详细总结组合排列的十余种算法实现

落日映苍穹つ 2023-07-04 06:28 32阅读 0赞

**目录**

•写在前面

•问题引入

•暴力枚举

循环枚举

递归枚举

回溯枚举

•深度优先搜索

前序遍历

中序遍历

后序遍历

•字典序

•二进制位运算

•带重复数字

•总结

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# •写在前面 #

排列组合的问题，如果没有合适的算法去解决，时间复杂度会相当的大，毕竟阶乘的时间复杂度不仅让人头大，也让他计算机欲罢不能，而且我们遇到排列组合的相关问题的概率相当的大，所以非常有必要掌握排列组合相关的算法，碰到很多问题，我们心里就有些底气了。我这里例举几种算法，其中想要特别强调二进制的相关解法，非常有趣。

# •问题引入 #

我们把实际问题抽象一下，就是从一个集合中取出任意元素，形成唯一的组合。如 \[a,b,c\] 可组合为 \[a\]、\[b\]、\[c\]、\[ab\]、\[bc\]、\[ac\]、\[abc\]。我们既然说的是排列组合，当然就有区分这个集合里面，是否存在重复的元素的问题，如 \[a,a,b,c\] 可组合为 \[a\]、\[b\]、\[c\]、\[ab\]、\[aa\]、\[bc\]、\[ac\]、\[abc\]、\[aab\]等等。针对是否存在重复的元素问题，我们自然需要不同的解决方案，不过有些方法思路存在共性，接下来我们以不同算法为基础，结合不同的问题进行讲解，完成思路的理解（我们的重点是思路，有了思路，实现代码的时候就简单多了）。这里我们抛出一个问题，即如下

给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。
    说明：解集不能包含重复的子集。
    
    输入: nums = [1,2,3]
    输出:
    [
      [3],
      [1],
      [2],
      [1,2,3],
      [1,3],
      [2,3],
      [1,2],
      []
    ]

我们先按照不含重复元素来进行思考，然后附上含重复元素的思路。

# •暴力枚举 #

对于这种排列组合的问题，首先想到的当然是穷举。由于排列的要求较少，实现更简单一些，如果我先找出所有排列，再剔除由于位置不同而重复的元素，即可实现需求。假设需要从 \[A B C D E\] 五个元素中取出所有组合，那么我们先找出所有元素的全排列，然后再将类似 \[A B\] 和 \[B A\] 两种集合去重即可。当然，我们可以在枚举的时候进行一些剪枝，即在枚举个过程中进行一些判断，也可以当做一种优化。总结就是，**逐个枚举，空集的幂集只有空集，每增加一个元素，让之前幂集中的每个集合，追加这个元素，就是新增的子集。**还是不知道啥意思？没关系，我么来看思路和代码实现，这里我们分为两种枚举方式。

## 循环枚举 ##

循环枚举的思路其实特别简单（暴力的思路就是人类的直觉，思路当然简单啦，哈哈哈），我们先创建结果集（res），然后往结果集里面添加一个空集，现在完成结果集的初始化之后（初始化的结果集中只有一个空集），我们开始在集合（nums）中开始循环遍历所有的元素，每次遍历一个元素，我们就把这个元素添加在当前结果集的每一个子集后，并形成新的子集，添加到结果集中，思路非常的简单暴力，代码吐下：

public static List<List<Integer>> enumerate(int[] nums) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
        res.add(new ArrayList<Integer>());
        for (Integer n : nums) {
            int size = res.size();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                List<Integer> newSub = new ArrayList<Integer>(res.get(i));
                newSub.add(n);
                res.add(newSub);
            }
        }
        return res;
    }

## 递归枚举 ##

递归枚举的总体思路和循环枚举一致，只不过我们的实现方式是使用递归，代码的变化其实就是把循环枚举里面的最外面那层遍历集合（nums）的循环，使用递归来代替，很简单的，看代码你就明白了。

public static void recursion(int[] nums, int i,
                                    List<List<Integer>> res) {
        if (i >= nums.length) return;
        int size = res.size();
        for (int j = 0; j < size; j++) {
            List<Integer> newSub = new ArrayList<Integer>(res.get(j));
            newSub.add(nums[i]);
            res.add(newSub);
        }
        recursion(nums, i + 1, res);
    }

## 回溯枚举 ##

回溯枚举就和上面的两种枚举思路有点不一样了，这种枚举思路就好像是我们人的思路，进行一个一个拼凑，只要符合我们子集的条件，就将这个子集添加进结果集，代码如下：

public static void backtrack(int[] nums, int i, List<Integer> sub, 
                                     List<List<Integer>> res) {
        for (int j = i; j < nums.length; j++) {
            if (j > i && nums[j] == nums[j - 1]) continue;
            sub.add(nums[j]);
            res.add(new ArrayList<Integer>(sub));
            backtrack(nums, j + 1, sub, res);
            sub.remove(sub.size() - 1);
        }
    }

# •深度优先搜索 #

集合中每个元素其实就两种状态，就是选和不选，我们通过这两种状态，可以构成了一个满二叉状态树，比如，左子树是不选，右子树是选，从根节点、到叶子节点的所有路径，构成了所有子集。可以有前序、中序、后序的不同写法，结果的顺序不一样。本质上，其实是比较完整的中序遍历。我这样光说，可能比较抽象，我这里通过画的一张中序遍历的图进行讲解，如下。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0RCQ18xMjE_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

## 前序遍历 ##

public static void preOrder(int[] nums, int i, 
                  ArrayList<Integer> subset, List<List<Integer>> res) {
        if (i >= nums.length) return;
        subset = new ArrayList<Integer>(subset);
    
        res.add(subset);
        preOrder(nums, i + 1, subset, res);
        subset.add(nums[i]);
        preOrder(nums, i + 1, subset, res);
    }

## 中序遍历 ##

public static void inOrder(int[] nums, int i, 
                  ArrayList<Integer> subset, List<List<Integer>> res) {
        if (i >= nums.length) return;
        subset = new ArrayList<Integer>(subset);
    
        inOrder(nums, i + 1, subset, res);
        subset.add(nums[i]);
        res.add(subset);
        inOrder(nums, i + 1, subset, res);
    }

## 后序遍历 ##

public static void postOrder(int[] nums, int i, 
             ArrayList<Integer> subset, List<List<Integer>> res) {
        if (i >= nums.length) return;
        subset = new ArrayList<Integer>(subset);
    
        postOrder(nums, i + 1, subset, res);
        subset.add(nums[i]);
        postOrder(nums, i + 1, subset, res);
        res.add(subset);
    }

# •字典序 #

如果你足够理解了前面的思路，其实你应该会发现前面本质思路可以分为两类，暴力、递归、回溯一类，以及深度优先搜索一类，分类的依据是什么呢？其实就是思考的角度不一样，前面的那一类，我们思考的对象是每个子集，我们对每个子集进行相关算法的实现，而深度优先搜索开始，我们将关注的点放在集合（nums）中的每个元素的状态，我们集合中的每个元素在子集中只有两个状态，也就是存在和不存在。现在我们将关注的点转到了元素的状态上，即01状态，上面的深度优先搜索的实现只是一个过渡，本质上和递归等效率差不了多少，因为01状态是二进制的天下，我们自然使用二进制来代替，效率很高。利用二进制的思想去解决这个问题，就很简单了，值得一提的是，我们在使用二进制思想解决问题的时候，并不一定说使用位运算，而这里要讲的字典序，就不适用位运算来实现二进制思路。为了更好的理解思路，我们暂时先将问题简化为：

给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。
    
    输入: n = 4, k = 2
    输出:
    [
      [2,4],
      [3,4],
      [2,3],
      [1,2],
      [1,3],
      [1,4],
    ]

算法其实非常的直观，不过有一个值得注意的是，我们在子集的最后需要放一个标志位（也就是所说的哨兵），在每次循环的时候，我们只要找到nums中的第一个满足 nums\[j\] + 1 != nums\[j + 1\]的元素，并将其加一nums\[j\]++ 以转到下一个组合。这种思想代替了位运算，完成了二进制的实现

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0RCQ18xMjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
      LinkedList<Integer> nums = new LinkedList<Integer>();
      for(int i = 1; i < k + 1; ++i)
        nums.add(i);
      nums.add(n + 1);
    
      List<List<Integer>> output = new ArrayList<List<Integer>>();
      int j = 0;
      while (j < k) {
        output.add(new LinkedList(nums.subList(0, k)));
        j = 0;
        while ((j < k) && (nums.get(j + 1) == nums.get(j) + 1))
          nums.set(j, j++ + 1);
        nums.set(j, nums.get(j) + 1);
      }
      return output;
    }

# •二进制位运算 #

很多算法都能通过位运算巧秒地解决，其优势主要有两点：一者位运算在计算机中执行效率超高，再者由于位运算语义简单，算法大多直指本质。组合算法也能通过位运算实现，而且代码实现之后，简直令人回味无穷。我们将问题回归到最开始的问题，现在我们假设，从 M 个元素中取任意个元素形成组合，组合内元素不能重复、元素位置无关。我们使用状态的思想，对于每个元素来说，要么被放进组合，要么不放进组合。每个元素都有这么两种状态。我们这里举个例子，如果从 5 个元素中任意取 N 个元素形成组合的话，用二进制位来表示每个元素是否被放到组合里，就是：

![20200210221933907.png][]

每种组合都可以拆解为 N 个二进制位的表达形式，而每个二进制组合同时代表着一个十进制数字，所以每个十进制数字都就能代表着一种组合。十进制数字的数目我们很简单就能算出来，从00000... 到 11111... 一共有种，排除掉全都不被放进组合这种可能，结果有几种。

public List<List<String>> combination(String[] m) {
        List<List<String>> result = new ArrayList<>();
        for (int i = 1; i < Math.pow(2, m.length) - 1; i++) {
            List<String> eligibleCollections = new ArrayList<>();
            for (int j = 0; j < m.length; j++) {
                if ((i & (int) Math.pow(2, j)) == Math.pow(2, j)) {
                    eligibleCollections.add(m[j]);
                }
            }
            result.add(eligibleCollections);
        }
        return result;
    }

当然，还想更秀操作一点，我们在第一和二层循环那里，使用位移运算，来完成与运算，本质是一样的，代码如下

当然，如果我们还有一种稍微绕一点点的二进制实现方式，就是数1的个数，这种思路有点绕，不过不管怎么样都还是二进制的一种实现方式，带着二进制的特色，我这里就大概的提一下数二进制中1的个数的实现方式，具体的问题解决代码，感兴趣的可以自己去实现以下，数二进制中1的个数的代码如下，想要关于数二进制的个数的其他算法，可以看我另一篇文章

int BitCount1(unsigned int n)
    {
        unsigned int c =0 ; // 计数器
        for (c =0; n; n >>=1) // 循环移位
            c += n &1 ; // 如果当前位是1，则计数器加1
        return c ;
    }

# •带重复数字 #

我们在集合中带有重复数字，这样的集合和不带重复数字有什么区别呢？我们按照这个思路，其实可以使用不重复数字的求解方式，在求解带重复数字集合的过程中，进行去重即可。有了这种思路，我们去设计算法其实就不难了，在暴力、递归、回溯、深搜的方法中，我们很容易的将算法进行改进，我在这里就不多提了，这里要说的是二进制的算法改进。你仔细想一下我们怎么样才能在二进制的算法中进行相应的去重，这其实不容易想到的。

我们来假设nums中有\[1,2,3\]，那么它的结果集以及对应的二进制形如下面这这样

1 2 3
    0 0 0 -> [     ]
    0 0 1 -> [    3]
    0 1 0 -> [  2  ]   
    0 1 1 -> [  2 3]  
    1 0 0 -> [1    ]
    1 0 1 -> [1   3] 
    1 1 0 -> [1 2  ]
    1 1 1 -> [1 2 3]

但是如果有了重复数字，很明显就行不通了。例如对于 nums = \[ 1 2 2 2 3 \]。

1 2 2 2 3
    0 1 1 0 0  -> [  2 2  ]
    0 1 0 1 0  -> [  2 2  ]
    0 0 1 1 0  -> [  2 2  ]

上边三个数产生的数组重复的了。三个中我们只取其中 1 个，取哪个呢？我们仔细想一下应该好想到，就是我们只要去重复数字的开头的序列就可以了，比如重复了三个2，那么我们只要分别取一个2开头即“2”，两个2开头即“22”以及三个2开头即“222”就可以了，这样就可以避免重复，更形象的解释，我们举个五个2的例子，然后例举出他们不重复的序列，像下面这样

2 2 2 2 2 
    1 0 0 0 0 -> [  2         ]
    1 1 0 0 0 -> [  2 2       ]
    1 1 1 0 0 -> [  2 2 2     ]
    1 1 1 1 0 -> [  2 2 2 2   ]
    1 1 1 1 1 -> [  2 2 2 2 2 ]

那么这个时候，我们就可以将问题转成，我们怎么去取不同个数的2在一起，其实仔细思考也不难理解，我们只要对二进制稍微研究一下就知道了，我们先拿两个2来举例子，在五位二进制中，有两个2开头的二进制序列有哪些？

2 2 2 2 2 
    1 1 0 0 0 -> [  2 2       ]
    1 0 1 0 0 -> [  2 2       ]
    0 1 1 0 0 -> [  2 2       ]
    0 1 0 1 0 -> [  2 2       ]
    0 0 0 1 1 -> [  2 2       ]

上面所有两个2的情况，我们只需要去其中一种，那么我们应该取哪种？怎么取呢？这个时候我们观察一下他们是否存在不同点，而且其中存在一个和其他情况都不同的形式，我们来看一下出现了重复数字，并且当前是 1 的前一个的二进位。

对于 1 1 0 0 0 ，是 1。
    
    对于 1 0 1 0 0 , 是 0。
    
    对于 0 1 1 0 0 ，是 0。
    
    对于 0 1 0 1 0 ，是 0。
    
    对于 0 0 0 1 1 ，是 0。

可以看到只有第一种情况对应的是 1 ，其他情况都是 0。其实除去从开头是连续的 1 的话，就是两种情况。第一种就是，占据了开头，类似于这种 10...1....。第二种就是，没有占据开头，类似于这种 0...1...。这两种情况，除了第一位，其他位的 1 的前边一定是 0。所以的话，我们的条件是看出现了重复数字，并且当前位是 1 的前一个的二进位。有了这种思路，我们只需要在不重复的代码中，进行一个判断就可以了，代码如下

public static List<List<Integer>> binaryBit(int[] nums) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
        for (int i = 0; i < (1 << nums.length); i++) {
            List<Integer> sub = new ArrayList<Integer>();
            boolean illegal=false;
            for (int j = 0; j < nums.length; j++)
                if (((i >> j) & 1) == 1) {
                    if(j>0&&nums[j]==nums[j-1]&&(i>>(j-1)&1)==0){
                        illegal=true;
                        break;
                    }else{
                        sub.add(nums[j]);
                    }
                }
            if(!illegal){
                res.add(sub);
            }
        }
        return res;
    }

# •总结 #

二进制是真的很美妙，我们的很多问题都可以通过二进制来解决，所以我们需要慢慢适应并融入二进制的世界，思考问题的角度和 思路也将变得更加开阔。

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