旅游规划pta（无向图求顶点间最短路径）

悠悠 2023-10-03 17:44 107阅读 0赞

### 关于求图的顶点间最短路径问题，基本分为两种算法： ###

1.  Dijkstra算法
2.  Floyd算法

**Dijkstra算法是用来求图中某个源点到其他顶点的最短路径的，而Floyd是用来求图中任意两个顶点间的最短路径。原理上Floyd可以对Dijkstra算法遍历以便所有顶点得到，但是Flody的写法更简单一点。**  
下面以一道经典例题为例  
***题目来源：PTA***  
**旅游规划**  
*有了一张自驾旅游路线图，你会知道城市间的高速公路长度、以及该公路要收取的过路费。现在需要你写一个程序，帮助前来咨询的游客找一条出发地和目的地之间的最短路径。如果有若干条路径都是最短的，那么需要输出最便宜的一条路径。*

**输入格式:**  
输入说明：输入数据的第1行给出4个正整数N、M、S、D，其中N（2≤N≤500）是城市的个数，顺便假设城市的编号为0~(N−1)；M是高速公路的条数；S是出发地的城市编号；D是目的地的城市编号。随后的M行中，每行给出一条高速公路的信息，分别是：城市1、城市2、高速公路长度、收费额，中间用空格分开，数字均为整数且不超过500。输入保证解的存在。

**输出格式:**  
在一行里输出路径的长度和收费总额，数字间以空格分隔，输出结尾不能有多余空格。

**输入样例:**

4 5 0 3
    0 1 1 20
    1 3 2 30
    0 3 4 10
    0 2 2 20
    2 3 1 20

**输出样例:**

3 40

附上利用Dijkstra算法的代码（分析可见代码注释）（AC源码）

#include <iostream>
    #include <cstring>
    using namespace std;
    
    const int N = 510;
    int dist[N][N];//两个城市间的距离 
    int fee[N][N];	//城市间高速收费 
    bool st[N];		//存储某个城市的最短路是否已经遍历过 
    int n,m,s,d;	//n为城市数，m为路径数，s为起点，d为终点
    
    void Dijstra(int s,int b)		//s为起点城市，b为终点城市 
    {
        
    	
    	dist[s][s] = 0;				//初始化 
    	
    	for(int i = 0; i < n; i ++)//一共遍历n次
    	{
        
    		int t = -1;
    		for(int j = 0; j < n; j ++)
    		{
        
    			if(!st[j] && (t == -1 || dist[s][t] > dist[s][j]))
    			{
        
    				t = j;//调用一个没有调用过的中间顶点
    			}
    		}
    		
    		st[t] = true;//某点被用过则标记以下
    		
    		for(int j = 0; j < n; j ++)//遍历所有点
    		{
        
    			if(dist[s][j] > dist[s][t] + dist[t][j]) //源点s通过t到达j 比 s直接到j 更短
    			{
        
    				dist[s][j] = dist[s][t] + dist[t][j]; //更新s到j的最短路径
    				fee[s][j] = fee[s][t] + fee[t][j]; //更新收费额
    			}
    			else if(dist[s][j] == dist[s][t] + dist[t][j])
    				fee[s][j] = min(fee[s][j], fee[s][t] + fee[t][j]);//路径相等时取收费最小的
    			else continue;
    		} 
    	}
    	
    	cout << dist[s][b] << ' ' << fee[s][b];
    	
    }
    
    int main()
    {
        
    	cin >> n >> m >> s >> d;
    	
    	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//初始化dist数组为inf 
    	
    	for(int i = 0; i < m; i ++)
    	{
        
    		int a,b,len,fe;
    		cin >> a >> b >> len >> fe;
    		if(dist[a][b] > len) //若两个城市间不止一条路径 
    		{
        
                dist[a][b] = dist[b][a] = len;//无向图~~
                fee[a][b] = fee[b][a] =fe; 
            }
            else if(dist[a][b] == len) fee[a][b] = fee[b][a] = min(fee[a][b], fe);//路径相同时，收费取最小的 
    	}
    	
    	Dijstra(s,d);
    	
    	return 0;
    }

将Dijkstra算法换成Floyd算法也能AC

void Floyd(int s,int b)		//s为起点城市，b为终点城市 
    {
        
    
    	for(int t = 0; t < n; t ++)//t为path路径上的点
        {
        
            for(int i = 0; i < n; i ++)//i为起点
            {
        
    		    for(int j = 0; j < n; j ++)//j为终点
    		    {
        
    			    if(i != j &&dist[i][j] > dist[i][t] + dist[t][j])//i通过t到达j 比 i直接到j 更短
    			    {
        
    				    dist[i][j] = dist[j][i] = dist[i][t] + dist[t][j];//由于是无向图，两个方向都要更新
    				    fee[i][j] = fee[j][i] = fee[i][t] + fee[t][j];
    			    }
    			    else if(dist[i][j] == dist[i][t] + dist[t][j])
                        fee[i][j] = min(fee[i][j], fee[i][t] + fee[t][j]);//路径相同取收费最小
    			    else continue;
    		    } 
    	    }
        }
    	
    	cout << dist[s][b] << ' ' << fee[s][b];
    }

再单拎出Dijkstra算法

void Dijstra(int s,int b)		//s为起点城市，b为终点城市 
    {
        
    	
    	dist[s][s] = 0;				//初始化 
    	
    	for(int i = 0; i < n; i ++)//一共遍历n次
    	{
        
    		int t = -1;
    		for(int j = 0; j < n; j ++)
    		{
        
    			if(!st[j] && (t == -1 || dist[s][t] > dist[s][j]))
    			{
        
    				t = j;//调用一个没有调用过的中间顶点
    			}
    		}
    		
    		st[t] = true;//某点被用过则标记以下
    		
    		for(int j = 0; j < n; j ++)//遍历所有点
    		{
        
    			if(dist[s][j] > dist[s][t] + dist[t][j]) //源点s通过t到达j 比 s直接到j 更短
    			{
        
    				dist[s][j] = dist[s][t] + dist[t][j]; //更新s到j的最短路径
    				fee[s][j] = fee[s][t] + fee[t][j]; //更新收费额
    			}
    			else if(dist[s][j] == dist[s][t] + dist[t][j])
    				fee[s][j] = min(fee[s][j], fee[s][t] + fee[t][j]);//路径相等时取收费最小的
    			else continue;
    		} 
    	}
    	
    	cout << dist[s][b] << ' ' << fee[s][b];
    	
    }

可以作一个对比观察。  
如果还要求路径经过的城市，可以多增加一个path邻接矩阵来存储。  
另外，这两个算法可以作为一个代码模板，类似的题基本可以一个模板过。