浅析线性神经网络——线性回归问题

末蓝、 2023-09-29 10:22 23阅读 0赞

**目录**

一. 线性回归

1.1 回归（regression）：

1.2 线性回归的基本元素：

1.3 线性模型：

1.4 损失函数

二. 基础优化算法

2.1 梯度下降

2.2 小批量随机梯度下降

三. 矢量化加速

四. 正态分布与平方损失

五. 总结

六. 神经网络专栏

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## 一. 线性回归 ##

### **1.1 回归（regression）：** ###

> 是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。

>  在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。  
> 在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测（prediction）有关。  
> 当我们想预测一个数值时，就会涉及到回归问题。  
> 常见的例子包括：预测价格（房屋、股票等）、预测住院时间（针对住院病人等）、预测需求（零售销量等）。  
> 但不是并不是说所有的预测都是回归问题。

### **1.2 线性回归的基本元素：** ###

>  **线性回归（linear regression）：**可以追溯到19世纪初，它在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。

>  线性回归基于几个简单的假设：
> 
>  *  假设自变量和因变量之间的关系是线性的，即可以表示为中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；
>  *  我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

### **1.3 线性模型：** ###

**线性假设如下面的式子：**y = w1x1+w2x2+w3x3+b

>  *  权重决定了每个特征对我们预测值的影响。
>  *  b称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。
>  *  在现实的任何情况下我们都需要偏置项。如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。
>  *  给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重和偏置，使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。
>  *  而在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比  
>     较方便。

> 当我们的输入包含个特征时，我们将预测结果![\\hat\{y\}][hat_y]（通常使用“尖角”符号表示的估计值）表示为：![\\hat\{y\}][hat_y] = w1x1+w2x2+···+wnxn+b，我们可以用点积形式来简洁地表达模型：![\\hat\{y\}][hat_y]=w⋅x+b.

> 无论我们使用什么手段来观察特征**X**和标签**y**， 都可能会出现少量的观测误差。 因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的， 我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。
> 
> 在开始寻找最好的*模型参数*（model parameters）w\\mathbf\{w\}w和bbb之前， 我们还需要两个东西： （1）一种模型质量的度量方式； （2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

### **1.4 损失函数**  ###

> 在我们开始考虑如何用模型*拟合*（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。 *损失函数*（loss function）能够量化目标的*实际*值与*预测*值之间的差距。 通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。
> 
> **回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。**

> 当样本的预测值为![\\hat\{y\}][hat_y]，其相应的真实标签为y时， 平方误差可以定义为以下公式：
> 
> ![Loss = \\frac\{1\}\{2\}\\left ( \\hat\{y\} -y\\right )^\{2\}][Loss _ _frac_1_2_left _ _hat_y_ -y_right _2]
> 
> 常数1/2不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些 （因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）

我们为一维情况下的回归问题绘制图像：

![7212a656db0c432b8a262f61d501039e.png][]

> 由于平方误差函数中的二次方项， 估计值和观测值之间较大的差异将导致更大的损失。 为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集nnn个样本上的损失均值（也等价于求和）。

**1.5 学习数据**

> 理论上学习数据越多越好，我们通过最小化损失来学习参数（w、b）。损失是凸函数，所以最优解满足：梯度=0

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## 二. 基础优化算法 ##

### **2.1 梯度下降** ###

> 我们用到一种名为*梯度下降*（gradient descent）的方法， 这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。 它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。w0—>w优
> 
> 梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值） 关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。 但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。

> 因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做*小批量随机梯度下降*（minibatch stochastic gradient descent）。

### **2.2 小批量随机梯度下降**  ###

> 在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量bbb， 它是由固定数量的训练样本组成的。 然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。 最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数η\\etaη，并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（∂表示偏导数）：

![b178acb4fa53468fb5f7105b2b3b223a.png][]

> b表示每个小批量中的样本数，这也称为*批量大小*（batch size）。 η\\etaη表示*学习率*（learning rate）。
> 
> 批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。 这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为*超参数*（hyperparameter）。
> 
>  *调参*（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。 超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的， 而训练迭代结果是在独立的*验证数据集*（validation dataset）上评估得到的。

> 在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后）， 我们记录下模型参数的估计值，表示为![\\hat\{w\},\\hat\{b\}][hat_w_hat_b]。
> 
> 但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。 因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

> 线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。 但是对于像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。
> 
> 深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在*训练集*上的损失达到最小。 事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失， 这一挑战被称为*泛化*（generalization）。

> 总结一下，算法的步骤如下：
> 
>  *  初始化模型参数的值，如随机初始化；
>  *  从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。

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## 三. 矢量化加速 ##

> 在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。 为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化， 从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环。

> 我们将频繁地进行运行时间的基准测试，所以我们定义一个计时器：

class Timer:  #@save
        """记录多次运行时间"""
        def __init__(self):
            self.times = []
            self.start()
    
        def start(self):
            """启动计时器"""
            self.tik = time.time()
    
        def stop(self):
            """停止计时器并将时间记录在列表中"""
            self.times.append(time.time() - self.tik)
            return self.times[-1]
    
        def avg(self):
            """返回平均时间"""
            return sum(self.times) / len(self.times)
    
        def sum(self):
            """返回时间总和"""
            return sum(self.times)
    
        def cumsum(self):
            """返回累计时间"""
            return np.array(self.times).cumsum().tolist()

> 我们实例化两个全为1的10000维向量。 在一种方法中，我们将使用Python的for循环遍历向量； 在另一种方法中，我们将依赖对+的调用。

import math
    import time
    import numpy as np
    import paddle
    from paddle.tensor.random import rand
    from matplotlib import pyplot as plt
    from IPython import display
    
    class Timer:  #@save
        """记录多次运行时间"""
        def __init__(self):
            self.times = []
            self.start()
    
        def start(self):
            """启动计时器"""
            self.tik = time.time()
    
        def stop(self):
            """停止计时器并将时间记录在列表中"""
            self.times.append(time.time() - self.tik)
            return self.times[-1]
    
        def avg(self):
            """返回平均时间"""
            return sum(self.times) / len(self.times)
    
        def sum(self):
            """返回时间总和"""
            return sum(self.times)
    
        def cumsum(self):
            """返回累计时间"""
            return np.array(self.times).cumsum().tolist()
    
    n = 10000
    a = paddle.ones(shape=[n])
    b = paddle.ones(shape=[n])
    
    c = paddle.zeros(shape=[n])
    timer = Timer()
    for i in range(n):
        c[i] = a[i] + b[i]
    print(f'{timer.stop():.5f} sec')
    
    timer.start()
    d = a + b
    print(f'{timer.stop():.5f} sec')

> 结果很明显，第二种方法比第一种方法快得多。 矢量化代码通常会带来数量级的加速。 另外，我们将更多的数学运算放到库中，而无须自己编写那么多的计算，从而减少了出错的可能性。

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## 四. 正态分布与平方损失 ##

> 接下来，我们通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。
> 
> 正态分布和线性回归之间的关系很密切。 正态分布（normal distribution），也称为*高斯分布*（Gaussian distribution）， 最早由德国数学家高斯（Gauss）应用于天文学研究。 简单的说，若随机变量x具有均值μ和方差![\\sigma ^\{2\}][sigma _2]（标准差σ），其正态分布概率密度函数如下：

![ee41c7941a7f47cb84cad7f4c5efffd1.png][]

下面我们定义一个Python函数来计算正态分布：

import math
    import time
    import numpy as np
    import paddle
    from paddle.tensor.random import rand
    from matplotlib import pyplot as plt
    from IPython import display
    
    def normal(x, mu, sigma):
        p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)
        return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)
    
    def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
        """设置matplotlib的轴"""
        axes.set_xlabel(xlabel)
        axes.set_ylabel(ylabel)
        axes.set_xscale(xscale)
        axes.set_yscale(yscale)
        axes.set_xlim(xlim)
        axes.set_ylim(ylim)
        if legend:
            axes.legend(legend)
        axes.grid()
    
    def use_svg_display():  #@save
        """使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""
        display.set_matplotlib_formats('svg')
    
    def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):  #@save
        """设置matplotlib的图表大小"""
        use_svg_display()
        plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
    
    
    def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
             ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
             fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
        """绘制数据点"""
        if legend is None:
            legend = []
    
        set_figsize(figsize)
        axes = axes if axes else plt.gca()
    
        # 如果X有一个轴，输出True
        def has_one_axis(X):
            return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)
                    and not hasattr(X[0], "__len__"))
    
        if has_one_axis(X):
            X = [X]
        if Y is None:
            X, Y = [[]] * len(X), X
        elif has_one_axis(Y):
            Y = [Y]
        if len(X) != len(Y):
            X = X * len(Y)
        axes.cla()
        for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
            if len(x):
                axes.plot(x, y, fmt)
            else:
                axes.plot(y, fmt)
        set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
    
    # 再次使用numpy进行可视化
    x = np.arange(-7, 7, 0.01)
    print(x)
    
    # 均值和标准差对
    params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
    
    plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
             ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
             legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])

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## 五. 总结 ##

*  机器学习模型中的关键要素是训练数据、损失函数、优化算法，还有模型本身。
 *  矢量化使数学表达上更简洁，同时运行的更快。
 *  最小化目标函数和执行极大似然估计等价。
 *  线性回归模型也是一个简单的神经网络。
 *  梯度下降法通过不断沿着反梯度方向更新参数求解。
 *  小批量随机梯度下降是深度学习默认的求解算法。
 *  两个重要的超参数是批量大小和学习率。

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## **六. 神经网络专栏** ##

[https://blog.csdn.net/weixin\_53919192/category\_11731739.html![icon-default.png?t=M4AD][icon-default.png_t_M4AD]https://blog.csdn.net/weixin\_53919192/category\_11731739.html][https_blog.csdn.net_weixin_53919192_category_11731739.html_icon-default.png_t_M4AD_icon-default.png_t_M4AD_https_blog.csdn.net_weixin_53919192_category_11731739.html]

[hat_y]: https://latex.csdn.net/eq?%5Chat%7By%7D
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[icon-default.png_t_M4AD]: https://csdnimg.cn/release/blog_editor_html/release2.1.3/ckeditor/plugins/CsdnLink/icons/icon-default.png?t=M4AD
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