正规方程、梯度下降法

╰半橙微兮° 2023-07-07 11:24 39阅读 0赞

# ![20191009191333910.png][][日萌社][Link 1] #

[人工智能AI：Keras PyTorch MXNet TensorFlow PaddlePaddle 深度学习实战（不定时更新）][AI_Keras PyTorch MXNet TensorFlow PaddlePaddle]

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## **损失函数** ##

总损失定义为：

![20200223075101492.png][]

*  yi为第i个训练样本的真实值
 *  h(xi)为第i个训练样本特征值组合预测函数
 *  又称最小二乘法

如何去减少这个损失，使我们预测的更加准确些？既然存在了这个损失，我们一直说机器学习有自动学习的功能，在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化（其实是数学当中的求导功能）回归的总损失！！！

## 2 优化算法 ##

**如何去求模型当中的W，使得损失最小？（目的是找到最小损失对应的W值）**

*  线性回归经常使用的两种优化算法
    
     *  正规方程
     *  梯度下降法

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### 2.1 正规方程 ###

2.1.1 什么是正规方程

![20200223075707409.png][]

> 理解：X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。直接求到最好的结果
> 
> 缺点：当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ppbWlhbzU1MjE0NzU3Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

### **2.1.2 正规方程求解举例** ###

以下表示数据为例：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ppbWlhbzU1MjE0NzU3Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

### **2.1.3 正规方程的推导** ###

*  ### **推导方式一：** ###

把该损失函数转换成矩阵写法：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ppbWlhbzU1MjE0NzU3Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

其中y是真实值矩阵，X是特征值矩阵，w是权重矩阵

对其求解关于w的最小值，起止y,X 均已知二次函数直接求导，导数为零的位置，即为最小值。

求导：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ppbWlhbzU1MjE0NzU3Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

![20200223075856982.png][]

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# 正规方程的另一种推导方式 #

## 1.损失表示方式 ##

总损失定义为：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ppbWlhbzU1MjE0NzU3Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

## 2.另一种推导方式 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ppbWlhbzU1MjE0NzU3Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]

> 补充：需要用到的矩阵求导公式：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ppbWlhbzU1MjE0NzU3Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70 6][]

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[Link 1]: http://www.rimengshe.com/
[AI_Keras PyTorch MXNet TensorFlow PaddlePaddle]: https://blog.csdn.net/zimiao552147572/article/details/88867161
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