线性最小二乘法的通俗理解

本是古典何须时尚 2023-07-26 05:29 89阅读 0赞

### 线性最小二乘法的通俗理解 ###

*  1. 最小二乘法
 *  2. 通俗理解
 *   *  2.1. 举例
     *  2.2. 线性方程组
     *  2.3. 最优猜测
     *  2.4. 求偏导

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# 1. 最小二乘法 #

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术  
它通过 **最小化误差的平方和** 寻找数据的最佳函数匹配

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据  
并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小

最小二乘法还可用于曲线拟合  
其他一些优化问题也可通过 **最小化能量** 或 **最大化熵** 用最小二乘法来表达

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# 2. 通俗理解 #

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## 2.1. 举例 ##

这里举个简单的例子吧  
假如去食堂打包，不同的菜价格不一样：

*  打包 1个菜需要 8 块
 *  打包 2个菜需要 11 块
 *  打包 3个菜需要 18 块
 *  打包 4个菜需要 21 块

那么打包5个菜需要多少块

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## 2.2. 线性方程组 ##

一般应该会想到用线性方程组来解决这个问题：  
![在这里插入图片描述][20200414185300251.png_pic_center]  
假定 x 是菜式的数量，y是付款金额，β1和β2为未知的系数  
把上面的一组数据代入，得到以下四个方程：  
![在这里插入图片描述][20200415085429233.png_pic_center]

但这样的β1和β2是不存在的

形象地说，它们不在一条直线上  
![在这里插入图片描述][20200415085320738.png_pic_center]

可是现实中，就希望能找到一条直线  
虽然不能满足所有条件，但能近似地表示这个趋势  
或者说，能大概猜测出打包5个菜的价格

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## 2.3. 最优猜测 ##

其实最小二乘法也是这样，要尽全力 **让这条直线最接近这些点**  
那么问题来了，怎么去做一个标准，即 **怎么去定义这个最接近** 呢？

直觉告诉我们，这条直线在所有数据点中间穿过，让这些点到这条直线的误差之和越小越好  
这里用方差来算更客观，即把每个点到直线的 **误差平方累加**：  
![在这里插入图片描述][20200415085350694.png_pic_center]  
如果上面的四个方程都能满足，那么S的值显然为0  
但如果做不到，就让应该这个S越小越好

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## 2.4. 求偏导 ##

这里有一个概念，就是求 **偏导数**，需要了解一下  
比如导数就是求变化率  
而偏导数则是当变量超过一个的时候，对 **其中一个变量** 求变化率

要让S取得最小值（或最大值），那么S对于β1和β2分别求偏导结果为0  
用一个直观的图来表示：  
![在这里插入图片描述][20200414192107902.png_pic_center]  
这条曲线，前半部分是呈下降的趋势，也就是变化率（导数）为负的  
后半部分呈上升的趋势，也就是变化率（导数）为正  
那么分界点的导数为0，也就是取得最小值的地方

这是一个变量的情况，对于多个变量的情况，要让S取得最小值  
那就是对β1和β2分别求导，值为0：  
![在这里插入图片描述][20200415085454935.png_pic_center]

两个变量，刚好有两个方程式，得出：  
![在这里插入图片描述][20200415085542894.png_pic_center]  
即：  
![在这里插入图片描述][20200415085514806.png_pic_center]

这个函数也就是需要的直线  
虽然不能把那些点串起来，但它能最大程度上接近这些点  
也就是说5个菜的时候，大概为 3 + 4.6 x 5 = 26 块

这是对最优问题的情况，类似神经网络也很多采用这种方式  
虽然这种方法有局限性但还是很常见的

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谢谢！

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