数据结构与算法分析：（九）二分查找算法

迈不过友情╰ 2023-07-17 05:58 185阅读 0赞

## 一、前言 ##

`二分查找算法`是针对`有序数据集合`的查找算法，将原本时间复杂度是线性时间提升到了对数时间范围，大大缩短了搜索时间。二分查找算法的思想非常简单，但细节是魔鬼。也就是你想写成没有bug的二分查找算法很难，出错原因主要集中在`判定条件`和`边界值`的选择上，很容易就会导致`越界`或者`死循环`的情况。

**1、思想**

二分查找又称折半查找，它是一种效率较高的查找方法。折半查找的算法思想是将数列按有序化(递增或递减)排列，查找过程中采用跳跃式方式查找，即先以有序数列的中点位置为比较对象，如果要找的元素值小 于该中点元素，则将待查序列缩小为左半部分，否则为右半部分。通过一次比较，将查找区间缩小一半。 折半查找是一种高效的查找方法。它可以明显减少比较次数，提高查找效率。但是，折半查找的先决条件是查找表中的数据元素必须有序。

**2、优缺点**

优点：比较次数少，查找速度快，平均性能好。  
缺点：要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。

## 二、O(logn) 魔鬼查找速度 ##

假设有 1000 条订单数据，已经按照订单金额从小到大排序，每个订单金额都不同，并且最小单位是元。我们现在想知道是否存在金额等于 3 元的订单。如果存在，则返回订单数据，如果不存在则返回 null。

最简单的办法当然是从第一个订单开始，一个一个遍历这 1000 个订单，直到找到金额等于 3 元的订单为止。但这样查找会比较慢，最坏情况下，可能要遍历完这 1000 条记录才能找到。那用二分查找能不能更快速地解决呢？

为了方便理解，假设只有 10 个订单，订单金额分别是：2，3，7，11，19，20，21，90，93。

利用二分思想，每次都与区间的中间数据比对大小，缩小查找区间的范围。其中，low 和 high 表示待查找区间的下标，mid 表示待查找区间的中间元素下标。

![在这里插入图片描述][20200319212054258.png]

看到了没？我们两次就找到了这个为3元的订单，简直暴力。

我们来分析下这么暴力的算法背后的时间复杂度为多少。

我们假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

![在这里插入图片描述][20200319212343906.png]

可以看出来，这是一个等比数列。其中 n/2k=1 时，k 的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。通过 n/2k=1，我们可以求得 k=log2n，所以时间复杂度就是 `O(logn)`。

二分查找是我们目前为止遇到的第一个时间复杂度为 O(logn) 的算法。后面章节我们还会讲堆、二叉树的操作等等，它们的时间复杂度也是 O(logn)。我这里就再深入地讲讲 O(logn) 这种对数时间复杂度。这是一种极其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。为什么这么说呢？

因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方，这个数很大了吧？大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。

我们前面讲过，用大 O 标记法表示时间复杂度的时候，会省略掉常数、系数和低阶。对于常量级时间复杂度的算法来说，O(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。

## 三、二分查找的递归与非递归实现 ##

**1、有序数组中不存在重复元素**

// 有序数组中不存在重复元素
    public int binarySearch(int[] arr, int n, int value) { 
        int low = 0, high = n - 1;
        while (low <= high) { 
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] > value) { 
                high = mid - 1;
            } else if (arr[mid] < value) { 
                low = mid + 1;
            } else { 
                return mid;
            }
        }
        return -1;
    }

容易错的几个点：

*  循环退出条件  
    注意是 low<=high，而不是 low。
 *  mid 的取值  
    实际上，很多人写法是这个mid=(low+high)/2，这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
 *  low 和 high 的更新  
    low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。比如，当 high=3，low=3 时，如果 arr\[3\]不等于 value，就会导致一直循环不退出。

**2、二分查找的递归实现**

// 二分查找的递归实现
    public int binarySearchRecursive(int[] arr, int n, int value) { 
        return binarySearchInternally(arr, 0, n - 1, value);
    }
    
    private int binarySearchInternally(int[] arr, int low, int high, int value) { 
        if (low > high) return -1;
        int mid = low + ((high - low) >> 1);
        if (arr[mid] > value) { 
            binarySearchInternally(arr, low, mid - 1, value);
        } else if (arr[mid] < value) { 
            binarySearchInternally(arr, mid - 1, high, value);
        } else { 
            return mid;
        }
        return -1;
    }

## 四、几种常见的二分查找变形 ##

不知道你有没有听过这样一个说法：“十个二分九个错”。二分查找虽然原理极其简单，但是想要写出没有 Bug 的二分查找并不容易。我们接下来来看一下以下几种变形问题。

**1、查找目标值区域的左边界/查找与目标值相等的第一个位置/查找第一个不小于目标值数的位置**

比如下面这样一个有序数组，其中，a\[5\]，a\[6\]，a\[7\]的值都等于 20，是重复的数据。我们希望查找第一个等于 20 的数据，也就是下标是 5 的元素。

![在这里插入图片描述][2020031922050539.png]  
如果我们用上面讲的二分查找的代码实现，首先拿 20 与区间的中间值 arr\[4\]比较，20 比 19 大，于是在下标 5 到 8 之间继续查找。下标 5 和 8 的中间位置是下标 6，arr\[6\]正好等于 8，所以代码就返回了。

尽管 arr\[6\] 也等于 20，但它并不是我们想要找的第一个等于 20 的元素，因为第一个值等于 20的元素是数组下标为 5 的元素。我们上面讲的二分查找代码就无法处理这种情况了。所以，针对这个变形问题，我们可以稍微改造一下上一小节的代码。

// 查找与目标值相等的第一个位置
    public int binarySearch_1(int[] arr, int n, int value) { 
        int low = 0, high = n - 1;
        while (low <= high) { 
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] > value) { 
                high = mid - 1;
            } else if (arr[mid] < value) { 
                low = mid + 1;
            } else { 
                if (mid == 0 || arr[mid - 1] != mid) { 
                    return mid;
                } else { 
                    high = mid - 1;
                }
            }
        }
        return -1;
    }

LeetCode参考：[35. Search Insert Position][]

**2、查找目标值区域的右边界/查找与目标值相等的最后一个位置/查找最后一个不大于目标值数的位置**

如果你掌握了前面的写法，那这个问题你应该很轻松就能解决。

// 查找与目标值相等的最后一个位置
    public int binarySearch_2(int[] arr, int n, int value) { 
        int low = 0, high = n - 1;
        while (low <= high) { 
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] > value) { 
                high = mid - 1;
            } else if (arr[mid] < value) { 
                low = mid + 1;
            } else { 
                if (mid == n - 1 || arr[mid + 1] != mid) { 
                    return mid;
                } else { 
                    low = mid + 1;
                }
            }
        }
        return -1;
    }

**3、查找最后一个小于目标值的数/查找比目标值小但是最接近目标值的数**

此题可有第1小题变形而来

> arr \[2, 3, 7, 11, 19, 20, 20, 20, 93\]  
> target 20  
> return 4

// 查找最后一个小于目标值的数
    public static int binarySearch_3(int[] arr, int n, int value) { 
        int low = 0, high = n - 1;
        while (low <= high) { 
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] >= value) { 
                high = mid - 1;
            } else { 
                if (mid == n - 1 || arr[mid + 1] >= value) { 
                    return mid;
                } else { 
                    low = mid + 1;
                }
            }
        }
        return -1;
    }

**4、查找第一个大于目标值的数/查找比目标值大但是最接近目标值的数**

// 查找第一个大于目标值的数
    public static int binarySearch_4(int[] arr, int n, int value) { 
        int low = 0, high = n - 1;
        while (low <= high) { 
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] > value) { 
                if (mid == 0 || arr[mid - 1] <= value) { 
                    return mid;
                } else { 
                    high = mid - 1;
                }
            } else { 
                low = mid + 1;
            }
        }
        return -1;
    }

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**5、旋转数组返回最小元素**

**5.1、查找旋转数组的最小元素（假设不存在重复数字）**

LeetCode参考：[153. Find Minimum in Rotated Sorted Array][]

> Input: \[3,4,5,1,2\]  
> Output: 1

// 查找旋转数组的最小元素（假设不存在重复数字）
    public static int binarySearch_5(int[] arr, int n) { 
        int low = 0, high = n - 1;
        while (low < high) { 
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if(arr[mid] > arr[high])
                low = mid + 1;
            else{ 
                high = mid;
            }
        }
        return arr[low];
    }

意这里和之前的二分查找的几点区别：

*  循环判定条件为low < high，没有等于号。
 *  循环中，通过比较arr\[low\]与arr\[mid\]的值来判断mid所在的位置。
 *  如果arr\[mid\] > arr\[high\]，说明前半部分是有序的，最小值在后半部分，令low = mid + 1。
 *  如果arr\[mid\] <= arr\[high\]，说明最小值在前半部分，令high = mid。

最后，left会指向最小值元素所在的位置。

**5.2、查找旋转数组的最小元素（存在重复项）**

LeetCode参考：[154. Find Minimum in Rotated Sorted Array II][]

> Input: \[2,2,2,0,1\]  
> Output: 0

// 查找旋转数组的最小元素（存在重复项）
    public static int binarySearch_6(int[] arr, int n) { 
        int low = 0, high = n - 1;
        while (low < high) { 
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] > arr[high]) { 
                low = mid + 1;
            } else if (arr[mid] < arr[high]) { 
                high = mid;
            } else { 
                high--;
            }
        }
        return arr[low];
    }

和之前不存在重复项的差别是：当arr\[mid\] == arr\[high\]时，我们不能确定最小值在 mid的左边还是右边，所以我们就让右边界减一。

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**6、在旋转排序数组中搜索**

**6.1、不考虑重复项**

LeetCode参考：[33. Search in Rotated Sorted Array][]

// 在旋转排序数组中搜索 (不考虑重复项)
    public static int binarySearch_7(int[] arr, int target) { 
        int low = 0, high = arr.length - 1;
        while (low <= high) { 
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] == target) return mid;
            if (arr[low] <= arr[mid]) {  // 左边升序,注意此处用小于等于
                if (target >= arr[low] && target < arr[mid]) {  // 在左边范围内
                    high = mid - 1;
                } else {  // 只能从右边找
                    low = mid + 1;
                }
            } else {  // 右边升序
                if (target <= arr[high] && target > arr[mid]) {  // 在右边范围内
                    low = mid + 1;
                } else {  // 只能从左边找
                    high = mid - 1;
                }
            }
        }
        return -1;
    }

**6.2、存在重复项**

LeetCode参考：[81. Search in Rotated Sorted Array II][]

// 在旋转排序数组中搜索 (存在重复项)
    public static boolean binarySearch_8(int[] arr, int target) { 
        int low = 0, high = arr.length - 1;
        while (low <= high) { 
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] == target) return true;
            if (arr[low] == arr[mid]) { 
                low++;
                continue;
            }
            if (arr[low] <= arr[mid]) {  // 左边升序,注意此处用小于等于
                if (target >= arr[low] && target < arr[mid]) {  // 在左边范围内
                    high = mid - 1;
                } else {  // 只能从右边找
                    low = mid + 1;
                }
            } else {  // 右边升序
                if (target <= arr[high] && target > arr[mid]) {  // 在右边范围内
                    low = mid + 1;
                } else {  // 只能从左边找
                    high = mid - 1;
                }
            }
        }
        return false;
    }

如果你把几道二分查找算法题都能自己做的出来，那么你对二分查找掌握的到了一定水平了。

## 五、二分查找应用场景的局限性 ##

前面我们已经分析了二分查找的时间复杂度是 O(logn)，查找数据的效率非常高。不过，并不是什么情况下都可以用二分查找，它的应用场景是有很大局限性的。那什么情况下适合用二分查找，什么情况下不适合呢？

**1、二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。**

那二分查找能否依赖其他数据结构呢？比如链表。答案是不可以的，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。我们在数组和链表那两节讲过，数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。

二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果你的数据是通过其他数据结构存储的，则无法应用二分查找。

**2、二分查找针对的是有序数据。**

二分查找对这一点的要求比较苛刻，数据必须是有序的。如果数据没有序，我们需要先排序。前面章节里我们讲到，排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。

但是，如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。

所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。那针对动态数据集合，如何在其中快速查找某个数据呢？别急，等到二叉树那一节我会详细讲。

**3、数据量太小不适合二分查找。**

如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。

不过，这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，我都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过 300 的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。

**4、数据量太大也不适合二分查找。**

二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，我们有 1GB 大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要 1GB 的连续内存空间。

注意这里的“连续”二字，也就是说，即便有 2GB 的内存空间剩余，但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的，没有连续的 1GB 大小的内存空间，那照样无法申请一个 1GB 大小的数组。而我们的二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。

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[2020031922050539.png]: /images/20230528/37c7dc6842f840cd9a34c542c102af64.png
[35. Search Insert Position]: https://leetcode.com/problems/search-insert-position/description/
[153. Find Minimum in Rotated Sorted Array]: https://leetcode.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/
[154. Find Minimum in Rotated Sorted Array II]: https://leetcode.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii/
[33. Search in Rotated Sorted Array]: https://leetcode.com/problems/search-in-rotated-sorted-array/
[81. Search in Rotated Sorted Array II]: https://leetcode.com/problems/search-in-rotated-sorted-array-ii/