隐马尔科夫模型（Hidden Markov Model，HMM）定义及概率计算算法

逃离我推掉我的手 2023-07-08 06:59 82阅读 0赞

# 1. 定义 #

## 1.1 基本定义 ##

> **马尔可夫性质（Markov Property）：**  
> 是概率论中的一个概念，因为俄国数学家安德雷·马尔可夫得名。当一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下，**其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态**；换句话说，**在给定现在状态时，它与过去状态（即该过程的历史路径）是条件独立的**，那么此随机过程即具有马尔可夫性质。***具有马尔可夫性质的过程通常称之为马尔可夫过程。***

> **隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）：**  
> 是**统计模型**，它用来描述一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。是马尔可夫链的一种，它的状态不能直接观察到，但能通过观测向量序列观察到，每个观测向量都是通过某些概率密度分布表现为各种状态，每一个观测向量都是由一个具有相应概率密度分布的状态序列产生。所以，隐马尔可夫模型是一个**双重随机过程** \- 具有一定状态数的隐马尔可夫链和显示随机函数集。

> 隐藏的马尔可夫链随机生成的状态的序列，称为**状态序列（state sequence）**；每个状态生成一个观测，而由此产生的观测的随机序列，称为**观测序列（observation sequence）**。序列的每一个位置又可以看作是一个时刻。

## 1.2 三要素 ##

隐马尔可夫模型由**初始状态概率向量** π \\pi π、**状态转移概率矩阵** A A A和**观测概率矩阵** B B B确定（*称为隐马尔可夫模型的三要素*）。 π \\pi π和 A A A决定状态序列， B B B决定观测序列。隐马尔可夫模型 λ \\lambda λ可用三元符号表示为：

λ = ( A , B , π ) (1) \\lambda = (A,B,\\pi) \\tag\{1\} λ=(A,B,π)(1)

## 1.3 两个基本假设 ##

本质上就是对马尔可夫性质的总结：  
（1）齐次马尔可夫性假设，即假设隐藏的马尔可夫链在任意时刻 t t t的状态只依赖于前一时刻的状态，与其他时刻的状态无关，也与时刻 t t t无关；  
（2）观测独立性假设，即假设任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔可夫链的状态，与其他观测及状态无关。

## 1.4 三个基本问题 ##

隐马尔可夫模型有3个基本问题：  
（1）**概率计算问题**：给定模型 λ = ( A , B , π ) \\lambda=(A,B,\\pi) λ=(A,B,π)和观测序列 O = ( o 1 , o 2 , . . . , o T ) O=(o\_1,o\_2,...,o\_T) O=(o1,o2,...,oT)，计算在模型 λ \\lambda λ下观测序列 O O O出现的概率 P ( O ∣ λ ) P(O|\\lambda) P(O∣λ)；  
（2）**学习问题**：已知观测序列 O = ( o 1 , o 2 , . . . , o T ) O=(o\_1,o\_2,...,o\_T) O=(o1,o2,...,oT)，估计模型 λ = ( A , B , π ) \\lambda=(A,B,\\pi) λ=(A,B,π)的参数，使得在该模型下观测学习序列概率 P ( O ∣ λ ) P(O|\\lambda) P(O∣λ)最大。即用极大似然估计的方法估计参数；  
（3）**预测问题**：也称为解码（decoding）问题。给定观测序列，求最有可能的对应的状态序列。

## 1.5 示例 ##

该例贯穿余下全文。  
（书中例10.1）（**盒子和球模型**）假设有4个盒子，每个盒子里都装有红白两种颜色的球，盒子里的红白球数由下标给出：

按照下面的方法抽球，产生一个球的颜色的观测序列：

*  开始，从4个盒子里以等概率随机选取1个盒子，从这个盒子里随机抽出1个球，记录其颜色后，放回；
 *  然后，从当前盒子随机转移到下一个盒子，规则是：如果当前盒子是盒子1，那么下一盒子一定是盒子2，如果当前是盒子2或3，那么分别以概率0.4和0.6转移到左边或右边的盒子，如果当前是盒子4，那么各以0.5的概率停留在盒子4或转移到盒子3；
 *  确定转移的盒子后，再从这个盒子里随机抽出1个球，记录其颜色，放回；
 *  如此下去，重复进行5次，得到一个球的颜色的观测序列：

O = \{ 红 ， 红 ， 白 ， 白 ， 红 \} O=\\\{红，红，白，白，红\\\} O=\{ 红，红，白，白，红\}

这个例子中有两个随机序列：盒子的序列（状态序列，隐藏）和球的颜色的序列（观测序列，可观测）。**由此可以明确HMM的状态集合、观测集合、序列长度以及模型的三要素：**

（1）状态集合：

Q = 盒 子 1 , 盒 子 2 , 盒 子 3 , 盒 子 4 Q=\{盒子1, 盒子2, 盒子3, 盒子4\} Q=盒子1,盒子2,盒子3,盒子4

（2）观测集合：

V = \{ 红 , 白 \} ， M = 2 V=\\\{红, 白\\\}，M=2 V=\{ 红,白\}，M=2

（3）状态序列和观测序列的长度均为：

T = 5 T=5 T=5

（4）初始概率分布：

π = ( 0.25 , 0.25 , 0.25 , 0.25 ) T \\pi=(0.25, 0.25, 0.25, 0.25)^T π=(0.25,0.25,0.25,0.25)T

（5）状态转移概率分布（行表示当前盒子，列表示下一时刻的盒子）：

\[ 0 1 0 0 0.4 0 0.6 0 0 0.4 0 0.6 0 0 0.5 0.5 \] \\begin\{bmatrix\} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0.4 & 0 & 0.6 & 0 \\\\ 0 & 0.4 & 0 & 0.6 \\\\ 0 & 0 & 0.5 & 0.5 \\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡00.400100.4000.600.5000.60.5⎦⎥⎥⎤

（6）观测概率分布（每行表示在对应盒子中取出红白球的概率）：

B = \[ 0.5 0.5 0.3 0.7 0.6 0.4 0.8 0.2 \] B= \\begin\{bmatrix\} 0.5 & 0.5 \\\\ 0.3 & 0.7 \\\\ 0.6 & 0.4 \\\\ 0.8 & 0.2 \\end\{bmatrix\} B=⎣⎢⎢⎡0.50.30.60.80.50.70.40.2⎦⎥⎥⎤

# 2. 概率计算算法 #

> **概率计算问题**：给定模型 λ = ( A , B , π ) \\lambda=(A,B,\\pi) λ=(A,B,π)和观测序列 O = ( o 1 , o 2 , . . . , o T ) O=(o\_1,o\_2,...,o\_T) O=(o1,o2,...,oT)，计算在模型 λ \\lambda λ下观测序列 O O O出现的概率 P ( O ∣ λ ) P(O|\\lambda) P(O∣λ)。

本节介绍1.4中提到的HMM基本问题的第一个 - 概率计算问题。即给定模型 λ = ( A , B , π ) \\lambda=(A,B,\\pi) λ=(A,B,π)和观测序列 O = ( o 1 , o 2 , . . . , o T ) O=(o\_1,o\_2,...,o\_T) O=(o1,o2,...,oT)，计算在模型 λ \\lambda λ下观测序列 O O O出现的概率 P ( O ∣ λ ) P(O|\\lambda) P(O∣λ)。介绍3种方法：

*  直接计算法（不可行）
 *  前向（forward）算法
 *  后向（backward）算法

> 对应于示例1.5中的问题就是：在给定示例中的条件下，求所有出现观测序列 O = \{ 红 ， 红 ， 白 ， 白 ， 红 \} O=\\\{红，红，白，白，红\\\} O=\{ 红，红，白，白，红\}的概率。

## 2.1 直接计算法（概念上可行但计算上不可行） ##

给定模型 λ \\lambda λ和观测序列 O O O，计算观测序列 O O O出现的概率。直接计算法就是通过公式列举所有可能的长度为 T T T的状态序列，求各个状态序列 I I I与观测序列 O O O的联合概率 P ( O , I ∣ λ ) P(O,I|\\lambda) P(O,I∣λ)，然后对所有可能的状态序列求和，得到 P ( O , λ ) P(O,\\lambda) P(O,λ)。

直接计算法的计算量很大，是 O ( T N T ) O(TN^T) O(TNT)阶的，这种算法在概念上可行，但计算上消耗过大。

## 2.2 前向（forward）算法 ##

### 2.2.1 算法描述 ###

> **前向概率**：给定隐马尔可夫模型 λ \\lambda λ，定义到时刻 t t t部分观测序列为 o 1 , o 2 , . . . , o t o\_1,o\_2,...,o\_t o1,o2,...,ot（小写 t t t表示在整个观测序列长度 T T T中间的一个节点），且状态为 q i q\_i qi的概率为前向概率（小写 q i q\_i qi表示在状态集合 Q Q Q中的一个元素），记作：  
>  α t ( i ) = P ( o 1 , o 2 , . . . , o t , i t = q i ∣ λ ) \\alpha\_t(i)=P(o\_1,o\_2,...,o\_t,i\_t=q\_i|\\lambda) αt(i)=P(o1,o2,...,ot,it=qi∣λ)  
> 其中， i i i代表状态序列 Q Q Q中的状态序号（时刻）， t t t代表观测序列 O O O中的观测序号（时刻）。

可以递推的求得前向概率 α t ( i ) \\alpha\_t(i) αt(i)及观测序列概率 P ( O ∣ λ ) P(O|\\lambda) P(O∣λ)。算法步骤如下：

**（1）计算初值：**

α 1 ( i ) = π i b i ( o 1 ) ,   i = 1 , 2 , . . . , N \\alpha\_1(i)=\\pi\_ib\_i(o\_1), \\text\{ \} i=1,2,...,N α1(i)=πibi(o1), i=1,2,...,N

这一步求得初始值的数量与状态序列 Q Q Q的元素个数一致，可以理解为：分别在取 1 1 1~ i i i种状态条件 q i q\_i qi下得到观测值 o 1 o\_1 o1的概率，这可通过上一节的直接计算法来计算。

**（2）递推计算：** 对于 t = 1 , 2 , . . . , T − 1 t=1,2,...,T-1 t=1,2,...,T−1，有：

α t + 1 ( i ) = \[ ∑ j = 1 N α t ( j ) a i j \] b i ( o t + 1 ) ,   i = 1 , 2 , . . . , N \\alpha\_\{t+1\}(i)= \\begin\{bmatrix\} \\sum\_\{j=1\}^\{N\}\\alpha\_t(j)a\_\{ij\} \\end\{bmatrix\} b\_i(o\_\{t+1\}), \\text\{ \} i=1,2,...,N αt\+1(i)=\[∑j=1Nαt(j)aij\]bi(ot\+1), i=1,2,...,N

这一步需要用到状态转移概率矩阵中的元素 a i j a\_\{ij\} aij，上面的公式可以理解为：在确定前面所有状态观测值（在不同状态序列得到的概率）的前提下，计算当前状态下得到观测值的概率。

**（3）终止：**

P ( O ∣ λ ) = ∑ i = 1 N α r ( i ) P(O|\\lambda)=\\sum\_\{i=1\}^\{N\}\\alpha\_r(i) P(O∣λ)=i=1∑Nαr(i)

### 2.2.2 示例 ###

依然使用1.5的示例描述，但将其中的参量改为以下：

A = \[ 0.5 0.2 0.3 0.3 0.5 0.2 0.2 0.3 0.5 \] ,   B = \[ 0.5 0.5 0.4 0.6 0.7 0.3 \] ,   π = ( 0.2 , 0.4 , 0.4 ) T A= \\begin\{bmatrix\} 0.5 & 0.2 & 0.3 \\\\ 0.3 & 0.5 & 0.2 \\\\ 0.2 & 0.3 & 0.5 \\end\{bmatrix\} , \\text\{ \} B= \\begin\{bmatrix\} 0.5 & 0.5 \\\\ 0.4 & 0.6 \\\\ 0.7 & 0.3 \\end\{bmatrix\} , \\text\{ \} \\pi=(0.2,0.4,0.4)^T A=⎣⎡0.50.30.20.20.50.30.30.20.5⎦⎤, B=⎣⎡0.50.40.70.50.60.3⎦⎤, π=(0.2,0.4,0.4)T

设 T = 3 T=3 T=3， O = ( 红 , 白 , 红 ) O=(红, 白, 红) O=(红,白,红)，试用前向算法计算 P ( O ∣ λ ) P(O|\\lambda) P(O∣λ)。

**（1）计算初值：**

在已知第一个观测值 o 1 o\_1 o1为红球的条件下，这个球是在1~3号盒子中取出的概率。

第 一 个 红 球 是 在 盒 子 1 中 取 出 的 概 率 ： α 1 ( 1 ) = π 1 b 1 ( o 1 ) = 0.2 × 0.5 = 0.1 第 一 个 红 球 是 在 盒 子 2 中 取 出 的 概 率 ： α 1 ( 2 ) = π 2 b 2 ( o 1 ) = 0.4 × 0.4 = 0.16 第 一 个 红 球 是 在 盒 子 3 中 取 出 的 概 率 ： α 1 ( 3 ) = π 3 b 3 ( o 1 ) = 0.4 × 0.7 = 0.28 \\begin\{array\}\{l\} 第一个红球是在盒子1中取出的概率：\\alpha\_1(1)=\\pi\_1b\_1(o\_1)=0.2\\times0.5=0.1 \\\\ 第一个红球是在盒子2中取出的概率：\\alpha\_1(2)=\\pi\_2b\_2(o\_1)=0.4\\times0.4=0.16 \\\\ 第一个红球是在盒子3中取出的概率：\\alpha\_1(3)=\\pi\_3b\_3(o\_1)=0.4\\times0.7=0.28 \\end\{array\} 第一个红球是在盒子1中取出的概率：α1(1)=π1b1(o1)=0.2×0.5=0.1第一个红球是在盒子2中取出的概率：α1(2)=π2b2(o1)=0.4×0.4=0.16第一个红球是在盒子3中取出的概率：α1(3)=π3b3(o1)=0.4×0.7=0.28

**（2）递推计算：**

以下面的第一个公式来举例，在前面的观测值都确定的情况下（第一个取出为红球），第二个白球是在盒子1中取出的情况都分为3种：

*  第一个红球在盒子1中取出，第二个白球在盒子1中取出（状态1转到状态1）；
 *  第一个红球在盒子2中取出，第二个白球在盒子1中取出（状态2转到状态1）；
 *  第一个红球在盒子3中取出，第二个白球在盒子1中取出（状态3转到状态1）。

类推，得到：

第 二 个 白 球 在 盒 子 1 中 取 出 的 概 率 ： α 2 ( 1 ) = \[ ∑ i = 1 3 α 1 ( i ) a i 1 \] b 1 ( o 2 ) = ( 0.1 × 0.5 + 0.16 × 0.3 + 0.28 × 0.2 ) × 0.5 = 0.077 第 二 个 白 球 在 盒 子 2 中 取 出 的 概 率 ： α 2 ( 2 ) = \[ ∑ i = 1 3 α 1 ( i ) a i 2 \] b 2 ( o 2 ) = ( 0.1 × 0.2 + 0.16 × 0.5 + 0.28 × 0.3 ) × 0.6 = 0.1104 第 二 个 白 球 在 盒 子 3 中 取 出 的 概 率 ： α 2 ( 3 ) = \[ ∑ i = 1 3 α 1 ( i ) a i 3 \] b 3 ( o 2 ) = ( 0.1 × 0.3 + 0.16 × 0.2 + 0.28 × 0.5 ) × 0.3 = 0.0606 第二个白球在盒子1中取出的概率：\\alpha\_2(1)=\[\\sum\_\{i=1\}^3 \\alpha\_1(i)a\_\{i1\}\]b\_1(o\_2)=(0.1\\times0.5+0.16\\times0.3+0.28\\times0.2)\\times0.5=0.077 \\\\ 第二个白球在盒子2中取出的概率：\\alpha\_2(2)=\[\\sum\_\{i=1\}^3 \\alpha\_1(i)a\_\{i2\}\]b\_2(o\_2)=(0.1\\times0.2+0.16\\times0.5+0.28\\times0.3)\\times0.6=0.1104 \\\\ 第二个白球在盒子3中取出的概率：\\alpha\_2(3)=\[\\sum\_\{i=1\}^3 \\alpha\_1(i)a\_\{i3\}\]b\_3(o\_2)=(0.1\\times0.3+0.16\\times0.2+0.28\\times0.5)\\times0.3=0.0606 第二个白球在盒子1中取出的概率：α2(1)=\[i=1∑3α1(i)ai1\]b1(o2)=(0.1×0.5\+0.16×0.3\+0.28×0.2)×0.5=0.077第二个白球在盒子2中取出的概率：α2(2)=\[i=1∑3α1(i)ai2\]b2(o2)=(0.1×0.2\+0.16×0.5\+0.28×0.3)×0.6=0.1104第二个白球在盒子3中取出的概率：α2(3)=\[i=1∑3α1(i)ai3\]b3(o2)=(0.1×0.3\+0.16×0.2\+0.28×0.5)×0.3=0.0606

依然以下面第一个公式来说明，在前面的观测值都确定的情况下（第一个取出为红球，第二个取出为白球），第三个红球是在盒子1中取出的情况分为3种：

*  第二个白球在盒子1中取出，第三个红球在盒子1中取出（状态1转到状态1）；
 *  第二个白球在盒子2中取出，第三个红球在盒子1中取出（状态2转到状态1）；
 *  第二个白球在盒子3中取出，第三个红球在盒子1中取出（状态3转到状态1）。

接下来计算第三个取出的为红球的概率：

第 三 个 红 球 在 盒 子 1 中 取 出 的 概 率 ： α 3 ( 1 ) = \[ ∑ i = 1 3 α 2 ( i ) a i 1 \] b 1 ( o 3 ) = ( 0.077 × 0.5 + 0.1104 × 0.3 + 0.0606 × 0.2 ) × 0.5 = 0.04187 第 三 个 红 球 在 盒 子 2 中 取 出 的 概 率 ： α 3 ( 2 ) = \[ ∑ i = 1 3 α 2 ( i ) a i 2 \] b 2 ( o 3 ) = ( 0.077 × 0.2 + 0.1104 × 0.5 + 0.0606 × 0.3 ) × 0.4 = 0.03551 第 三 个 红 球 在 盒 子 3 中 取 出 的 概 率 ： α 3 ( 3 ) = \[ ∑ i = 1 3 α 2 ( i ) a i 3 \] b 3 ( o 3 ) = ( 0.077 × 0.3 + 0.1104 × 0.2 + 0.0606 × 0.5 ) × 0.7 = 0.05284 第三个红球在盒子1中取出的概率：\\alpha\_3(1)=\[\\sum\_\{i=1\}^3 \\alpha\_2(i)a\_\{i1\}\]b\_1(o\_3)=(0.077\\times0.5+0.1104\\times0.3+0.0606\\times0.2)\\times0.5=0.04187 \\\\ 第三个红球在盒子2中取出的概率：\\alpha\_3(2)=\[\\sum\_\{i=1\}^3 \\alpha\_2(i)a\_\{i2\}\]b\_2(o\_3)=(0.077\\times0.2+0.1104\\times0.5+0.0606\\times0.3)\\times0.4=0.03551 \\\\ 第三个红球在盒子3中取出的概率：\\alpha\_3(3)=\[\\sum\_\{i=1\}^3 \\alpha\_2(i)a\_\{i3\}\]b\_3(o\_3)=(0.077\\times0.3+0.1104\\times0.2+0.0606\\times0.5)\\times0.7=0.05284 \\\\ 第三个红球在盒子1中取出的概率：α3(1)=\[i=1∑3α2(i)ai1\]b1(o3)=(0.077×0.5\+0.1104×0.3\+0.0606×0.2)×0.5=0.04187第三个红球在盒子2中取出的概率：α3(2)=\[i=1∑3α2(i)ai2\]b2(o3)=(0.077×0.2\+0.1104×0.5\+0.0606×0.3)×0.4=0.03551第三个红球在盒子3中取出的概率：α3(3)=\[i=1∑3α2(i)ai3\]b3(o3)=(0.077×0.3\+0.1104×0.2\+0.0606×0.5)×0.7=0.05284

**（3）终止**

将上述最后状态的所有值相加即可得到最终结果：

P ( O ∣ λ ) = ∑ i = 1 3 α 3 ( i ) = 0.04187 + 0.03551 + 0.05284 = 0.13022 P(O|\\lambda)=\\sum\_\{i=1\}^\{3\}\\alpha\_3(i)=0.04187+0.03551+0.05284=0.13022 P(O∣λ)=i=1∑3α3(i)=0.04187\+0.03551\+0.05284=0.13022

## 2.3 后向（backward）算法 ##

### 2.3.1 算法描述 ###

> **后向概率**：给定隐马尔科夫模型 λ \\lambda λ，定义在时刻t状态为 q i q\_i qi的条件下，从 t + 1 t+1 t\+1到 T T T的部分观测序列为 o t + 1 , o t + 2 , . . . , o T o\_\{t+1\},o\_\{t+2\},...,o\_T ot\+1,ot\+2,...,oT的概率为后向概率，记作：  
>  β t ( i ) = P ( o t + 1 , o t + 2 , . . . , o T ∣ i t = q i , λ ) \\beta\_t(i)=P(o\_\{t+1\},o\_\{t+2\},...,o\_T|i\_t=q\_i,\\lambda) βt(i)=P(ot\+1,ot\+2,...,oT∣it=qi,λ)

依然可以用递推的方法求得后向概率 β t ( i ) \\beta\_t(i) βt(i)及观测序列概率 P ( O ∣ λ ) P(O|\\lambda) P(O∣λ)。

**（1）计算初值：**

β T ( i ) = 1 ,   i = 1 , 2 , . . . , N \\beta\_T(i)=1, \\text\{ \} i=1,2,...,N βT(i)=1, i=1,2,...,N

这里由于 T T T为最后一个时刻，因此定义这个时刻的观测值为1。

**（2）递推计算：** 对于 t = T − 1 , T − 2 , . . . , 1 t=T-1,T-2,...,1 t=T−1,T−2,...,1

β t ( i ) = ∑ j = 1 N a i j b j ( o t + 1 ) β t + 1 ( j ) ,   i = 1 , 2 , . . . , N \\beta\_t(i)=\\sum\_\{j=1\}^N a\_\{ij\}b\_j(o\_\{t+1\})\\beta\_\{t+1\}(j),\\text\{ \} i=1,2,...,N βt(i)=j=1∑Naijbj(ot\+1)βt\+1(j), i=1,2,...,N

a i j a\_\{ij\} aij为状态转移概率矩阵中的元素，表示状态 i i i转移到状态 j j j的概率。 β t + 1 ( j ) \\beta\_\{t+1\}(j) βt\+1(j)表示时刻 j j j后面的序列对应的后向概率。

**（3）终止：**

P ( O ∣ λ ) = ∑ i = 1 N π i b i ( o i ) β 1 ( i ) P(O|\\lambda)=\\sum\_\{i=1\}^N \\pi\_\{i\}b\_i(o\_i)\\beta\_1(i) P(O∣λ)=i=1∑Nπibi(oi)β1(i)

## 2.4 前、后向概率的关系 ##

给定一组观测序列，`在t时刻有第i状态的概率=t时刻的前向概率*t时刻的后向概率`，用公式表示为：

P ( i t = q i , O ∣ λ ) = α t ( i ) β t ( i ) P(i\_t=q\_i,O|\\lambda)=\\alpha\_t(i)\\beta\_t(i) P(it=qi,O∣λ)=αt(i)βt(i)

# 3. 学习算法 #

> **学习问题**：已知观测序列 O = ( o 1 , o 2 , . . . , o T ) O=(o\_1,o\_2,...,o\_T) O=(o1,o2,...,oT)，估计模型 λ = ( A , B , π ) \\lambda=(A,B,\\pi) λ=(A,B,π)的参数，使得在该模型下观测学习序列概率 P ( O ∣ λ ) P(O|\\lambda) P(O∣λ)最大。

在这里首先区分**监督学习**与**非监督学习**的区别：

*  **监督学习：** 训练数据包含了观测序列和对应的状态序列；
 *  **非监督学习：** 训练数据只有观测序列。

## 3.1 监督学习方法 ##

可以利用**极大似然估计法**（[参考][Link 1]）来估计隐马尔可夫模型的参数：状态转移概率（矩阵）、观测概率（矩阵）和初始状态概率。

这种估计方法比较简单，可以直接通过计算训练数据中对应数据出现的频率即可。但前提是数据有人工标注，标注的代价很高，因此常用非监督学习的方法。

## 3.2 Baum-Welch算法 ##

（待续…）

[Link 1]: https://blog.csdn.net/cfan927/article/details/104414285