SCAU 概率论期末复习（开卷）

港控/mmm° 2023-10-04 14:26 38阅读 0赞

说明：由于考试是上机开卷，所以下面写出了求值的代码（java），考试的时候可以直接输入数据即可获得答案。

### 第四章 ###

**1.求下四分位，中位数和上四分位**

package com.company;
    
    import java.util.Arrays;
    import java.util.Scanner;
    
    public class Main {
        
    
        public static void main(String[] args) {
        
            int n;
            Scanner cin = new Scanner(System.in);
            System.out.println("输入一共有几个数字");
            n = cin.nextInt();
    
    
            double[] arr = new double[n];
    
            System.out.println("输入数组");
            for(int i=0;i<n;i++){
        
                arr[i] = cin.nextDouble();
            }
            System.out.println("下四分位，中位数，上四分位分别是：");
            System.out.println(Arrays.toString(getQuartiles(arr)));
    	// write your code here
        }
    
        /**
         * 四分位算法
         　　　*@param arr 长度为n的数组
         　　　*@return quartiles Q1/Q2/Q3数组
         **/
        public static double[] getQuartiles(double[] arr) {
        
            double[] arr1 = new double[4];
            // 长度小于4时,补齐arr数组至长度四位
            if (arr.length < 4) {
        
                for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        
                    arr1[i] = arr[i];
                }
                for (int k = arr.length; k < 4; k++) {
        
                    arr1[k] = arr1[k];
                }
                return arr1;
            }
            double[] tempArr = Arrays.copyOf(arr, arr.length);
            Arrays.sort(tempArr);
            double[] quartiles = new double[3];
    
            int n = arr.length;
            double Q1 = (n+1) * 0.25D;
            double Q2 = (n+1) * 0.5D;
            double Q3 = (n+1) * 0.75D;
            //Q1
            if(Q1 % 2 == 0){
        
                quartiles[0] = tempArr[(int)Q1];
            }else{
        
                double Q1y = Q1-Math.floor(Q1);
                double Q1r;
                Q1r = (1D - Q1y) * tempArr[(int) Math.floor(Q1)-1] + Q1y * tempArr[(int) Math.ceil(Q1)-1];
                quartiles[0] = Q1r;
            }
            //Q2
            if(Q2 % 2 == 0){
        
                quartiles[1] = tempArr[(int)Q2];
            }else{
        
                double Q2y = Q2-Math.floor(Q2);
                double Q2r;
                Q2r = (1D - Q2y) * tempArr[(int) Math.floor(Q2)-1] + Q2y * tempArr[(int) Math.ceil(Q2)-1];
                quartiles[1] = Q2r;
            }
            //Q3
            if(Q3 % 2 == 0){
        
                quartiles[2] = tempArr[(int)Q3];
            }else{
        
                double Q3y = Q3-Math.floor(Q3);
                double Q3r;
                Q3r = (1D - Q3y) * tempArr[(int) Math.floor(Q3)-1] + Q3y * tempArr[(int) Math.ceil(Q3)-1];
                quartiles[2] = Q3r;
            }
            return quartiles;
        }
    }

**2.切比雪夫不等式**  
任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。对于m=2，m=3和m=5有如下结果：  
所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。  
所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。  
所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内 \[2\] 。

**3.求平均值、总和、标准差、方差**

package com.company;
    
    import java.text.DecimalFormat;
    import java.util.*;
    
    
    public class Main{
        
    
        public static void main(String[] args) {
        
            int n;
            Scanner cin = new Scanner(System.in);
            System.out.println("输入数字的个数：");
            n = cin.nextInt();
            double[] x = new double[n];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 随机生成n个double数
                x[i] = cin.nextDouble();
            }
            // 设置doubl字符串输出格式，不以科学计数法输出
            DecimalFormat df = new DecimalFormat("#,##0.00");// 格式化设置
            // 计算方差
            double dV = Variance(x);
            System.out.println("方差=" + df.format(dV));
            // 计算标准差
            double dS = StandardDiviation(x);
            System.out.println("标准差=" + df.format(dS));
    
        }
    
        //方差s^2=[(x1-x)^2 +...(xn-x)^2]/n 或者s^2=[(x1-x)^2 +...(xn-x)^2]/(n-1)
        public static double Variance(double[] x) {
        
            int m=x.length;
            double sum=0;
            for(int i=0;i<m;i++){
        //求和
                sum+=x[i];
            }
            System.out.println("总和="+sum);
            double dAve=sum/m;//求平均值
            System.out.println("平均值="+dAve);
            double dVar=0;
            for(int i=0;i<m;i++){
        //求方差
                dVar+=(x[i]-dAve)*(x[i]-dAve);
            }
            return dVar/m;
        }
    
        //标准差σ=sqrt(s^2)
        public static double StandardDiviation(double[] x) {
        
            int m=x.length;
            double sum=0;
            for(int i=0;i<m;i++){
        //求和
                sum+=x[i];
            }
            double dAve=sum/m;//求平均值
            double dVar=0;
            for(int i=0;i<m;i++){
        //求方差
                dVar+=(x[i]-dAve)*(x[i]-dAve);
            }
            //reture Math.sqrt(dVar/(m-1));
            return Math.sqrt(dVar/m);
        }
    }

**4.知道标准差和平均值，求某范围占比**  
利用正态分布来计算  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L01hb3hpbQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
**5.离散系数**  
一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标，其作用主要是用于比较不同组别数据的离散程度。 其计算公式为  
![在这里插入图片描述][20210526111309312.png]

在对比情况下，离散系数较大的其分布情况差异也大。

**6.计算峰态系数**

package com.company;
    
    import java.util.Scanner;
    
    public class Main{
        
    
        public static void main(String[] args) {
        
            Scanner cin = new Scanner(System.in);
            int t;
            System.out.println("输入总共数字个数：");
            t =cin.nextInt();
            int n;
            System.out.println("输入不同数的个数：");
            n = cin.nextInt();
            double[] a =new double[n];
            System.out.println("输入数组");
            for(int i=0;i<n;i++){
        
                a[i] = cin.nextDouble();
            }
            int[] b = new int[n];
            System.out.println("分别输入每个数的频数：");
            for(int i=0;i<n;i++){
        
                b[i] = cin.nextInt();
            }
            System.out.println("输入标准差：");
            double s;
            s = cin.nextDouble();
            double x =0;
            for(int i=0;i<n;i++){
        
                x+=a[i]*b[i];
            }
            x/=t;
    
            double r1 =0;
            for (int i=0;i<n;i++){
        
                r1 += (a[i]-x)*(a[i]-x)*(a[i]-x)*(a[i]-x)*b[i];
            }
            double result;
            result = r1/(t*s*s*s*s)-3;
            System.out.println("峰态系数"+result);
            if(result>0){
        
                System.out.println("尖峰分布");
            }
            else if(result<0){
        
                System.out.println("平峰分布");
            }
            else {
        
                System.out.println("标准分布");
            }
    
    
    
        }
    }

### 第五章 ###

**1.求带概率的标准差**  
先算期望 E(X) = 1*0.25 + 2*0.45 + 3 *0.3 = 2.05再算 E(X²) = 1²*0.25 + 2²\*0.45 + 3² \*0.3 = 4.75所以方差D(X)=E(X²)-E(X)²=0.5475标准差就开根号 为 0.74

### 第七章 ###

**1.求置信区间**

package com.company;
    
    import java.util.Scanner;
    
    public class Main{
        
    
        public static void main(String[] args) {
        
            Scanner cin = new Scanner(System.in);
            int n;
            System.out.println("输入样本的数量：");
            n = cin.nextInt();
            double x;
            System.out.println("输入样本的均值：");
            x = cin.nextDouble();
            double variance;
            System.out.println("输入方差，或者标准差的平方：");
            variance = cin.nextDouble();
            System.out.println("输入概率的正态值(95%的值是1.96)：");
            double y;
            y = cin.nextDouble();
            double v = Math.sqrt(variance) / Math.sqrt(n);
            System.out.println(x+"-"+y*v +","+x+"+"+ y*v);
            System.out.println(x- y*v +","+(x+ y*v));
    
        }
    }

### 补充（方便运算） ###

次方运算

package com.company;
    
    import java.util.Scanner;
    
    public class Main{
        
    
        public static void main(String[] args) {
        
            System.out.println("请输入几的几方：");
            double a;
            int n;
            double result=1;
            Scanner cin = new Scanner(System.in);
            a = cin.nextDouble();
            n = cin.nextInt();
            for(int i=0;i<n;i++){
        
                result = result*a;
            }
            System.out.println("结果是:"+result);
    
        }
    }

**2.显著性水平**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L01hb3hpbQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

package com.company;
    
    import java.util.Scanner;
    
    public class Main{
        
    
        public static void main(String[] args) {
        
            Scanner cin = new Scanner(System.in);
            System.out.println("输入标准差：");
            double deviation;
            deviation = cin.nextDouble();
            System.out.println("输入取了多少个样品n：");
            int n;
            n = cin.nextInt();
            System.out.println("输入x的均值：");
            double x;
            x = cin.nextDouble();
            System.out.println("输入平常的值u：");
            double u;
            u = cin.nextDouble();
            System.out.println("显著水平的值(0.05则输入1.96)；");
            double v;
            v = cin.nextDouble();
    
            double result;
            result = (x-u)/(deviation/Math.sqrt(n));
            if(result>=v||result<=-v){
        
                System.out.println("result:"+result);
                System.out.println("则有显著的比变化");
            }
            else {
        
                System.out.println("result:"+result);
                System.out.println("没有有显著的比变化");
    
            }
            System.out.println(result);
        }
    }

**标准正态分布的一些常用的概率的值是90%,95%,98%,99%:**  
1.28 0.8997  
1.65 0.9505  
1.96 0.9750  
2.06 0.9803  
2.33 0.9901

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[20210526111309312.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210526111309312.png
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