HDU2044-2050~递推求解专题

阳光穿透心脏的1/2处 2023-07-01 14:58 105阅读 0赞

# HDU2044 一只小蜜蜂… #

### 问题描述 ###

有一只经过训练的蜜蜂只能爬向右侧相邻的蜂房，不能反向爬行。请编程计算蜜蜂从蜂房a爬到蜂房b的可能路线数。  
其中，蜂房的结构如下所示。  
![在这里插入图片描述][format_png]

### 输入 ###

输入数据的第一行是一个整数N,表示测试实例的个数，然后是N 行数据，每行包含两个整数a和b(0<a<b<50)。

### 输出 ###

对于每个测试实例，请输出蜜蜂从蜂房a爬到蜂房b的可能路线数，每个实例的输出占一行。

### 样例输入 ###

2  
1 2  
3 6

### 样例输出 ###

1  
3

### 问题分析 ###

我们先取一个房间看，例如房间9，如果蜜蜂想要到达房间9，必然要从房间8.7到达，除此之外，别无他法，设到房间  i i i 的的路径条数是  F ( i ) F(i) F(i)，那么到房间9的路劲条数就是  F ( 9 ) = F ( 8 ) + F ( 7 ) F(9) = F(8) + F(7) F(9)=F(8)\+F(7)，我们可以观察到除了房间1，2，所有房间的路劲数均满足  
 F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) F(n) = F(n-1)+F(n-2) F(n)=F(n−1)\+F(n−2)递推式。

### 代码 ###

#include <iostream>
    #include <cstring>
    
    using namespace std;
    
    long long int map[55];
    
    int main()
    {
        
        int t, a, b;
        cin >> t;
        while (t--)
        {
        
            memset(map, 0, sizeof(map));
            cin >> a >> b;
            map[a] = 1; map[a + 1] = 1;
            for (int i = a + 2; i <= b; i++) map[i] = map[i - 1] + map[i - 2];
            cout << map[b] << endl;
        }
    }

# HDU2045 不容易系列之(3)—— LELE的RPG难题 #

### 问题描述 ###

人称“AC女之杀手”的超级偶像LELE最近忽然玩起了深沉，这可急坏了众多“Cole”（LELE的粉丝,即"可乐"）,经过多方打探，某资深Cole终于知道了原因，原来，LELE最近研究起了著名的RPG难题:

有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法.

以上就是著名的RPG难题.

如果你是Cole,我想你一定会想尽办法帮助LELE解决这个问题的;如果不是,看在众多漂亮的痛不欲生的Cole女的面子上,你也不会袖手旁观吧?

### 输入 ###

输入数据包含多个测试实例,每个测试实例占一行,由一个整数N组成，(0<n<=50)。

### 输出 ###

对于每个测试实例，请输出全部的满足要求的涂法，每个实例的输出占一行。

### 样例输入 ###

1  
2

### 样例输出 ###

3  
6

### 问题分析 ###

假设我们现在知道了 0 至 \[ n − 1 \] 0 至 \[n-1\] 0至\[n−1\]个格子的方案数 F ( 0 ) 至 F ( n − 1 ) F(0)至F(n-1) F(0)至F(n−1)，现在考虑要加一个格子放到n-1个格子的末尾，

1.  前n-1个盒子满足要求的情况下，首尾颜色不一样。那么我们加的格子颜色只有一种可能性，这一个方案的个数是 F ( n − 1 ) F(n-1) F(n−1)
2.  当前n-1个盒子不满足要求，前n-2个盒子满足要求的情况下，那么首尾格子颜色相同，我们只需要加的第n个盒子，不是首尾的颜色即可，那么方案数是 F ( n − 2 ) ∗ 2 F(n-2)\*2 F(n−2)∗2，

即 F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) ∗ 2 F(n)=F(n-1)+F(n-2)\*2 F(n)=F(n−1)\+F(n−2)∗2

### 代码 ###

#include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    typedef long long ll;
    
    ll s[52];
    
    int main()
    {
        
        s[1] = 3;
        s[2] = 6;
        s[3] = 6;
        for (int i = 4; i <= 50; i++){
        
            s[i] = s[i - 1] + (s[i - 2] << 1);
        }
        int n;
        while (~scanf("%d", &n) && n)
        {
        
            cout << s[n] << endl;
        }
    }

# HDU2046 骨牌铺方格 #

### 问题描述 ###

在2×n的一个长方形方格中,用一个1× 2的骨牌铺满方格,输入n ,输出铺放方案的总数.  
例如n=3时,为2× 3方格，骨牌的铺放方案有三种,如下图：  
![在这里插入图片描述][format_png 1]

### 输入 ###

输入数据由多行组成，每行包含一个整数n,表示该测试实例的长方形方格的规格是2×n (0<n<=50)。

### 输出 ###

对于每个测试实例，请输出铺放方案的总数，每个实例的输出占一行。

### 样例输入 ###

1  
3  
2

### 样例输出 ###

1  
3  
2

### 问题分析 ###

假设现在已知前n-1个的方案数为 F ( 0 ) 至 F ( n − 1 ) F(0)至F(n-1) F(0)至F(n−1)，

1.  假设我们单独的加上第n列，如图：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMjg1MDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
    那么第n个只有一种放置方法，只能竖着放，那么方案数为 F ( n − 1 ) F(n-1) F(n−1)
2.  不难发现，直接加上第n列的情况少了一种放置方案，如图：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMjg1MDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
    此时，很容易观察到方案数为 F ( n − 2 ) F(n-2) F(n−2)

那么， F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) F(n)=F(n-1)+F(n-2) F(n)=F(n−1)\+F(n−2)

### 代码 ###

#include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    typedef long long ll;
    
    ll s[52];
    
    int main()
    {
        
        s[1] = 1;
        s[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= 50; i++){
        
            s[i] = s[i - 1] + s[i - 2];
        }
        int n;
        while (~scanf("%d", &n) && n)
        {
        
            cout << s[n] << endl;
        }
    }

# HDU2047 阿牛的EOF牛肉串 #

### 问题描述 ###

今年的ACM暑期集训队一共有18人，分为6支队伍。其中有一个叫做EOF的队伍，由04级的阿牛、XC以及05级的COY组成。在共同的集训生活中，大家建立了深厚的友谊，阿牛准备做点什么来纪念这段激情燃烧的岁月，想了一想，阿牛从家里拿来了一块上等的牛肉干，准备在上面刻下一个长度为n的只由"E" “O” "F"三种字符组成的字符串（可以只有其中一种或两种字符，但绝对不能有其他字符）,阿牛同时禁止在串中出现O相邻的情况，他认为，"OO"看起来就像发怒的眼睛，效果不好。

你，NEW ACMer,EOF的崇拜者，能帮阿牛算一下一共有多少种满足要求的不同的字符串吗？

PS: 阿牛还有一个小秘密，就是准备把这个刻有 EOF的牛肉干，作为神秘礼物献给杭电五十周年校庆，可以想象，当校长接过这块牛肉干的时候该有多高兴！这里，请允许我代表杭电的ACMer向阿牛表示感谢！

再次感谢！

### 输入 ###

输入数据包含多个测试实例,每个测试实例占一行,由一个整数n组成，(0<n<40)。

### 输出 ###

对于每个测试实例，请输出全部的满足要求的涂法，每个实例的输出占一行。

### 样例输入 ###

1  
2

### 样例输出 ###

3  
8

### 问题分析 ###

假设现在已知前n-1个的方案数为 F ( 0 ) 至 F ( n − 1 ) F(0)至F(n-1) F(0)至F(n−1)，现在我们考虑从第n个位置加入’E’,‘O’,‘F’

1.  如果加入的是‘E’，‘F’，那么无论第n-1个是什么都可以直接加入，方案数是 2 ∗ F ( n − 1 ) 2\*F(n-1) 2∗F(n−1)
2.  如果加入的是‘O’，那么第n-1必须是‘E’,‘F’，而前n-2个没有限制，所以方案数是 2 ∗ F ( n − 2 ) 2\*F(n-2) 2∗F(n−2)

所以 F ( n ) = F ( n − 2 ) ∗ 2 + F ( n − 1 ) ∗ 2 F(n)=F(n-2)\*2+F(n-1)\*2 F(n)=F(n−2)∗2\+F(n−1)∗2

### 代码 ###

#include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    typedef long long ll;
    
    ll f[42];
    
    int main()
    {
        
    	f[1] = 3;
    	f[2] = 8;
    	for (int i = 3; i < 40; i++) {
        
    		f[i] = f[i - 1] * 2 + f[i - 2] * 2;
    	}
    	int n;
    	while (~scanf("%d", &n)){
        
    		cout << f[n] << endl;
    	}
    	return 0;
    }

# HDU2048 神、上帝以及老天爷 #

### 问题描述 ###

HDU 2006’10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了！  
为了活跃气氛，组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动，这个活动的具体要求是这样的：

首先，所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；  
然后，待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；  
最后，如果取得的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”

大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖！

我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢？

不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？

不会算？难道你也想以悲剧结尾？！

### 输入 ###

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(1<n<=20),表示参加抽奖的人数。

### 输出 ###

对于每个测试实例，请输出发生这种情况的百分比，每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数(四舍五入)，具体格式请参照sample output。

### 样例输入 ###

1  
2

### 样例输出 ###

50.00%

### 问题分析 ###

全错的概率 = 全错数 / 全部可能的情况。  
全部情况就是N的阶乘。  
全错数：

1.  将第N个数放在k位置，有n-1种。
2.  将第k个位置的数拿出来考虑，如果第k个数放在第N个位置，则剩下就是n-2个数全部排错情况；  
    如果第k个数不是放在第N个位置，则就是n-1个数全部排错情况。

因此全错数就是 F ( n ) = ( n − 1 ) ∗ ( F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) ) F(n) = (n-1)\*(F(n-1) + F(n-2)) F(n)=(n−1)∗(F(n−1)\+F(n−2))

### 代码 ###

#include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    typedef long long ll;
    
    ll error[22];
    
    ll fac(int n){
        
        return n > 1 ? fac(n - 1) * n : 1;
    }
    
    double cul(int n){
        
        return error[n] * 1.0 / fac(n);
    }
    
    int main()
    {
        
        error[1] = 0;
        error[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= 20; i++) error[i] = (i - 1) * (error[i - 1] + error[i - 2]);
        int t, n;
        cin >> t;
        while (t--){
        
            cin >> n;
            printf("%.2lf%%\n", cul(n) * 100);
        }
    }

# HDU2049 不容易系列之(4)——考新郎 #

### 问题描述 ###

国庆期间,省城HZ刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的:  
![在这里插入图片描述][aHR0cDovL2FjbS5oZHUuZWR1LmNuL2RhdGEvaW1hZ2VzL0M0MC0xMDA3LTEuZ2lm]  
首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排;  
然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个.  
最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板…

看来做新郎也不是容易的事情…

假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.

### 输入 ###

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C行数据，每行包含两个整数N和M(1<M<=N<=20)。

### 输出 ###

对于每个测试实例，请输出一共有多少种发生这种情况的可能，每个实例的输出占一行。

### 样例输入 ###

2  
2 2  
3 2

### 样例输出 ###

1  
3

### 问题描述 ###

这个问题和上一个问题有异曲同工之妙，上一个是n个全错，这一个是错m个，其实就想当于先从n个中选出m个，这m个全错。  
全错数：

1.  将第M个数放在k位置，有M-1种。
2.  将第k个位置的数拿出来考虑，如果第k个数放在第M个位置，则剩下就是n-2个数全部排错情况；  
    如果第k个数不是放在第M个位置，则就是n-1个数全部排错情况。

### 代码 ###

#include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    typedef long long ll;
    
    ll f[22];
    
    ll fac(int n){
        
    	return n > 1 ? fac(n - 1) * n : 1;
    }
    
    ll C(int n, int m){
        
    	return fac(n) / (fac(m) * fac(n - m));
    }
    
    
    int main()
    {
        
    	f[1] = 0;
    	f[2] = 1;
    	for (int i = 3; i <= 20; i++) f[i] = (i - 1) * (f[i - 1] + f[i - 2]);
    	int n, m, t;
    	cin >> t;
    	while (t--){
        
    		cin >> n >> m;
    		cout << C(n, m) * f[m] << endl;
    	}
    	return 0;
    }

# HDU2050 折线分割平面 #

### 问题描述 ###

我们看到过很多直线分割平面的题目，今天的这个题目稍微有些变化，我们要求的是n条折线分割平面的最大数目。比如，一条折线可以将平面分成两部分，两条折线最多可以将平面分成7部分，具体如下所示。  
![在这里插入图片描述][format_png 2]

### 输入 ###

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(0<n<=10000),表示折线的数量。

### 输出 ###

对于每个测试实例，请输出平面的最大分割数，每个实例的输出占一行。

### 样例输入 ###

2  
1  
2

### 样例输出 ###

2  
7

### 问题分析 ###

参考[博客][Link 1]  
![在这里插入图片描述][70]  
对于第n-1条折线，它把空间划分的区域为f(n-1),为了让增加的区域更多，新增的折线要和之前的n-1条折线的2\*(n-1)条边都相交，产生4\*(n-1)条新的线段（图中黄蓝），每条线段或射线(绿)产生一个新区域，但是折线的头（黄色）的两线段一共只能产生一个区域，所以新增区域的数量为4\*(n-1) -1+2 即 4\*(n-1) +1 ；  
所以有递推公式：  
 f ( n ) = f ( n − 1 ) + 4 ( n − 1 ) + 1 = f ( n − 2 ) + 4 ( n − 2 ) + 4 ( n − 1 ) + 2 = . . . = f ( 1 ) + 4 ( 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . + n − 1 ) + n − 1 = 2 n 2 − n + 1 f(n)=f(n-1)+4(n-1) + 1=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2=...=f(1) +4(1+2+3+4+....+n-1)+n-1=2n^2-n+1 f(n)=f(n−1)\+4(n−1)\+1=f(n−2)\+4(n−2)\+4(n−1)\+2=...=f(1)\+4(1\+2\+3\+4\+....\+n−1)\+n−1=2n2−n\+1

### 代码 ###

#include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    typedef long long ll;
    
    ll f[10005];
    
    int main()
    {
        
    	f[1] = 2;
    	for (int i = 2; i <= 10000; i++) f[i] = f[i - 1] + ((i - 1) << 2) + 1;
    	int t;
    	int n;
    	cin >> t;
    	while (t--){
        
    		cin >> n;
    		cout << f[n] << endl;
    	}
    }

[format_png]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cDovL2FjbS5oZHUuZWR1LmNuL2RhdGEvaW1hZ2VzL0M0MC0xMDAxLTEuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 1]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cDovL2FjbS5oZHUuZWR1LmNuL2RhdGEvaW1hZ2VzL0M0MC0xMDAzLTEuanBn?x-oss-process=image/format,png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMjg1MDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200123130812153.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMjg1MDM2,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMjg1MDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200123131227928.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMjg1MDM2,size_16,color_FFFFFF,t_70
[aHR0cDovL2FjbS5oZHUuZWR1LmNuL2RhdGEvaW1hZ2VzL0M0MC0xMDA3LTEuZ2lm]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cDovL2FjbS5oZHUuZWR1LmNuL2RhdGEvaW1hZ2VzL0M0MC0xMDA3LTEuZ2lm
[format_png 2]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cDovL2FjbS5oZHUuZWR1LmNuL2RhdGEvaW1hZ2VzL0M0MC0xMDA4LTEuanBn?x-oss-process=image/format,png
[Link 1]: https://blog.csdn.net/qq_40922859/article/details/81452148
[70]: https://img-blog.csdn.net/20180806121540662?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwOTIyODU5/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70