【Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave】—— 静电场的基本方程（分界面的边界条件分析）

r囧r小猫 2023-07-23 10:59 17阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  写在前面：
 *  一、介质与介质分界面之间
 *  1.1 法向电位移的边界条件
 *  1.2 切向电场强度的边界条件
 *   *  1.2.1 电场的折射
 *  1.3 电势的边界条件
 *  二、介质与导体之间
 *   *  2.1 电位移边界条件
     *  2.2 电场强度的边界条件

# 写在前面： #

在遇到不同介电常数的分界面上时，不管分界面上的净电荷是自右的还是束缚的，都会令  D → \\overrightarrow\{D\} D 或  E → \\overrightarrow\{E\} E 在分界面上发生突变。那么 D → \\overrightarrow\{D\} D 或  E → \\overrightarrow\{E\} E 在分界面上是如何变化的，就需要通过边界条件来判断了。同时，边界也分成了介质与介质之间、和介质与导体之间的。首先，我们就来框框介质与介质的分界面。

# 一、介质与介质分界面之间 #

# 1.1 法向电位移的边界条件 #

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介质与介质的分界面上的电位移边界方程我们可以表述为：  
 D 1 → ⋅ n → − D 2 → ⋅ n → = ρ s (1) \\overrightarrow\{D\_1\}\\sdot \\overrightarrow\{n\} - \\overrightarrow\{D\_2\}\\sdot \\overrightarrow\{n\}=ρ\_s\\tag\{1\} D1⋅n−D2⋅n=ρs(1)  
其中， D 1 → \\overrightarrow\{D\_1\} D1 就是介质1 内的电位移， n → \\overrightarrow\{n\} n 就表示分界面的法向量。 **ρ s ρ\_s ρs 表示的是分界面上的自由电荷的面密度** （注意是自由电荷）。当然，边界方程也可以表示为：  
 D 1 n − D 2 n = ρ s (2) D\_\{1n\} - D\_\{2n\} = ρ\_s\\tag\{2\} D1n−D2n=ρs(2)

值得说明的一点是：如果题目中没有明确说明分界面自由电荷的面密度  ρ s ρ\_s ρs 时，我们就默认两种介质分界面的自由电荷面密度是0，那么此时，电位移的边界方程就可以表示为： D 1 n = D 2 n (3) D\_\{1n\} = D\_\{2n\}\\tag\{3\} D1n=D2n(3)

**上面的分析说明了一件事情：如果在分界面上有自由电荷的存在，那么  D → \\overrightarrow\{D\} D 的法向分量是不连续的。反之，如果分界面上没有自右电荷，那么 D → \\overrightarrow\{D\} D 的法向分量 就是连续的了**

# 1.2 切向电场强度的边界条件 #

注意，我们在1.1 节讨论电位移的边界方程时，说的是法向方向上的。而现在我们要讨论的电场强度的边界条件是针对切向方向的。如下图所示：

![2020041110032348.png][]

我们有下面的关系： E 1 t = E 2 t (4) E\_\{1t\} = E\_\{2t\}\\tag\{4\} E1t=E2t(4)  
**这说明：电场强度在分界面的切向方向是连续的！**

## 1.2.1 电场的折射 ##

大家看看上面这张图片：介质 ε 1 ε\_1 ε1 中，电场  E 1 → \\overrightarrow\{E\_1\} E1 与法向的夹角是  θ 1 θ\_1 θ1；在介质  ε 2 ε\_2 ε2 中，电场  E 2 → \\overrightarrow\{E\_2\} E2 与法向的夹角是  θ 2 θ\_2 θ2。当分界面没有自由电荷时，根据： D 1 n = D 2 n D\_\{1n\} = D\_\{2n\} D1n=D2n（即： ε 1 E 1 n = ε 2 E 2 n ε\_1E\_\{1n\} = ε\_2E\_\{2n\} ε1E1n=ε2E2n）可知： ε 1 E 1 c o s θ 1 = ε 2 E 2 c o s θ 2 ε\_1E\_1cosθ\_1 = ε\_2E\_2cosθ\_2 ε1E1cosθ1=ε2E2cosθ2  
又由： E 1 t = E 2 t E\_\{1t\} = E\_\{2t\} E1t=E2t 可知： E 1 s i n θ 1 = E 2 s i n θ 2 E\_1sinθ\_1 = E\_2sinθ\_2 E1sinθ1=E2sinθ2  
两个式子相除，可以得到： 1 ε 1 t a n θ 1 = 1 ε 2 t a n θ 2 \\frac\{1\}\{ε\_1\}tanθ\_1 = \\frac\{1\}\{ε\_2\}tanθ\_2 ε11tanθ1=ε21tanθ2  
整理一下，可以得到： t a n θ 1 t a n θ 2 = ε 1 ε 2 \\frac\{tanθ\_1\}\{tanθ\_2\} = \\frac\{ε\_1\}\{ε\_2\} tanθ2tanθ1=ε2ε1  
这就是所谓的电场折射。**注意： θ 1 , θ 2 θ\_1, θ\_2 θ1,θ2 是电场与分界面法向方向的夹角！！** 我们可以看到，一般来说，电场经过两个不同的介质之后方向一般都会改变（除非是 θ 1 , θ 2 = 0 θ\_1, θ\_2 = 0 θ1,θ2=0）

# 1.3 电势的边界条件 #

电势的边界方程有两个（别忘了！）下面我们推导一下：  
还记得我们刚刚说的电位移的边界条件吗？ D 1 n − D 2 n = ρ s D\_\{1n\} - D\_\{2n\} = ρ\_s D1n−D2n=ρs，根据电位移和电场强度的本构关系： D → = ε E → \\overrightarrow\{D\} = ε\\overrightarrow\{E\} D=εE，因此，我们也可以得到： D n = ε E n D\_\{n\} = εE\_\{n\} Dn=εEn

另外，根据之前的知识我们知道： E n → = − ▽ Φ = − ∂ Φ ∂ n a n → \\overrightarrow\{E\_n\} = -\\triangledownΦ = -\\frac\{\\partial\{Φ\}\}\{\\partial\{n\}\}\\overrightarrow\{a\_n\} En=−▽Φ=−∂n∂Φan  
所以， E n = E n → ⋅ a n → E\_n = \\overrightarrow\{E\_n\}\\sdot \\overrightarrow\{a\_n\} En=En⋅an。那么，我们有： E n = − ∂ Φ ∂ n a n → ⋅ a n → = − ∂ Φ ∂ n E\_n = -\\frac\{\\partial\{Φ\}\}\{\\partial\{n\}\}\\overrightarrow\{a\_n\} \\sdot \\overrightarrow\{a\_n\} = -\\frac\{\\partial\{Φ\}\}\{\\partial\{n\}\} En=−∂n∂Φan⋅an=−∂n∂Φ  
所以，有： D 1 n − D 2 n = ρ s ε 1 E 1 n − ε 2 E 2 n = ρ s − ε 1 ∂ Φ 1 ∂ n + ε 2 ∂ Φ 2 ∂ n = ρ s \\begin\{aligned\} D\_\{1n\} - D\_\{2n\} &= ρ\_s\\\\ \\space\\\\ ε\_1E\_\{1n\} - ε\_2E\_\{2n\} &=ρ\_s\\\\ \\space\\\\ -ε\_1\\frac\{\\partial\{Φ\_1\}\}\{\\partial\{n\}\} + ε\_2\\frac\{\\partial\{Φ\_2\}\}\{\\partial\{n\}\} &= ρ\_s\\\\ \\end\{aligned\} D1n−D2nε1E1n−ε2E2n−ε1∂n∂Φ1\+ε2∂n∂Φ2=ρs=ρs=ρs

所以，我们得到了电位在边界面上的第一条方程： ε 1 ∂ Φ 1 ∂ n − ε 2 ∂ Φ 2 ∂ n = − ρ s (5) ε\_1\\frac\{\\partial\{Φ\_1\}\}\{\\partial\{n\}\} - ε\_2\\frac\{\\partial\{Φ\_2\}\}\{\\partial\{n\}\} = -ρ\_s\\tag\{5\} ε1∂n∂Φ1−ε2∂n∂Φ2=−ρs(5)  
如果分界面的自由电荷的面密度为0，那么可以得到： ε 1 ∂ Φ 1 ∂ n = ε 2 ∂ Φ 2 ∂ n ε\_1\\frac\{\\partial\{Φ\_1\}\}\{\\partial\{n\}\} = ε\_2\\frac\{\\partial\{Φ\_2\}\}\{\\partial\{n\}\} ε1∂n∂Φ1=ε2∂n∂Φ2

另外一条特别容易引起忽略的，就是： Φ 1 = Φ 2 (6) Φ\_1 = Φ\_2\\tag\{6\} Φ1=Φ2(6)  
**上面的分析说明，在分界面上，电位是连续的。**

> 还需要特别强调的一点就是：如果题目中给出的电位函数例如是  r r r 的函数，那么我们在用边界方程的时候，需要把  r = 边 界 值 r = 边界值 r=边界值带进去

# 二、介质与导体之间 #

其实，介质与导体之间的边界条件原型是和介质与介质的方程是一样的，只不过这里对于导体而言，导体内部的场强为0，导体边界是一个等势体。

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## 2.1 电位移边界条件 ##

我们先把原型写出来： D 1 n − D 2 n = ρ s D\_\{1n\} - D\_\{2n\} = ρ\_s D1n−D2n=ρs  
因为导体内的场强是0，因此我们有： D 2 n = 0 D\_\{2n\} = 0 D2n=0，所以上式就变为了： D 1 n = ρ s D\_\{1n\} = ρ\_s D1n=ρs

## 2.2 电场强度的边界条件 ##

同样地，我们把原型写出来： E 1 t = E 2 t E\_\{1t\} = E\_\{2t\} E1t=E2t  
因为导体内部的场强为0，所以， E 2 t = 0 E\_\{2t\} = 0 E2t=0。即： E 1 t = E 2 t = 0 E\_\{1t\} = E\_\{2t\} = 0 E1t=E2t=0

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