带你了解二叉树

清疚 2023-09-27 11:51 186阅读 0赞

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#### 文章目录 ####

*  一、树是什么？
 *  二、树的概念
 *   *  重要概念
     *  了解概念
 *  三、二叉树
 *  四、二叉树的存储
 *   *  二叉树的表示方法
     *  手动创建二叉树
 *  五、二叉树的遍历
 *   *  前序遍历
     *  中序遍历
     *  后序遍历
     *  层序遍历

## 一、树是什么？ ##

**我们已经掌握了数组和链表，为什么还要有树？先来看看数组和链表的优缺点**

> 数组：因为有索引，所以可以快速地访问到某个元素。但是如果要进行插入或者删除的话，被插入/删除位置之后的元素都得移动，如果插入后超过了数组容量，还得进行数组扩容。可见，数组查询快，增删慢。  
> 链表：没有索引，要查询某个元素，得从第一个元素开始，一个一个往后遍历。但是要进行插入或者删除，无需移动元素，只要找到插入/删除位置的前一个元素即可。所以链表查询慢，增删快。

说到这里，那肯定知道树存在的意义了，没错，它吸收了链表和数组的优点，查询快，增删也快。  
![在这里插入图片描述][a90fccf4bf234312907a39779c1d0a8c.png]  
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：  
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点  
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i  
<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继  
树是递归定义的。

## 二、树的概念 ##

### 重要概念 ###

**结点的度**：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；  
**树的度**：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；  
**叶子结点或终端结点**：度为0的结点称为叶结点；  
**双亲结点或父结点**：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；  
**孩子结点或子结点**：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；  
**根结点**：一棵树中，没有双亲结点的结点；  
**结点的层次**：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推  
**树的高度或深度**：树中结点的最大层次；

### 了解概念 ###

树的以下概念只需了解：  
**非终端结点或分支结点**：度不为0的结点；  
**兄弟结点**：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；  
**堂兄弟结点**：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；  
**结点的祖先**：从根到该结点所经分支上的所有结点；  
**子孙**：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙  
**森林**：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

## 三、二叉树 ##

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1.  或者为空
2.  或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。  
    T1为左子树，T2为右子树  
    ![在这里插入图片描述][04ea00179ed54777a35bc8b6c1130d34.png]
3.  二叉树不存在度大于2的结点
4.  二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树(这里的有序指的是左右子树的有序的，不是大小有序)

**特殊的二叉树**

1.  满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2^k - 1 ，则它就是满二叉树。
2.  完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。  
    ![在这里插入图片描述][ac80003cc20a4d779b18241ff47462c0.png]  
    **二叉树的性质：**  
    1.若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点  
    2 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)  
    3 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1  
    4 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log(n+1)上取整  
    5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：  
    若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点  
    若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子  
    若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

## 四、二叉树的存储 ##

### 二叉树的表示方法 ###

二叉树的表示方法有很多，我们这里以孩子表示法为例

//孩子表示法
        static class TreeNode {
        
            public int val;
            public TreeNode left;//左孩子
            public TreeNode right;//右孩子
    
            public TreeNode(int val) {
        
                this.val = val;
            }
        }

### 手动创建二叉树 ###

![在这里插入图片描述][df0ef0bbc4f24ecba19c14ae15d73bc1.png]  
我们用最简单的方法创建这样一棵树。

public void InitTree() {
        
            TreeNode node1 = new TreeNode(1);
            TreeNode node2 = new TreeNode(2);
            TreeNode node3 = new TreeNode(3);
            TreeNode node4 = new TreeNode(4);
            TreeNode node5 = new TreeNode(5);
            TreeNode node6 = new TreeNode(6);
            TreeNode node7 = new TreeNode(7);
            TreeNode node8 = new TreeNode(8);
            node1.left = node2;
            node1.right = node3;
            node2.left = node4;
            node2.right = node5;
            node3.left = node6;
            node3.right = node7;
            node5.right = node8;
        }

## 五、二叉树的遍历 ##

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。

### 前序遍历 ###

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。  
![在这里插入图片描述][72b9ce60c68146a285513df05384415e.png]

public void perOrder(TreeNode root) {
        
            //先序遍历
            if(root == null) {
        
                return;
            }
            System.out.print(root.val+" ");
            perOrder(root.left);
            perOrder(root.right);
        }

![在这里插入图片描述][5946118cd6b64b589a90445c44cdbaf2.png]

### 中序遍历 ###

LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。  
![在这里插入图片描述][485ef41cca24496ea984d5931156e258.png]

public void inOrder(TreeNode root) {
        
            //中序遍历
            if(root == null) {
        
                return;
            }
            inOrder(root.left);
            System.out.print(root.val+" ");
            inOrder(root.right);
        }

![在这里插入图片描述][44f967a263d6411da8bb74a3582e9277.png]

### 后序遍历 ###

LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。  
![在这里插入图片描述][5d82a36ecdd4442fbaf762eebe2baa02.png]

public void postOrder(TreeNode root) {
        
            //后序遍历
            if(root == null) {
        
                return;
            }
            postOrder(root.left);
            postOrder(root.right);
            System.out.print(root.val+" ");
        }

![在这里插入图片描述][5fdd9740e7884b81a1e83b3151a05816.png]

### 层序遍历 ###

层序遍历就是一行一行遍历  
![在这里插入图片描述][a712b5ac687d4cf5bd62cc948409ecbe.png]

[97f8b84092ce44799bf93416e71b218e.gif_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/97f8b84092ce44799bf93416e71b218e.gif#pic_center
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