MATLAB系列：矩阵运算笔记（一）

待我称王封你为后i 2023-07-24 02:55 249阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  0x00 前言
 *  0x01 矩阵
 *   *  1.矩阵定义
     *  2.矩阵的生成
     *  3.创建特殊矩阵
     *  4.矩阵的修改
 *  0x02 矩阵数学运算
 *   *  1.矩阵加法
     *  2.矩阵乘法
     *  3.矩阵除法

# 0x00 前言 #

文章中的文字可能存在语法错误以及标点错误，请谅解；

如果在文章中发现代码错误或其它问题请告知，感谢

# 0x01 矩阵 #

## 1.矩阵定义 ##

矩阵是由m\*n个数 aij (i = 1,2…,m,j = 1,2,…,n) 排列成m行n列，记成：  
 ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) \\begin\{pmatrix\} a\_\{11\} & a\_\{12\} & \\cdots & a\_\{1n\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & \\cdots & a\_\{2n\} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots &\\vdots \\\\ a\_\{m1\} & a\_\{m2\} & \\cdots & a\_\{mn\} \\\\ \\end\{pmatrix\} ⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎠⎟⎟⎟⎞

该矩阵称为m\* n 矩阵，记成Am \*n 。若m=n，则该矩阵称为n阶矩阵（n阶方阵）。

## 2.矩阵的生成 ##

矩阵的生成有直接输入法、M文件生成法以及文本文件生成法。  
1）**直接输入法**  
可以再命令行窗口直接定义矩阵，若定义时“\[ \]”内无内容，表示为一个空矩阵：

**例1：**  
直接输入法定义矩阵1。

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

![在这里插入图片描述][20200409153047675.png]  
**例2：**  
直接输入法定义矩阵2。

>> A = [1 1+i 2;2 4+2i 4]

![在这里插入图片描述][20200409153225974.png]

2 ) **M文件生成法**  
若矩阵的规模比较大，适合使用M脚本文件进行创建矩阵。

**例3：**  
M文件生成发定义矩阵。

在M脚本文件中编写一个文件名为sample.m的M文件：  
M文件中：

%%sample.m
    A = [123 33 44 55 66 77 77 89 99 22;
          33 44 33 987 53 3 32 45 12 32;
          203 303 0 03 32 23 00 5 34 34;
          2 333 444 94 94 82 23 43 43 3;]

编写后保存为sample.m格式文件。

命令行窗口中：

>>sample

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dhbmdxaW5nY2h1YW45Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
3）**文本文件生成法**  
建立文本文件，在命令行窗口调用该文件

**例4：**  
文本文件生成法定义矩阵。

在记事本中创建名为“test.txt”文本：  
![在这里插入图片描述][20200409155058930.png]  
在命令行窗口中调用以及使用：

>> load test.txt
    >> test

![在这里插入图片描述][20200409155818653.png]

## 3.创建特殊矩阵 ##

可以使用函数直接创建特殊矩阵：

>>eye(n) %%创建n*n单位矩阵
    >>eye(m, n) %%创建m*n单位矩阵
    >>ones(n) %%创建n*n全1矩阵
    >>ones(m,n) %%创建m*n全1矩阵
    >>zeros(m,n) %%创建全0矩阵
    >>rand(n) %%在[0,1]区间内创建一个n*n均匀分布的随机矩阵
    >>rand(m, n) %%在[0,1]区间内创建一个m*n均匀分布的随机矩阵
    >>compan(P) %%创建系数向量是P的多项式的伴随矩阵
    >>diag(v) %%创建一个向量v中的元素为对角的对角矩阵
    >>hilb(n) %%创建n*n的Hilbert矩阵
    >>magic(n) %%生成n阶魔方矩阵
    >>sparse(A) %%将矩阵A转化为稀疏矩阵形式，即由A的非零元素和下标构成稀疏矩阵S。若A本身为稀疏矩阵，则返回A本身。

## 4.矩阵的修改 ##

矩阵可以进行元素修改、抽取等操作。  
1）**矩阵元素修改**

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>命令名</th> 
   <th>说明</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>D = [A;b c]</td> 
   <td>A为原矩阵，B、C中包含要扩充的元素，D为扩充之后的矩阵</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>A(m,:)</td> 
   <td>删除A的第m行</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>A(:,n)</td> 
   <td>删除A的第n列</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>A(m,n) = a</td> 
   <td>对A的第m行n列元素进行赋值</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>A(m,:) = [a b …]</td> 
   <td>对A的第m行进行赋值</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>A(:,n) = [a b …]</td> 
   <td>对A的第n列进行赋值</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

**例5：**  
修改矩阵。

>> A = [2 3 4; 5 6 7];
    >> B = eye(2);
    >> C = zeros(2,1);
    >> D = [A;B C]

![在这里插入图片描述][20200410110328351.png]

2）**矩阵变维**  
矩阵变维使用reshape()函数，调用格式为：`reshape(X,m,n)`，将矩阵变维为m行n列矩阵。

**例6：**  
矩阵变维。

>> A = 1:12;
    >> B = reshape(A,2,6)

![在这里插入图片描述][20200410110645212.png]

3）**矩阵的变向**

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>命令名</th> 
   <th>说明</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>rot(90)</td> 
   <td>将A矩阵逆时针方向旋转90度</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>rot(90,k)</td> 
   <td>将A逆时针方向旋转90*k度，k可为整数</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>fliplr(A)</td> 
   <td>将A左右翻转</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>flipud(A)</td> 
   <td>将A上下翻转</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>flipdim(X,dim)</td> 
   <td>dim = 1时对行翻转，dim = 2时队列翻转</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

**例7：**  
矩阵变向。

>> A = 1:12;
    >> C = zeros(3,4);
    >> C(:) = A(:)
    >>flipdim(C,1)
    >>flipdim(C,2)

![在这里插入图片描述][20200410111523387.png]

4）**矩阵抽取**  
对矩阵进行对角元素或上下三角矩阵元素抽取。

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>命令名</th> 
   <th>说明</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>diag(A,k)</td> 
   <td>抽取矩阵A的第k条对角线上的元素向量。k = 0抽取主对角线，k&gt;0抽取上方第k条对角线上的元素，k&lt;0时抽取下方第k条对角线上的数</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>diag(A)</td> 
   <td>抽取主对角线</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>diag(v,k)</td> 
   <td>使得v为所得矩阵第k条对角线上的元素向量</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>diag(v)</td> 
   <td>使得v为所得矩阵主对角线上的元素向量</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>tril(A)</td> 
   <td>提取矩阵A的主下三角形</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>tril(A,k)</td> 
   <td>提取矩阵A的第k条对角线下面部分（包括第k条对角线）</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>triu(A)</td> 
   <td>提取矩阵A的主上三角形</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>triu(A,k)</td> 
   <td>提取矩阵A的第k条对角线上面部分（包括第k条对角线）</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

例8：  
矩阵抽取。

>> A = magic(4);
    >> v = diag(A,2)
    >> tril(A,-1)
    >> triu(A)

![在这里插入图片描述][20200410112556762.png]

# 0x02 矩阵数学运算 #

矩阵基本运算包括加、减、乘、数乘、点乘、乘方、左除、右除、求逆。  
加、减、乘对应运算符为+、-、\* 。  
矩阵除法为MATLAB独有的，分为左除和右除，相应运算符为\\和/。方程A*X=B的解是X=A\\B，方程X*A的解是X=A\\B。

## 1.矩阵加法 ##

设A=（aij），B=（bij），都是m\*n矩阵，矩阵A与矩阵B的和记为A+B，规定为：  
 A + B = \[ a 11 + b 11 a 12 + b 12 . . . a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22 . . . a 2 n + b 2 n . . . . . . . . . . . . a m 1 + b m 1 a m 2 + b m 2 . . . a m n + b m n \] A+B = \\begin\{bmatrix\} a\_\{11\}+b\_\{11\}&a\_\{12\}+b\_\{12\}& ... &a\_\{1n\}+b\_\{1n\}\\\\ a\_\{21\}+b\_\{21\}&a\_\{22\}+b\_\{22\}& ... &a\_\{2n\}+b\_\{2n\}\\\\ ...&...&...&...\\\\ a\_\{m1\}+b\_\{m1\}&a\_\{m2\}+b\_\{m2\}& ... &a\_\{mn\}+b\_\{mn\}\\\\ \\end\{bmatrix\} A\+B=⎣⎢⎢⎡a11\+b11a21\+b21...am1\+bm1a12\+b12a22\+b22...am2\+bm2............a1n\+b1na2n\+b2n...amn\+bmn⎦⎥⎥⎤  
满足交换律和结合率：  
交换律：A+B=B+A  
结合率：（A+B）+C = A+（B+C）

**例8：**  
矩阵验证矩阵交换律和结合律。

>> A = [1 2 3 4;5 6 7 8];
    >> B = [2 4 6 8;1 3 5 7];
    >> C = [8 7 6 5;4 3 2 1];
    >> A+B
    >> B+A
    >>(A+B)+C
    >>A+(B+C)

![在这里插入图片描述][20200411105450824.png]

## 2.矩阵乘法 ##

1）**数乘运算**  
数 λ \\lambda λ与矩阵A=（aij）乘积记为 λ \\lambda λA或A λ \\lambda λ：

λ A = \[ λ a 11 λ a 12 . . . λ a 1 n λ a 21 λ a 22 . . . λ a 2 n . . . . . . . . . . . . λ a m 1 λ a m 2 . . . λ a m n \] \\lambda A = \\begin\{bmatrix\} \\lambda a\_\{11\}&\\lambda a\_\{12\}& ... &\\lambda a\_\{1n\}\\\\ \\lambda a\_\{21\}&\\lambda a\_\{22\}& ... &\\lambda a\_\{2n\}\\\\ ...&...&...&...\\\\ \\lambda a\_\{m1\}&\\lambda a\_\{m2\}& ... &\\lambda a\_\{mn\}\\\\ \\end\{bmatrix\} λA=⎣⎢⎢⎡λa11λa21...λam1λa12λa22...λam2............λa1nλa2n...λamn⎦⎥⎥⎤

矩阵满足下列规律：  
 λ \\lambda λ（ μ \\mu μA） = ( λ \\lambda λ μ \\mu μ)A  
( λ \\lambda λ\+ μ \\mu μ)A =  λ \\lambda λA + μ \\mu μA  
 λ \\lambda λ(A+B) =  λ \\lambda λA+ λ \\lambda λB

**例9：**  
数乘运算。

>> A = [1 2 3; 4 5 6];
    >> 5*A

![在这里插入图片描述][20200411111315581.png]  
2）**乘运算**  
设A（aij）是一个 m \* s矩阵 ，B=b(ij)是一个s\* n矩阵，规定A与B的积为一个m\*n矩阵C=（cij）：  
cij = ai1\+b1j\+ai2\+b2j\+…+aisbsj  
i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n。

A列数要和B行数相同；  
C行数等于A行数，C列数等于B列数；  
C的m行n列元素值等于A的m行元素与B的列元素对应的值积的和。

\[ a i 1 a i 2 . . . a i n \] \[ b 1 j b 2 j . . . b s j \] = C i j \\begin\{bmatrix\} a\_\{i1\}& a\_\{i2\}& ... & a\_\{in\}\\\\ \\end\{bmatrix\} \\begin\{bmatrix\} b\_\{1j\}\\\\ b\_\{2j\}\\\\ ...\\\\ b\_\{sj\}\\\\ \\end\{bmatrix\} =C\_\{ij\} \[ai1ai2...ain\]⎣⎢⎢⎡b1jb2j...bsj⎦⎥⎥⎤=Cij  
**例10：**  
矩阵乘法。

>> A = [1 2 3; 4 5 6];
    >> B = [2 3 4; 5 6 4;2 3 4];
    >> A*B

![在这里插入图片描述][20200411113339877.png]  
注意：A*B  = \\cancel\{=\} = B*A  
 \[ a 1 a 2 a 3 \] \[ b 1 b 2 b 2 \] = \[ a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 1 b 3 \] \\begin\{bmatrix\} a\_\{1\}& a\_\{2\}& a\_\{3\}\\\\ \\end\{bmatrix\} \\begin\{bmatrix\} b\_\{1\}\\\\ b\_\{2\}\\\\ b\_\{2\}\\\\ \\end\{bmatrix\} = \\begin\{bmatrix\} a\_\{1\}b\_\{1\}+a\_\{1\}b\_\{2\}+a\_\{1\}b\_\{3\}\\\\ \\end\{bmatrix\} \[a1a2a3\]⎣⎡b1b2b2⎦⎤=\[a1b1\+a1b2\+a1b3\]

\[ a 1 a 2 a 2 \] \[ b 1 b 2 b 3 \] = \[ a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3 \] \\begin\{bmatrix\} a\_\{1\}\\\\ a\_\{2\}\\\\ a\_\{2\}\\\\ \\end\{bmatrix\} \\begin\{bmatrix\} b\_\{1\}& b\_\{2\}& b\_\{3\}\\\\ \\end\{bmatrix\} = \\begin\{bmatrix\} a\_\{1\}b\_\{1\}&a\_\{1\}b\_\{2\}&a\_\{1\}b\_\{3\}\\\\ a\_\{2\}b\_\{1\}&a\_\{2\}b\_\{2\}&a\_\{2\}b\_\{3\}\\\\ a\_\{3\}b\_\{1\}&a\_\{3\}b\_\{2\}&a\_\{3\}b\_\{3\}\\\\ \\end\{bmatrix\} ⎣⎡a1a2a2⎦⎤\[b1b2b3\]=⎣⎡a1b1a2b1a3b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3⎦⎤  
3)**点乘运算**  
矩阵点乘运算指将两个矩阵中同位置元素进行相乘运算，将积保存在原位置组成新元素。

**例11：**  
点乘运算。

>> A = [1 2 3; 4 5 6];
    >> B = [2 3 4; 5 6 4];
    >> A.*B

![在这里插入图片描述][2020041111435712.png]

## 3.矩阵除法 ##

左除A\\B时，A的行数要和B的行数一致，计算右除A/B时，A的列数要和B的列数一致。  
1）**左除运算**  
矩阵的特殊性，A*B = \\cancel\{=\} = B*A，除法也需要区分左右。  
线性方程组D\*X=B，若D为非奇异矩阵，即它的逆矩阵inv（D）存在，则其解为`X=inv(D)*B=D\B`。符号“\\”称为左除 ，即分母放在左边。左除条件为：B的行数等于D的阶数（D的行数和列数相同，简称阶数）。

**例12：**

>> A = [1 2;2 1];
    >> B = [2 3;3 4];
    >> C = A*B
    >> D = A\C
    >> E = inv(A)*C

![在这里插入图片描述][20200412175056753.png]

2)**右除运算**  
若方程组表示X\*D=B，D为非奇异矩阵，即它的它的逆矩阵inv（D）存在，则其解为`X=B*inv(D)=B/D`。符号“/”称为右除，即分母放在右边。右除条件为：B的列数等于D的阶数（D的行数和列数相同，简称阶数）。

**例13：**

>> A = [1 2;2 1];
    >> B = [2 3;3 4];
    >> C = A*B
    >> D = C/B
    >> E = C*inv(B)

![在这里插入图片描述][20200412175311316.png]

以上。

参考文档：  
1.[https://www.zybuluo.com/codeep/note/163962][https_www.zybuluo.com_codeep_note_163962]（Markdown 公式指导手册）  
2.[https://blog.csdn.net/u013647759/article/details/85635162][https_blog.csdn.net_u013647759_article_details_85635162](矩阵空格公式方程组)  
3.[https://blog.csdn.net/katherine\_hsr/article/details/79179622][https_blog.csdn.net_katherine_hsr_article_details_79179622]（数学符号和公式）  
4.天工在线.中文版MATLAB2018从入门到精通（实战案例版）\[M\].北京:中国水利水电出版社,2018.  
5.[https://blog.csdn.net/clam\_clam/article/details/7184991][https_blog.csdn.net_clam_clam_article_details_7184991]

[20200409153047675.png]: /images/20230528/0104cfc4d5cc4b60b097f0607c5dee53.png
[20200409153225974.png]: /images/20230528/d40ceb7c3c39461ab9ebb82399d08dc9.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dhbmdxaW5nY2h1YW45Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20230528/d050acc085ee44c4bbb5d0af2f3cbe34.png
[20200409155058930.png]: /images/20230528/ebb063a6d4924f4b89e8fb25a94512b8.png
[20200409155818653.png]: /images/20230528/d63ea8acce784adc99259068def9d4ef.png
[20200410110328351.png]: /images/20230528/923f1ac3dd404d5f89ccf9c529e75724.png
[20200410110645212.png]: /images/20230528/2d59d70768aa4dbe9581d7cf150469c3.png
[20200410111523387.png]: /images/20230528/167816a0ba6447c491197e7f54db3304.png
[20200410112556762.png]: /images/20230528/fee96413b7d842ac8ac74bea76403547.png
[20200411105450824.png]: /images/20230528/277c49f7a1764d3daa52d2f27c265ab3.png
[20200411111315581.png]: /images/20230528/3f9808f8c9ce48b18392afc96a914139.png
[20200411113339877.png]: /images/20230528/ba235c9616cd4950a0699b49624ab898.png
[2020041111435712.png]: /images/20230528/21e701847a8b46eca34964a32628fad5.png
[20200412175056753.png]: /images/20230528/e5619114b3a84809a084c0bb86fd5e57.png
[20200412175311316.png]: /images/20230528/f909abf39d0442309d421f3bae474b69.png
[https_www.zybuluo.com_codeep_note_163962]: https://www.zybuluo.com/codeep/note/163962
[https_blog.csdn.net_u013647759_article_details_85635162]: https://blog.csdn.net/u013647759/article/details/85635162
[https_blog.csdn.net_katherine_hsr_article_details_79179622]: https://blog.csdn.net/katherine_hsr/article/details/79179622
[https_blog.csdn.net_clam_clam_article_details_7184991]: https://blog.csdn.net/clam_clam/article/details/7184991