ο(2^n)** ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低；

从图中可见，**我们应该尽可能避免使用指数阶的算法**；

### （1）常数阶O(1) ###

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)；

![20201121084447263.png][]

上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度；

### （2）对数阶O(log2n) ###

![20201121084523228.png][]

说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i \* 3 ，则是 O(log3n) ；

![20201121084605690.png][]

### （3）线性阶O(n) ###

![20201121084631578.png][]

说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度；

### （4）线性对数阶O(nlogN) ###

![20201121084703910.png][]

说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n \* O(logN)，也就是了O(nlogN)；

### （5）平方阶O(n²) ###

![20201121084739859.png][]

说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n\*n)，即O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m\*n)；

### （6）立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k) ###

说明：参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似；

## 5、平均时间复杂度和最坏时间复杂度 ##

①平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间；

②最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长；

③平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关，如图：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 6][]

# 三、算法的空间复杂度 #

## 1、介绍 ##

①类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数；

②空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况；

③**在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。**一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间；

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020112107091614.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201121073148803.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz,size_16,color_FFFFFF,t_70
[202011210732235.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/202011210732235.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201121073705218.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201121074058968.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020112107441565.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201121083750919.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz,size_16,color_FFFFFF,t_70
[20201121084447263.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201121084447263.png
[20201121084523228.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201121084523228.png
[20201121084605690.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201121084605690.png
[20201121084631578.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201121084631578.png
[20201121084703910.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201121084703910.png
[20201121084739859.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201121084739859.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201121091713467.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI5Njg5MzQz,size_16,color_FFFFFF,t_70