限定条件下的均值不等式求最值问题[整理]

ゝ一纸荒年。 2023-08-17 17:32 61阅读 0赞

## 前言 ##

注意理解\\(a+b\\geqslant 2\\sqrt\{ab\}\\)，\\(a,b>0\\)，注意理解字母\\(a\\)，\\(b\\)能代表的内涵，比如可以是数字，字母；可以是单项式，多项式，可以是整式，分式，指数式，对数式，三角式，只要满足正定等三个条件即可使用，如果不满足此时只能依托对应的对勾函数的单调性求解最值。

## 回顾反思 ##

> 均值不等式的使用技巧

①负化正；②拆添项；③凑系数；④在指数位置使用；

⑤连续多次使用；⑥组合使用；⑦在限定条件下使用；

\\(ax+\\cfrac\{b\}\{x\}\\)型，其中\\(x>0\\)，\\(a,b>0\\)，形成思维定势，

⑧当均值不等式失效时，利用对勾型函数\\(ax+\\cfrac\{b\}\{x\}\\)型\\(x>0\\)，\\((a,b>0)\\)的单调性求解；

## 案例分析 ##

模型：已知\\(m>0，n>0\\)，\\(2m+n=3\\)，求\\(\\cfrac\{2\}\{m\}+\\cfrac\{1\}\{n\}\\)的最小值。 1

思考：上述求解过程和给定\\(m>0，n>0\\)，求\\(\\cfrac\{2n\}\{m\}+\\cfrac\{2m\}\{n\}\\)的最小值，有什么不同？

## 引申拓展 ##

> 简单层次

变式01已知已知\\(x>0，y>0\\)，\\(\\cfrac\{2\}\{y\}+\\cfrac\{1\}\{x\}=\\cfrac\{3\}\{xy\}\\)，求\\(\\cfrac\{2\}\{x\}+\\cfrac\{1\}\{y\}\\)的最小值。

> 限定条件用数学背景给出

变式02已知直线\\(ax+by-6=0(a，b>0)\\)过圆\\(x^2+y^2-2x-4y=0\\)的圆心(或直线平分此圆)，求\\(\\cfrac\{4\}\{a\}+\\cfrac\{1\}\{b\}\\)的最小值。2

变式03已知正项等比数列\\(\\\{a\_n\\\}\\)满足：\\(a\_7=a\_6+2a\_5\\)，若存在两项\\(a\_m，a\_n\\)，使得\\(a\_ma\_n=16a\_1^2\\)，求\\(\\cfrac\{4\}\{m\}+\\cfrac\{1\}\{n\}\\)的最小值。3

变式04【2017宝鸡市三检】设向量\\(\\overrightarrow\{OA\}=(1，-2)\\)，\\(\\overrightarrow\{OB\}=(a，-1)\\)，\\(\\overrightarrow\{OC\}=(-b，0)\\)，其中\\(O\\)为坐标原点，\\(a，b>0\\)，若\\(A,B,C\\)三点共线，则\\(\\cfrac\{1\}\{a\}+\\cfrac\{2\}\{b\}\\)的最小值为多少？4

变式05已知\\(a>0，b>0\\)，且函数\\(f(x)=-x^3+2ax^2+bx+1\\)在\\(x=1\\)处有极值，求\\(\\cfrac\{4\}\{a\}+\\cfrac\{1\}\{b\}\\)的最小值。5

还有没有其他的形式给出呢？6

> 限定条件隐含在题目中

变式06求\\(f(x)=\\cfrac\{1\}\{x\}+\\cfrac\{4\}\{2-x\}(0<x<2)\\)的最小值。7

## 思路完善 ##

【模式1】：已知\\(m>0，n>0\\)，\\(2m+n=3\\)，求\\(\\cfrac\{2\}\{m\}+\\cfrac\{1\}\{n\}\\)的最小值。

分析：\\(\\cfrac\{2\}\{m\}+\\cfrac\{1\}\{n\}=\\cfrac\{1\}\{3\}(\\cfrac\{2\}\{m\}+\\cfrac\{1\}\{n\})(2m+n)\\)\\(=\\cfrac\{1\}\{3\}(5+\\cfrac\{2n\}\{m\}+\\cfrac\{2m\}\{n\})\\geqslant \\cfrac\{1\}\{3\}(5+2\\sqrt\{4\})=3\\)

特征和思路：给定条件是整式，求分式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式；

【模式2】：已知\\(\\cfrac\{2\}\{m\}+\\cfrac\{1\}\{n\}=2，m>0，n>0\\)，求 \\(2m+n\\)的最小值。

特征和思路：给定条件是分式，求整式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式；

【模式3】：已知\\(\\cfrac\{1\}\{a\}+\\cfrac\{2\}\{b\}=1，a>0，b>0\\)，求\\(\\cfrac\{2\}\{a-1\}+\\cfrac\{1\}\{b-2\}\\)的最小值。8

特征和思路：给定条件是分式，求分式的最值，变量集中，再使用均值不等式；

【模式4】：已知\\(2a+b=1，a>0，b>0\\)，求 \\(a^2+2b^2\\)的最小值。

特征和思路：给定条件是整式，求整式的最值，变量集中，用函数求解最值； 法2：数形结合；

看完这些内容，你难道不觉得我们很需要好好的改造我们的学习方法吗，比如说留意限定条件的各种可能的给出方式；

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1.  分析：\\(\\cfrac\{2\}\{m\}+\\cfrac\{1\}\{n\}=\\cfrac\{1\}\{3\}(\\cfrac\{2\}\{m\}+\\cfrac\{1\}\{n\})(2m+n)\\)\\(=\\cfrac\{1\}\{3\}(5+\\cfrac\{2n\}\{m\}+\\cfrac\{2m\}\{n\})\\geqslant \\cfrac\{1\}\{3\}(5+2\\sqrt\{4\})=3\\)  
    当且仅当\\(\\cfrac\{2n\}\{m\}=\\cfrac\{2m\}\{n\}\\)且\\(2m+n=3\\)时，即\\(m=n=1\\)取得等号。  
    即\\(\\cfrac\{2\}\{m\}+\\cfrac\{1\}\{n\}\\)的最小值为\\(3\\)。↩
2.  详解：圆心即\\((1，2)\\)，直线经过圆心，则有\\(a+2b-6=0\\)，即\\(a+2b=6\\)。  
    到此，题目为\\(a+2b=6，a>0，b>0\\)，求\\(\\cfrac\{4\}\{a\}+\\cfrac\{1\}\{b\}\\)的最小值。可仿模型解决。↩
3.  详解：由\\(a\_7=a\_6+2a\_5\\)，得到\\(a\_5\\cdot q^2=a\_5\\cdot q+2a\_5\\)，解得\\(q=2\\)或\\(q=-1\\)(舍去负值)，  
    即数列的通项公式为\\(a\_n=a\_1\\cdot 2^\{n-1\}\\)；  
    这样由\\(a\_m\\cdot a\_n=16a\_1^2\\)，得到\\((a\_1)^2\\cdot 2^\{m-1\}\\cdot 2^\{n-1\}=16a\_1^2\\)，即\\(2^\{m-1\}\\cdot 2^\{n-1\}=16=2^4\\)  
    即\\(m+n=6，m >0，n >0\\)，求\\(\\cfrac\{4\}\{m\}+\\cfrac\{1\}\{n\}\\)的最小值，这样不就好解多了吗？↩
4.  详解：由三点共线的向量表达方式可知，存在实数\\(\\lambda\\)，使得\\(\\overrightarrow\{OA\}=\\lambda \\overrightarrow\{OB\}+(1-\\lambda)\\overrightarrow\{OC\}\\)，  
    即\\((1，-2)=\\lambda(a，-1)+(1-\\lambda)(-b，0)\\)即\\(\\begin\{cases\}\\lambda a-(1-\\lambda)b=1\\\\ -\\lambda=-2 \\end\{cases\}\\)，即\\(2a+b=1\\)，  
    这样题目就转化为已知\\(2a+b=1，a>0，b>0\\)，求\\(\\cfrac\{1\}\{a\}+\\cfrac\{2\}\{b\}\\)的最小值，这不就是上述题目吗？↩
5.  详解：\\(f'(x)=-3x^2+4ax+b\\)，\\(f'(1)=-3+4a+b=0\\)，  
    到此即相当于已知\\(4a+b=3\\)，\\(a>0\\)，\\(b>0\\)，求\\(\\cfrac\{4\}\{a\}+\\cfrac\{1\}\{b\}\\)的最小值。↩
6.  以线性规划的形式给出；以概率中的数学期望的形式给出；以正态分布的形式给出；↩
7.  详解：法1，导数法；  
    法2：注意到隐含条件\\(x+(2-x)=2，x>0，2-x>0\\)，则容易看到题目其实为  
    已知\\(x+(2-x)=2\\)，\\(x>0，2-x>0\\)，求\\(f(x)=\\cfrac\{1\}\{x\}+\\cfrac\{4\}\{2-x\}(0<x<2)\\)的最小值。  
    \\(f(x)=\\cfrac\{1\}\{x\}+\\cfrac\{4\}\{2-x\}\\)  
    \\(=\\cfrac\{1\}\{2\}(\\cfrac\{1\}\{x\}+\\cfrac\{4\}\{2-x\})\\times 2\\)  
    \\(=\\cfrac\{1\}\{2\}(\\cfrac\{1\}\{x\}+\\cfrac\{4\}\{2-x\})\[x+(2-x)\]\\)  
    \\(=\\cfrac\{1\}\{2\}(1+4+\\cfrac\{2-x\}\{x\}+\\cfrac\{4x\}\{2-x\})\\)  
    \\(\\ge \\cfrac\{1\}\{2\}(5+2\\sqrt\{4\})=\\cfrac\{9\}\{2\}\\)，  
    当且仅当\\(\\cfrac\{2-x\}\{x\}=\\cfrac\{4x\}\{2-x\}\\)且\\(0<x<2\\)时，  
    即\\(x=\\cfrac\{2\}\{3\}\\)时取得等号。  
    故\\(f(x)\\)的最小值为\\(\\cfrac\{9\}\{2\}\\)。↩
8.  已知\\(\\cfrac\{1\}\{a\}+\\cfrac\{2\}\{b\}=1，a>0，b>0\\)，得到\\(0<\\cfrac\{2\}\{b\}<1\\)，得到\\(b>2\\)，  
    由\\(\\cfrac\{1\}\{a\}+\\cfrac\{2\}\{b\}=1\\)，解得\\(a=\\cfrac\{b\}\{b-2\}\\)，  
    代入\\(\\cfrac\{2\}\{a-1\}+\\cfrac\{1\}\{b-2\}=\\cfrac\{2\}\{\\frac\{b\}\{b-2\}-1\}+\\cfrac\{1\}\{b-2\}\\)\\(=b-2+\\cfrac\{1\}\{b-2\}\\)\\(\\geqslant 2\\)  
    当且仅当\\(b-2=\\cfrac\{1\}\{b-2\}\\)时，即\\(b=3\\)，\\(a=3\\)时取到等号；↩

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