ARIMA（p,d,q）模型原理及其实现 --------python

刺骨的言语ヽ痛彻心扉 2023-09-28 08:55 21阅读 0赞

## 1.简介 ##

ARIMA模型(Autoregressive Integrated Moving Average model)，差分整合移动平均自回归模型，又称整合移动平均自回归模型，时间序列预测分析方法之一。ARIMA(p,d,q)中，AR是"自回归"，p为自回归项数;MA为"滑动平均"，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做的差分次数(阶数)。"差分"一词虽未出现在ARIMA的英文名称中，却是关键步骤。

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBARW5nbGlzaCBDaGFu_size_17_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

## 2.模型原理 ##

在描述ARIMA模型，那么就离不开AR、MA、ARMA模型，下面先阐述这两个模型。

### 2.1 AR模型(自回归) ###

自回归只适用于预测与自身前期相关的现象，数学模型表达式如下：

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBARW5nbGlzaCBDaGFu_size_9_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

其中![bb43b299481c47759f19b4ca352deefd.png][]是当前值，是常数项，![e3401fd4fbb84aa68ed3c77d3ebf7528.png][]是阶数，![24e37eaf545142348d2072efcd792e68.png][]是自相关系数，![c056c513017046b0b1484f17ad706b7b.png][]是误差，同时![7432d326a3a346959982b47734253db6.png][]

要符合正态分布。

该模型反映了在t时刻的目标值值与前t-1~p个目标值之前存在着一个线性关系，即：

![7fd23af7ae684296b53c634874b0e07e.png][]

### 2.2 MA模型（移动平均） ###

移动平均模型关注的是自回归模型中的误差项的累加，数学模型表达式如下：

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBARW5nbGlzaCBDaGFu_size_9_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1][]

该模型反映了在t时刻的目标值值与前t-1~p个误差值之前存在着一个线性关系，即：

![87be18f3ff334325a926cafc9efbf073.png][]

### 2.3 ARMA模型（自回归移动平均） ###

该模型描述的是自回归与移动平均的结合，具体数学模型如下：

![watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBARW5nbGlzaCBDaGFu_size_14_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

### 2.4 ARIMA模型 ###

基本原理：将数据通过差分转化为平稳数据，再将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。

AR是自回归，p为自回归项；MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数，一般做一阶差分，很少做二阶差分。

### 2.5 ACF ###

ACF 是一个完整的自相关函数，可为我们提供具有滞后值的任何序列的自相关值。简单来说，它描述了该序列的当前值与其过去的值之间的相关程度。时间序列可以包含趋势，季节性，周期性和残差等成分。ACF在寻找相关性时会考虑所有这些成分

### 2.6 PACF ###

偏自相关函数PACF只描述观测值![8426b13c150a492ba97841f3badcbf0f.png][]和其滞后项![63b163d4ce944ee0b7d57d2647c08f8e.png][]之间的直接关系，调整了其他较短滞后项![f7406eba41904196852357e80e4a4d8d.png][]的影响。

### 2.7 拖尾与截尾 ###

截尾：在大于某个常数k后**快速趋于0为k阶截尾**

拖尾：始终有非零取值，不会在k大于某个常数后就恒等于零(**或在0附近随机波动**)

例子：

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