805. 数组的均值分割 : 折半搜索 + 二进制枚举运用题

快来打我* 2023-10-03 21:31 37阅读 0赞

### 题目描述 ###

这是 LeetCode 上的 **[805. 数组的均值分割][805.]** ，难度为 **困难**。

Tag : 「折半搜索」、「二进制枚举」、「哈希表」

给定你一个整数数组 `nums`

我们要将 `nums` 数组中的每个元素移动到 `A` 数组 或者 `B` 数组中，使得 `A` 数组和 `B` 数组不为空，并且 `average(A) == average(B)` 。

如果可以完成则返回 `true`， 否则返回 `false`。

注意：对于数组 `arr`, `average(arr)` 是 `arr` 的所有元素除以 `arr` 长度的和。

示例 1:

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7,8]
    
    输出: true
    
    解释: 我们可以将数组分割为 [1,4,5,8] 和 [2,3,6,7], 他们的平均值都是4.5。
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示例 2:

输入: nums = [3,1]
    
    输出: false
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提示:

*  1<=nums.length<=301 <= nums.length <= 301<=nums.length<=30
 *  0<=nums\[i\]<=1040 <= nums\[i\] <= 10^40<=nums\[i\]<=104

### 折半搜索 + 二进制枚举 + 哈希表 + 数学 ###

提示一：将长度为 nnn，总和为 sumsumsum 的原数组划分为两组，使得两数组平均数相同，可推导出该平均数 avg=sumnavg = \\frac\{sum\}\{n\}avg=nsum

若两数组平均数相同，则由两数组组成的新数组（对应原数组 `nums`）平均数不变，而原数组的平均数可直接算得。

提示二：原数组长度为 303030，直接通过「二进制枚举」的方式来做，计算量为 2302^\{30\}230，该做法无须额外空间，但会 `TLE`。

所谓的直接使用「二进制枚举」来做，是指用二进制表示中的 `0` 和 `1` 分别代表在划分数组两边。

如果直接对原数组进行「二进制枚举」，由于每个 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 都有两种决策（归属于数组 `A` 或 `B`），共有 2302^\{30\}230 个状态需要计算。同时每个状态 `state` 而言，需要 O(n)O(n)O(n) 的时间复杂度来判定，但整个过程只需要有限个变量。

因此直接使用「二进制枚举」是一个无须额外空间 `TLE` 做法。

提示三：空间换时间

我们不可避免需要使用「枚举」的思路，也不可避免对每个 nums\[i\]nums\[i\]nums\[i\] 有两种决策。**但我们可以考虑缩减每次搜索的长度，将搜索分多次进行。**

具体的，我们可以先对 `nums` 的前半部分进行搜索，并将搜索记录以「二元组 (tot,cnt)(tot, cnt)(tot,cnt) 的形式」进行缓存（`map` 套 `set`），其中 `tot` 为划分元素总和，`cnt` 为划分元素个数；随后再对 `nums` 的后半部分进行搜索，假设当前搜索到结果为 (tot′,cnt′)(tot', cnt')(tot′,cnt′)，假设我们能够通过“某种方式”算得另外一半的结果为何值，并能在缓存结果中查得该结果，则说明存在合法划分方案，返回 `true`。

通过「折半 + 缓存结果」的做法，将「累乘」的计算过程优化成「累加」计算过程。

提示四：何为“某种方式”

假设我们已经缓存了前半部分的所有搜索结果，并且在搜索后半部分数组时，当前搜索结果为 (tot′,cnt′)(tot', cnt')(tot′,cnt′)，应该在缓存结果中搜索何值来确定是否存在合法划分方案。

假设存在合法方案，且在缓存结果应当被搜索的结果为 (x,y)(x, y)(x,y)。我们有 tot′+xcnt′+y=avg=sumn\\frac\{tot' + x\}\{cnt' + y\} = avg = \\frac\{sum\}\{n\}cnt′+ytot′+x=avg=nsum。

因此我们可以直接枚举系数 kkk 来进行判定，其中 kkk 的取值范围为 \[max⁡(1,cnt′),n−1\]\[\\max(1, cnt'), n - 1\]\[max(1,cnt′),n−1\]，结合上式算得 t=k×sumnt = k \\times \\frac\{sum\}\{n\}t=k×nsum，若在缓存结果中存在 (t−tot′,k−cnt′)(t - tot', k - cnt')(t−tot′,k−cnt′)，说明存在合法方案。

代码：

class Solution {
        public boolean splitArraySameAverage(int[] nums) {
            int n = nums.length, m = n / 2, sum = 0;
            for (int x : nums) sum += x;
            Map<Integer, Set<Integer>> map = new HashMap<>();
            for (int s = 0; s < (1 << m); s++) {
                int tot = 0, cnt = 0;
                for (int i = 0; i < m; i++) {
                    if (((s >> i) & 1) == 1) {
                        tot += nums[i]; cnt++;
                    }
                }
                Set<Integer> set = map.getOrDefault(tot, new HashSet<>());
                set.add(cnt);
                map.put(tot, set);
            }
            for (int s = 0; s < (1 << (n - m)); s++) {
                int tot = 0, cnt = 0;
                for (int i = 0; i < (n - m); i++) {
                    if (((s >> i) & 1) == 1) {
                        tot += nums[i + m]; cnt++;
                    }
                }
                for (int k = Math.max(1, cnt); k < n; k++) {
                    if (k * sum % n != 0) continue;
                    int t = k * sum / n;
                    if (!map.containsKey(t - tot)) continue;
                    if (!map.get(t - tot).contains(k - cnt)) continue;
                    return true;
                }
            }
            return false;
        }
    }
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*  时间复杂度：对原数组前半部分搜索复杂度为 O(2n2)O(2^\{\\frac\{n\}\{2\}\})O(22n)；对原数组后半部分搜索复杂度为 O(2n2)O(2^\{\\frac\{n\}\{2\}\})O(22n)，搜索同时检索前半部分的结果需要枚举系数 `k`，复杂度为 O(n)O(n)O(n)。整体复杂度为 O(n×2n2)O(n \\times 2^\{\\frac\{n\}\{2\}\})O(n×22n)
 *  空间复杂度：O(2n2)O(2^\{\\frac\{n\}\{2\}\})O(22n)

### 最后 ###

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.805` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：[github.com/SharingSour…][github.com_SharingSour] 。

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[805.]: https://link.juejin.cn?target=https%3A%2F%2Fleetcode.cn%2Fproblems%2Fsplit-array-with-same-average%2Fsolution%2Fgong-shui-san-xie-by-ac_oier-flsd%2F
[github.com_SharingSour]: https://link.juejin.cn?target=https%3A%2F%2Fgithub.com%2FSharingSource%2FLogicStack-LeetCode