考研数学重要知识点整理

谁借莪１个温暖的怀抱￠ 2023-06-25 10:17 53阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  数学常用知识点
 *   *  基础
     *   *  数列求和
         *   *  等比数列
         *  三角函数
         *  因数分解
         *  泰勒公式
         *   *   Γ Γ Γ函数
             *  其他
     *  极限
     *   *  性质
         *   *  极限存在性质
             *   *  单调有界数列必存在极限
             *  两个重要极限
             *  左右极限
             *  斜渐近线
             *  其他
     *  微分
     *   *  求导公式
         *   *  三角
             *  反三角
         *  多元函数极值
         *   *  无条件极值
             *  条件极值
         *  方向导数
         *   *  方向导数的最大值为梯度的模: u x ′ 2 + u y ′ 2 + u z ′ 2 \\sqrt\{ \{u'\_x\}^2+\{u'\_y\}^2+\{u'\_z\}^2\} ux′2\+uy′2\+uz′2
         *  隐函数存在定理
         *  微分方程
         *   *  一阶非齐次
             *  不含x型
             *  伯努利方程
             *  物理应用
             *   *  变化率
                 *  牛顿第二定律
             *  欧拉方程
             *   *  Def
                 *  解法
     *  积分
     *   *  积分公式
         *   *  三角
             *  平方和差
             *  三角代换
         *  积分中值定理
         *   *  推广
         *  广义积分
         *   *  区间无限
             *   *  判别法
             *  区间有限
             *   *  判别法
         *  曲线积分
         *   *  第一型
             *   *  空间
                 *  平面
             *  第二型
             *   *  平面
                 *  曲线积分与路径无关理论
                 *  空间
         *  曲面积分
         *   *  第一型
             *  第二型
             *   *  直接计算
                 *  高斯公式
         *  应用
     *  无穷级数
     *   *  常数项级数
         *   *  p级数
             *  几何级数
             *  正项级数积分审敛法
             *  交错级数审敛法
         *  公式
         *   *  麦克劳林级数
             *   f ( x ) f(x) f(x)的泰勒级数
             *  其他
         *  傅里叶级数
         *   *   T = 2 π T=2\\pi T=2π
             *   *  狄利克雷充分条件
             *   x ∈ \[ − π , π \] x\\in \[-\\pi,\\pi\] x∈\[−π,π\]
             *   x ∈ \[ 0 , π \] x \\in \[0,\\pi\] x∈\[0,π\]
             *   *  展成余弦级数
                 *  展成正弦级数
             *   T = 2 l T=2l T=2l
             *   *  狄利克雷充分条件
             *   x ∈ \[ − l , l \] x \\in \[-l,l\] x∈\[−l,l\]
             *   x ∈ \[ 0 , l \] x \\in \[0,l\] x∈\[0,l\]
             *   *  展成余弦级数
                 *  展成正弦级数
     *  应用
     *   *  距离公式
         *   *  点到平面
             *  点到直线
             *  平行平面
             *  异面直线
         *  曲率
         *  散度与旋度
         *   *  散度
             *  旋度
         *  转动惯量
         *   *  平面
             *  空间
             *  曲线
             *  曲面
         *  引力
         *   *  平面
             *  空间
             *  曲线
     *  线性代数
     *   *  常见重要结论
         *  初等矩阵变换
         *   *  性质
         *  常见行列式
         *  矩阵秩性质
         *  特征值特征向量
         *   *  重要性质
         *  相似和合同
         *   *  相似
             *   *  Notes
             *  合同
             *   *  标准化
                 *  合同判断
             *  正交化过程
             *   *  正交化
                 *  规范化
             *  等价、相似、合同关系区分
             *   *  等价（秩相等）
                 *  相似（特征值相等,特征值对应的特征向量重数相等）
                 *  合同（秩相等，正负惯性指数相等）
     *  概率论
     *   *  基本公式
         *  常见分布
         *   *  性质
         *  切比雪夫
     *  数理统计
     *   *  三大分布
         *   *   t t t分布
             *   *  性质
             *   F F F分布
             *   *  性质
         *  协方差性质
         *  矩估计
         *  无偏估计
         *  最大似然估计
         *  区间估计
         *   *   μ \\mu μ的区间估计
             *   *   σ \\sigma σ已知
                 *   σ \\sigma σ未知
             *   σ 2 \\sigma^2 σ2的区间估计
             *   *   μ \\mu μ已知
                 *  $\\mu $未知
         *  假设检验
         *   *  对 μ \\mu μ进行假设检验
             *  对 σ 2 \\sigma^2 σ2进行假设检验

# 数学常用知识点 #

## 基础 ##

### 数列求和 ###

#### 等比数列 ####

a n = a 1 r n − 1 ⇒ S n = \{ n a 1 , r = 1 a 1 ( 1 − r n ) 1 − r a\_n=a\_1r^\{n-1\}⇒S\_n=\\begin\{cases\} na\_1,r=1\\\\\\frac\{a\_1(1-r^n)\}\{1-r\} \\end\{cases\} an=a1rn−1⇒Sn=\{ na1,r=11−ra1(1−rn)

### 三角函数 ###

sin ⁡ 2 α = 1 2 ( 1 − cos ⁡ 2 α ) cos ⁡ 2 α = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 α ) sin ⁡ θ + cos ⁡ θ = 2 cos ⁡ ( θ − π 4 ) = 2 sin ⁡ ( θ + π 4 ) cos ⁡ ( α ± β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β ∓ sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ ( α ± β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β ± cos ⁡ α sin ⁡ β \\begin\{aligned\} \\sin ^\{2\} \\alpha&=\\frac\{1\}\{2\}(1-\\cos 2 \\alpha)\\\\ \\cos ^\{2\} \\alpha&=\\frac\{1\}\{2\}(1+\\cos 2 \\alpha)\\\\ \\sin \\theta+\\cos \\theta&=\\sqrt\{2\} \\cos \\left(\\theta-\\frac\{\\pi\}\{4\}\\right)=\\sqrt\{2\} \\sin \\left(\\theta+\\frac\{\\pi\}\{4\}\\right)\\\\ \\cos (\\alpha \\pm \\beta)&=\\cos \\alpha \\cos \\beta \\mp \\sin \\alpha \\sin \\beta\\\\ \\sin (\\alpha \\pm \\beta)&=\\sin \\alpha \\cos \\beta \\pm \\cos \\alpha \\sin \\beta \\end\{aligned\} sin2αcos2αsinθ\+cosθcos(α±β)sin(α±β)=21(1−cos2α)=21(1\+cos2α)=2cos(θ−4π)=2sin(θ\+4π)=cosαcosβ∓sinαsinβ=sinαcosβ±cosαsinβ

### 因数分解 ###

a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + ⋯ + a b n − 2 + b n − 1 ) \\begin\{aligned\} a^\{3\}+b^\{3\}&=(a+b)\\left(a^\{2\}-a b+b^\{2\}\\right)\\\\ a^\{3\}-b^\{3\}&=(a-b)\\left(a^\{2\}+a b+b^\{2\}\\right)\\\\ a^\{n\}-b^\{n\}&=(a-b)\\left(a^\{n-1\}+a^\{n-2\} b+\\cdots+a b^\{n-2\}+b^\{n-1\}\\right) \\end\{aligned\} a3\+b3a3−b3an−bn=(a\+b)(a2−ab\+b2)=(a−b)(a2\+ab\+b2)=(a−b)(an−1\+an−2b\+⋯\+abn−2\+bn−1)  
 \{ a n − b n = ( a + b ) ( a n − 1 − a n − 2 b + ⋯ + a b n − 2 − b n − 1 ) , n 为 正 奇 数 a n + b n = ( a + b ) ( a n − 1 − a n − 2 b + ⋯ − a b n − 2 + b n − 1 ) , n 为 正 偶 数 \\begin\{cases\} a^\{n\}-b^\{n\}=(a+b)\\left(a^\{n-1\}-a^\{n-2\} b+\\cdots+a b^\{n-2\}-b^\{n-1\}\\right),&n为正奇数 \\\\ a^\{n\}+b^\{n\}=(a+b)\\left(a^\{n-1\}-a^\{n-2\} b+\\cdots-a b^\{n-2\}+b^\{n-1\}\\right),&n为正偶数 \\end\{cases\} \{ an−bn=(a\+b)(an−1−an−2b\+⋯\+abn−2−bn−1),an\+bn=(a\+b)(an−1−an−2b\+⋯−abn−2\+bn−1),n为正奇数n为正偶数

### 泰勒公式 ###

sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + o ( x 3 ) arcsin ⁡ x = x + x 3 3 ! + o ( x 3 ) tan ⁡ x = x + x 3 3 + o ( x 3 ) arctan ⁡ x = x − x 3 3 + o ( x 3 ) cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! + o ( x 4 ) ln ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 + o ( x 3 ) e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + o ( x 3 ) = ∑ n = 0 ∞ x n n ! ( 1 + x ) α = 1 + α x + a ( a − 1 ) 2 ! x 2 + o ( x 2 ) \\begin\{aligned\} \\sin x&=x-\\frac\{x^\{3\}\}\{3 !\}+o\\left(x^\{3\}\\right)\\\\ \\arcsin x&=x+\\frac\{x^\{3\}\}\{3 !\}+o\\left(x^\{3\}\\right)\\\\ \\tan x&=x+\\frac\{x^\{3\}\}\{3\}+o\\left(x^\{3\}\\right)\\\\ \\arctan x&=x-\\frac\{x^\{3\}\}\{3\}+o\\left(x^\{3\}\\right)\\\\ \\cos x&=1-\\frac\{x^\{2\}\}\{2!\}+\\frac\{x^\{4\}\}\{4!\}+o\\left(x^\{4\}\\right)\\\\ \\ln (1+x)&=x-\\frac\{x^\{2\}\}\{2\}+\\frac\{x^\{3\}\}\{3\}+o\\left(x^\{3\}\\right)\\\\ e^\{x\}&=1+x+\\frac\{x^\{2\}\}\{2 !\}+\\frac\{x^\{3\}\}\{3 !\}+o\\left(x^\{3\}\\right)=\\sum\_\{n=0\}^\{\\infty\} \\frac\{x^\{n\}\}\{n !\}\\\\ (1+x)^\{\\alpha\}&=1+\\alpha x+\\frac\{a(a-1)\}\{2 !\} x^\{2\}+o\\left(x^\{2\}\\right) \\end\{aligned\} sinxarcsinxtanxarctanxcosxln(1\+x)ex(1\+x)α=x−3!x3\+o(x3)=x\+3!x3\+o(x3)=x\+3x3\+o(x3)=x−3x3\+o(x3)=1−2!x2\+4!x4\+o(x4)=x−2x2\+3x3\+o(x3)=1\+x\+2!x2\+3!x3\+o(x3)=n=0∑∞n!xn=1\+αx\+2!a(a−1)x2\+o(x2)

####  Γ Γ Γ函数 ####

Γ ( α ) ≜ ∫ 0 + ∞ x α − 1 e − x d x ⇒ \{ Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) Γ ( n + 1 ) = n ! Γ ( 1 2 ) = π \\Gamma(\\alpha) \\triangleq \\int\_\{0\}^\{+\\infty\} x^\{\\alpha-1\} e^\{-x\} \\mathrm\{d\} x \\Rightarrow\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{\\Gamma(\\alpha+1)=\\alpha \\Gamma(\\alpha)\} \\\\ \{\\Gamma(n+1)=n !\} \\\\ \{\\Gamma\\left(\\frac\{1\}\{2\}\\right)=\\sqrt\{\\pi\}\}\\end\{array\}\\right. Γ(α)≜∫0\+∞xα−1e−xdx⇒⎩⎨⎧Γ(α\+1)=αΓ(α)Γ(n\+1)=n!Γ(21)=π

#### 其他 ####

∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x = ∫ 0 π 2 cos ⁡ n x d x = \{ n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋯ ⋅ 2 3 ⋅ 1 ， n 为 奇 数 且 大 于 1 n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋯ ⋅ 1 2 ⋅ π 2 ， n 为 正 偶 数 \\int\_\{0\}^\{\\frac\{\\pi\}\{2\}\} \\sin ^\{n\} x \\mathrm\{d\} x=\\int\_\{0\}^\{\\frac\{\\pi\}\{2\}\} \\cos ^\{n\} x \\mathrm\{d\} x=\\left\\\{\\begin\{array\}\{ll\}\{\\frac\{n-1\}\{n\} \} \{\\cdot \\frac\{n-3\}\{n-2\} \\cdots \\cdot \\frac\{2\}\{3\} \\cdot 1\}， & n为奇数且大于1\\\\ \{\\frac\{n-1\}\{n\}\} \{\\cdot \\frac\{n-3\}\{n-2\} \\cdots \\cdot \\frac\{1\}\{2\} \\cdot \\frac\{\\pi\}\{2\}\}，&n为正偶数\\end\{array\}\\right. ∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx=\{ nn−1⋅n−2n−3⋯⋅32⋅1，nn−1⋅n−2n−3⋯⋅21⋅2π，n为奇数且大于1n为正偶数

## 极限 ##

### 性质 ###

#### 极限存在性质 ####

##### 单调有界数列必存在极限 #####

1.   \{ a n \} ↗ ， 有 上 界 \\\{a\_n\\\}↗，有上界 \{ an\}↗，有上界
2.   \{ a n \} ↘ ， 有 下 界 \\\{a\_n\\\}↘，有下界 \{ an\}↘，有下界

#### 两个重要极限 ####

lim ⁡ Δ → 0 sin ⁡ Δ Δ = 1 (1) \\lim \_ \{ \\Delta \\rightarrow 0 \} \\frac \{ \\sin \\Delta \} \{ \\Delta \} = 1 \\tag\{1\} Δ→0limΔsinΔ=1(1)  
 lim ⁡ Δ → 0 ( 1 + △ ) 1 Δ = e (2) \\lim \_ \{ \\Delta \\rightarrow 0 \} ( 1 + \\triangle ) ^ \{ \\frac \{ 1 \} \{ \\Delta \} \} = e \\tag\{2\} Δ→0lim(1\+△)Δ1=e(2)

#### 左右极限 ####

a Δ x − b 或 a Δ b − x , x → b 时 考 虑 左 右 极 限 a^\\frac \{ \\Delta \} \{ x - b \}或a^\\frac \{ \\Delta \} \{ b-x \}, x → b时考虑左右极限 ax−bΔ或ab−xΔ,x→b时考虑左右极限

#### 斜渐近线 ####

lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) x = lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) x = k lim ⁡ x → + ∞ \[ f ( x ) − k x \] = lim ⁡ x → + ∞ \[ f ( x ) − k x \] = b ⇒ y = k x + b \\begin\{aligned\} \\lim \_ \{ x \\rightarrow + \\infty \} \\frac \{ f ( x ) \} \{x\}&=\\lim \_ \{ x \\rightarrow - \\infty \} \\frac \{ f ( x ) \} \{ x \} = k\\\\ \\lim \_ \{ x \\rightarrow + \\infty \} \[ f ( x ) - k x \] &= \\lim \_ \{ x \\rightarrow + \\infty \} \[ f ( x ) - k x \] = b \\Rightarrow y = k x + b \\end\{aligned\} x→\+∞limxf(x)x→\+∞lim\[f(x)−kx\]=x→−∞limxf(x)=k=x→\+∞lim\[f(x)−kx\]=b⇒y=kx\+b

#### 其他 ####

0 < x < π 2 ⇒ sin ⁡ x < x < tan ⁡ x 0 < x < \\frac \{ \\pi \} \{ 2 \} \\Rightarrow \\sin x < x < \\tan x 0<x<2π⇒sinx<x<tanx

## 微分 ##

### 求导公式 ###

#### 三角 ####

( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x = 1 cos ⁡ 2 x ( cot ⁡ x ) ′ = csc ⁡ 2 x = 1 sin ⁡ 2 x ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x \\begin\{aligned\} (\\tan x)^\{\\prime\}&=\\sec ^\{2\} x=\\frac\{1\}\{\\cos ^\{2\} x\}\\\\ (\\cot x)^\{\\prime\}&=\\csc ^\{2\} x=\\frac\{1\}\{\\sin ^\{2\} x\}\\\\ (\\sec x)^\{\\prime\}&=\\sec x \\tan x\\\\ (\\csc x)^\{\\prime\}&=-\\csc x \\cot x \\end\{aligned\} (tanx)′(cotx)′(secx)′(cscx)′=sec2x=cos2x1=csc2x=sin2x1=secxtanx=−cscxcotx

#### 反三角 ####

( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 ( arccot ⁡ x ) ′ = − 1 1 + x 2 \\begin\{aligned\} (\\arcsin x)^\{\\prime\}&=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{1-x^\{2\}\}\}\\\\ (\\arccos x)^\{\\prime\}&=-\\frac\{1\}\{\\sqrt\{1-x^\{2\}\}\}\\\\ (\\arctan x)^\{\\prime\}&=\\frac\{1\}\{1+x^\{2\}\}\\\\ (\\operatorname\{arccot\} x)^\{\\prime\}&=-\\frac\{1\}\{1+x^\{2\}\} \\end\{aligned\} (arcsinx)′(arccosx)′(arctanx)′(arccotx)′=1−x21=−1−x21=1\+x21=−1\+x21

### 多元函数极值 ###

#### 无条件极值 ####

1.  必要条件

z = f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) \{ 一 阶 偏 导 数 存 在 取 极 值 ⇒ f x ′ ( x 0 . y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 z=f(x,y)在点(x\_0,y\_0)\\begin\{cases\}一阶偏导数存在\\\\取极值 \\end\{cases\}⇒f'\_x(x\_0.y\_0)=0,f'\_y(x\_0,y\_0)=0 z=f(x,y)在点(x0,y0)\{ 一阶偏导数存在取极值⇒fx′(x0.y0)=0,fy′(x0,y0)=0

1.  充分条件

\{ f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = A f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = B f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = C ⇒ Δ = B 2 − A C \{ < 0 ⇒ \{ A < 0 ⇒ 极 大 值 A > 0 ⇒ 极 小 值 > 0 非 极 值 = 0 方 法 失 效 \\begin\{cases\} f''\_\{xx\}(x\_0,y\_0)=A\\\\ f''\_\{xy\}(x\_0,y\_0)=B\\\\f''\_\{yy\}(x\_0,y\_0)=C \\end\{cases\}⇒Δ=B^2-AC\\begin\{cases\} <0⇒\\begin\{cases\} A<0⇒极大值\\\\A>0⇒极小值 \\end\{cases\}\\\\>0非极值\\\\=0 方法失效 \\end\{cases\} ⎩⎪⎨⎪⎧fxx′′(x0,y0)=Afxy′′(x0,y0)=Bfyy′′(x0,y0)=C⇒Δ=B2−AC⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧<0⇒\{ A<0⇒极大值A>0⇒极小值>0非极值=0方法失效

#### 条件极值 ####

u = f ( x , y , z ) 在 \{ φ ( x , y , z ) = 0 ψ ( x , y , z ) = 0 下 的 极 值 u=f(x,y,z)在\\begin\{cases\} φ(x,y,z)=0\\\\\\psi(x,y,z)=0 \\end\{cases\}下的极值 u=f(x,y,z)在\{ φ(x,y,z)=0ψ(x,y,z)=0下的极值  
 F ( x , y , z , λ , μ ) = f ( x , y , z ) + λ φ ( x , y , z ) + μ ψ ( x , y , z ) F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μ\\psi(x,y,z) F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)\+λφ(x,y,z)\+μψ(x,y,z)  
 \{ F x ′ = 0 F y ′ = 0 F z ′ = 0 F λ ′ = 0 F μ ′ = 0 \\begin\{cases\} F'\_x=0\\\\F'\_y=0\\\\F'\_z=0\\\\F'\_λ=0\\\\F'\_μ=0 \\end\{cases\} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧Fx′=0Fy′=0Fz′=0Fλ′=0Fμ′=0  
 求 出 候 选 值 ， 最 大 的 为 极 大 值 ， 最 小 的 为 极 小 值 求出候选值，最大的为极大值，最小的为极小值 求出候选值，最大的为极大值，最小的为极小值

### 方向导数 ###

u = u ( x , y , z ) 在 点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处 沿 l = ( l x , l y , l z ) 方 向 导 数 ： u=u(x,y,z)在点P\_0(x\_0,y\_0,z\_0)处沿l=(l\_x,l\_y,l\_z)方向导数： u=u(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)处沿l=(lx,ly,lz)方向导数：  
 ∂ u ∂ l ∣ p 0 = u x ′ ( P 0 ) cos ⁡ α + u y ′ ( P 0 ) cos ⁡ β + u z ′ ( P 0 ) cos ⁡ γ cos ⁡ α = l x ∣ l ∣ , cos ⁡ β = l y ∣ l ∣ , cos ⁡ γ = l z ∣ l ∣ , \\begin\{aligned\} \\frac\{∂u\}\{∂l\}\\Big|\_\{p\_0\}&=u'\_x(P\_0)\\cos \\alpha +u'\_y(P\_0)\\cos \\beta +u'\_z(P\_0)\\cos γ\\\\ \\cos α&=\\frac\{l\_x\}\{|l|\},\\cos β=\\frac\{l\_y\}\{|l|\},\\cos γ=\\frac\{l\_z\}\{|l|\}, \\end\{aligned\} ∂l∂u∣∣∣p0cosα=ux′(P0)cosα\+uy′(P0)cosβ\+uz′(P0)cosγ=∣l∣lx,cosβ=∣l∣ly,cosγ=∣l∣lz,

#### 方向导数的最大值为梯度的模: u x ′ 2 + u y ′ 2 + u z ′ 2 \\sqrt\{ \{u'\_x\}^2+\{u'\_y\}^2+\{u'\_z\}^2\} ux′2\+uy′2\+uz′2 ####

### 隐函数存在定理 ###

设函数 F ( x , y , z ) F(x,y,z) F(x,y,z)在 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P(x\_0,y\_0,z\_0) P(x0,y0,z0)某一领域具有连续偏导数，且 F ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 F(x\_0,y\_0,z\_0)=0 F(x0,y0,z0)=0, F z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 F'\_z(x\_0,y\_0,z\_0)\\ne 0 Fz′(x0,y0,z0)=0，则方程 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0在点P某一领域能确定唯一一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y ) z =f(x,y) z=f(x,y)，满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) z\_0=f(x\_0,y\_0) z0=f(x0,y0),并且  
 ∂ z ∂ x = − F x ′ F z ′ , ∂ z ∂ y = − F y ′ F z ′ \\begin\{aligned\} \\frac\{∂z\}\{\\partial x\}=-\\frac\{F'\_x\}\{F'\_z\},\\frac\{∂z\}\{\\partial y\}=-\\frac\{F'\_y\}\{F'\_z\} \\end\{aligned\} ∂x∂z=−Fz′Fx′,∂y∂z=−Fz′Fy′

### 微分方程 ###

#### 一阶非齐次 ####

d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) ⇒ y = \[ ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x + C \] e − ∫ P ( x ) d x \\frac \{ \\mathrm \{ d \} y \} \{ \\mathrm \{ d \} x \} + P ( x ) y = Q ( x ) \\Rightarrow y = \\left\[ \\int Q ( x ) e ^ \{ \\int P ( x ) \\mathrm \{ d \} x \} + C \\right\] e ^ \{ - \\int P ( x ) \\mathrm \{ d \} x \} dxdy\+P(x)y=Q(x)⇒y=\[∫Q(x)e∫P(x)dx\+C\]e−∫P(x)dx

#### 不含x型 ####

y ′ = p ( x ) , y ′ ′ = p ⋅ d p d y ⇒ p d p d y = f ( y , p ) y ^ \{ \\prime \} = p ( x ) , y ^ \{ \\prime \\prime \} = p \\cdot \\frac \{ \\mathrm \{ d \} p \} \{ \\mathrm \{ d \} y \} \\Rightarrow p \\frac \{ \\mathrm \{ d \} p \} \{ \\mathrm \{ d \} y \} = f ( y , p ) y′=p(x),y′′=p⋅dydp⇒pdydp=f(y,p)

#### 伯努利方程 ####

形如:  y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y n y'+p(x)y=q(x)y^n y′\+p(x)y=q(x)yn:  
 y − n ⋅ y ′ + p ( x ) y 1 − n = q ( x ) 令 z = y 1 − n , d z d x = ( 1 − n ) y − n d y d x , 1 1 − n d z d x + p ( x ) z = q ( x ) \\begin\{aligned\} &y^\{-n\}⋅y'+p(x)y^\{1-n\}=q(x)\\\\ &令z=y^\{1-n\},\\frac\{\\mathrm\{d\}z\}\{\\mathrm\{d\}x\}=(1-n)y^\{-n\}\\frac\{\\mathrm\{d\}y\}\{\\mathrm\{d\}x\},\\frac\{1\}\{1-n\}\\frac\{\\mathrm\{d\}z\}\{\\mathrm\{d\}x\}+p(x)z=q(x) \\end\{aligned\} y−n⋅y′\+p(x)y1−n=q(x)令z=y1−n,dxdz=(1−n)y−ndxdy,1−n1dxdz\+p(x)z=q(x)

#### 物理应用 ####

##### 变化率 #####

Δ y Δ x = d v d x \\frac\{Δy\}\{Δx\}=\\frac\{\\mathrm\{d\}v\}\{\\mathrm\{d\}x\} ΔxΔy=dxdv

##### 牛顿第二定律 #####

v = d x d t a = d v d t = d 2 x d t = d v d x ⋅ d x d t = v d v d x \\begin\{aligned\} v&=\\frac\{\\mathrm\{d\}x\}\{\\mathrm\{d\}t\}\\\\ a&=\\frac\{\\mathrm\{d\}v\}\{\\mathrm\{d\}t\}=\\frac\{\\mathrm\{d\}^2x\}\{\\mathrm\{d\}t\}=\\frac\{\\mathrm\{d\}v\}\{\\mathrm\{d\}x\}\\cdot \\frac\{\\mathrm\{d\}x\}\{\\mathrm\{d\}t\}=v\\frac\{\\mathrm\{d\}v\}\{\\mathrm\{d\}x\} \\end\{aligned\} va=dtdx=dtdv=dtd2x=dxdv⋅dtdx=vdxdv

#### 欧拉方程 ####

##### Def #####

x 2 y ′ ′ + p x y ′ + q y = f ( x ) x^2y''+pxy'+qy=f(x) x2y′′\+pxy′\+qy=f(x)

##### 解法 #####

1.   x > 0 , x = e t , t = ln ⁡ x , d t d x = 1 x , 方 程 化 为 x>0,x=e^t,t=\\ln x,\\frac\{\\mathrm\{d\}t\}\{\\mathrm\{d\}x\}=\\frac\{1\}\{x\},方程化为 x>0,x=et,t=lnx,dxdt=x1,方程化为

d 2 y d t 2 + ( p − 1 ) d y d t + q y = f ( e t ) \\frac\{\\mathrm\{d\}^2y\}\{\\mathrm\{d\}t^2\}+(p-1)\\frac\{\\mathrm\{d\}y\}\{\\mathrm\{d\}t\}+qy=f(e^t) dt2d2y\+(p−1)dtdy\+qy=f(et) 
 t = ln ⁡ x 代 回 原 方 程 t=\\ln x代回原方程 t=lnx代回原方程 
2. x < 0 时 ， x = − e t , 同 理 可 得 x<0时，x=-e^t,同理可得 x<0时，x=−et,同理可得

## 积分 ##

### 积分公式 ###

#### 三角 ####

∫ tan ⁡ x d x = − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C ∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ + C ∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C ∫ csc ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ + C ∫ sec ⁡ 2 x d x = tan ⁡ x + C ∫ csc ⁡ 2 x d x = − cot ⁡ x + C ∫ sec ⁡ x tan ⁡ x d x = sec ⁡ x + C ∫ csc ⁡ x cot ⁡ x d x = − csc ⁡ x + C \\begin\{aligned\} \\int \\tan x \\mathrm\{d\} x&=-\\ln |\\cos x|+C\\\\ \\int \\cot x \\mathrm\{d\} x&=\\ln |\\sin x|+C\\\\ \\int \\sec x \\mathrm\{d\} x&=\\ln |\\sec x+\\tan x|+C\\\\ \\int \\csc x \\mathrm\{d\} x&=\\ln |\\csc x-\\cot x|+C\\\\ \\int \\sec ^\{2\} x \\mathrm\{d\} x&=\\tan x+C\\\\ \\int \\csc ^\{2\} x \\mathrm\{d\} x&=-\\cot x+C\\\\ \\int \\sec x \\tan x \\mathrm\{d\} x&=\\sec x+C\\\\ \\int \\csc x \\cot x \\mathrm\{d\} x&=-\\csc x+C\\\\ \\end\{aligned\} ∫tanxdx∫cotxdx∫secxdx∫cscxdx∫sec2xdx∫csc2xdx∫secxtanxdx∫cscxcotxdx=−ln∣cosx∣\+C=ln∣sinx∣\+C=ln∣secx\+tanx∣\+C=ln∣cscx−cotx∣\+C=tanx\+C=−cotx\+C=secx\+C=−cscx\+C

#### 平方和差 ####

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin ⁡ x a + C ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln ⁡ ∣ x + x 2 + a 2 ∣ + C ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln ⁡ ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C ∫ 1 x 2 − a 2 d x = 1 2 a ln ⁡ ∣ x − a x + a ∣ + C ∫ x 2 − a 2 d x = a 2 2 arcsin ⁡ x a + x 2 a 2 − x 2 + C \\begin\{aligned\} \\int \\frac\{1\}\{\\sqrt\{a^\{2\}-x^\{2\}\}\} \\mathrm\{d\} x&=\\arcsin \\frac\{x\}\{a\}+C\\\\ \\int \\frac\{1\}\{a^\{2\}+x^\{2\}\} \\mathrm\{d\} x&=\\frac\{1\}\{a\} \\arctan \\frac\{x\}\{a\}+C\\\\ \\int \\frac\{1\}\{\\sqrt\{x^\{2\}+a^\{2\}\}\} \\mathrm\{d\} x&=\\ln |x+\\sqrt\{x^\{2\}+a^\{2\}\}|+C\\\\ \\int \\frac\{1\}\{\\sqrt\{x^\{2\}-a^\{2\}\}\} \\mathrm\{d\} x&=\\ln |x+\\sqrt\{x^\{2\}-a^\{2\}\}|+C\\\\ \\int \\frac\{1\}\{x^\{2\}-a^\{2\}\} \\mathrm\{d\} x&=\\frac\{1\}\{2 a\} \\ln \\left|\\frac\{x-a\}\{x+a\}\\right|+C\\\\ \\int \\sqrt\{x^\{2\}-a^\{2\}\} \\mathrm\{d\} x&=\\frac\{a^\{2\}\}\{2\} \\arcsin \\frac\{x\}\{a\}+\\frac\{x\}\{2\} \\sqrt\{a^\{2\}-x^\{2\}\}+C \\end\{aligned\} ∫a2−x21dx∫a2\+x21dx∫x2\+a21dx∫x2−a21dx∫x2−a21dx∫x2−a2dx=arcsinax\+C=a1arctanax\+C=ln∣x\+x2\+a2∣\+C=ln∣x\+x2−a2∣\+C=2a1ln∣∣∣∣x\+ax−a∣∣∣∣\+C=2a2arcsinax\+2xa2−x2\+C

#### 三角代换 ####

a 2 − x 2 = x = a sin ⁡ t a cos ⁡ t a 2 + x 2 = x = a tan ⁡ t a sec ⁡ t x 2 − a 2 = x = a sec ⁡ t a tan ⁡ t \\begin\{aligned\} \\sqrt\{a^2-x^2\}\\xlongequal\[\]\{x=a\\sin t\}a\\cos t\\\\ \\sqrt\{a^2+x^2\}\\xlongequal\[\]\{x=a\\tan t\}a\\sec t\\\\ \\sqrt\{x^2-a^2\}\\xlongequal\[\]\{x=a\\sec t\}a\\tan t \\end\{aligned\} a2−x2x=asintacosta2\+x2x=atantasectx2−a2x=asectatant

### 积分中值定理 ###

f ( x ) ∈ C \[ a , b \] , ∃ ξ ∈ \[ a , b \] , 使 得 f(x)\\in C\[a,b\],\\exists \\xi \\in \[a,b\],使得 f(x)∈C\[a,b\],∃ξ∈\[a,b\],使得  
 ∫ a b f ( x )   d x = f ( ξ ) ( b − a ) \\int\_a^b f(x)\\,\\mathrm\{d\}x=f(\\xi)(b-a) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)

#### 推广 ####

f ( x ) ∈ C ( a , b ) , ∃ ξ ∈ ( a , b ) , 使 得 f(x)\\in C(a,b),\\exists \\xi \\in (a,b),使得 f(x)∈C(a,b),∃ξ∈(a,b),使得  
 ∫ a b f ( x )   d x = f ( ξ ) ( b − a ) \\int\_a^b f(x)\\,\\mathrm\{d\}x=f(\\xi)(b-a) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)

### 广义积分 ###

#### 区间无限 ####

##### 判别法 #####

lim ⁡ x → ± ∞ x α f ( x ) = C 0 ≠ 0 ⇒ \{ 收 敛 , α > 1 发 散 ， α ≤ 1 \\lim\\limits\_\{x→\\pm ∞\}x^αf(x)=C\_0\\ne 0⇒ \\begin\{cases\} 收敛,&α>1\\\\ 发散，&α\\le 1 \\end\{cases\} x→±∞limxαf(x)=C0=0⇒\{ 收敛,发散，α>1α≤1

#### 区间有限 ####

##### 判别法 #####

lim ⁡ x → a + ( x − a ) α f ( x ) = C 0 ≠ 0 ⇒ \{ 收 敛 , α < 1 发 散 ， α ≥ 1 \\lim\\limits\_\{x→ a^+\}\{(x-a)\}^αf(x)=C\_0\\ne 0⇒ \\begin\{cases\} 收敛,&α<1\\\\ 发散，&α\\ge 1 \\end\{cases\} x→a\+lim(x−a)αf(x)=C0=0⇒\{ 收敛,发散，α<1α≥1 
 lim ⁡ x → b − ( b − x ) α f ( x ) = C 0 ≠ 0 ⇒ \{ 收 敛 , α < 1 发 散 ， α ≥ 1 \\lim\\limits\_\{x→ b^-\}\{(b-x)\}^αf(x)=C\_0\\ne 0⇒ \\begin\{cases\} 收敛,&α<1\\\\ 发散，&α\\ge 1 \\end\{cases\} x→b−lim(b−x)αf(x)=C0=0⇒\{ 收敛,发散，α<1α≥1

### 曲线积分 ###

#### 第一型 ####

##### 空间 #####

Γ : \{ x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) , ( α ≤ t ≤ β ) Γ:\\begin\{cases\} x=x(t)\\\\y=y(t)\\\\z=z(t) \\end\{cases\},(α\\leq t\\leq β) Γ:⎩⎪⎨⎪⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t),(α≤t≤β)

∫ Γ f ( x , y , z )   d s = ∫ α β f \[ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) \] \[ x ′ ( t ) \] 2 + y \[ ′ ( t ) \] 2 + \[ z ′ ( t ) \] 2   d t \\int\_\{Γ\}f(x,y,z)\\,\\mathrm\{d\}s=\\int\_\{α\}^\{β\}f\\left\[x(t),y(t),z(t)\\right\]\\sqrt\{\[x'(t)\]^2+y\['(t)\]^2+\[z'(t)\]^2\}\\,\\mathrm\{d\}t ∫Γf(x,y,z)ds=∫αβf\[x(t),y(t),z(t)\]\[x′(t)\]2\+y\[′(t)\]2\+\[z′(t)\]2dt

##### 平面 #####

(1).  
 L : y = y ( x ) ( a ≤ x ≤ b ) L:y=y(x)(a\\leq x\\leq b) L:y=y(x)(a≤x≤b)

∫ L f ( x , y )   d s = ∫ a b f \[ x , y ( x ) \] 1 + \[ y ′ ( x ) \] 2   d x \\int\_L f(x,y)\\,\\mathrm\{d\}s=\\int\_\{a\}^\{b\}f\[x,y(x)\]\\sqrt\{1+\[y'(x)\]^2\}\\,\\mathrm\{d\}x ∫Lf(x,y)ds=∫abf\[x,y(x)\]1\+\[y′(x)\]2dx  
(2).  
 L : \{ x = x ( t ) y = y ( t ) , ( α ≤ t ≤ β ) L:\\begin\{cases\} x=x(t)\\\\y=y(t) \\end\{cases\},(α\\leq t≤β) L:\{ x=x(t)y=y(t),(α≤t≤β)  
 ∫ L f ( x , y )   d s = ∫ α β f \[ x ( t ) , y ( t ) \] \[ x ′ ( t ) \] 2 + y \[ ′ ( t ) \] 2   d t \\int\_L f(x,y)\\,\\mathrm\{d\}s=\\int\_\{α\}^\{β\}f\\left\[x(t),y(t)\\right\]\\sqrt\{\[x'(t)\]^2+y\['(t)\]^2\}\\,\\mathrm\{d\}t ∫Lf(x,y)ds=∫αβf\[x(t),y(t)\]\[x′(t)\]2\+y\[′(t)\]2dt

#### 第二型 ####

##### 平面 #####

**直接计算法：**  
 L : \{ x = x ( t ) y = y ( t ) , ( α ≤ t ≤ β ) L:\\begin\{cases\} x=x(t)\\\\y=y(t) \\end\{cases\},(α\\le t \\le β) L:\{ x=x(t)y=y(t),(α≤t≤β)  
 ∫ L P ( x , y )   d x + Q ( x , y )   d y = ∫ α β \{ P \[ x ( t ) , y ( t ) \] x ′ ( t ) + Q \[ x ( t ) , y ( t ) \] y ′ ( t ) \}   d t \\int\_L P(x,y)\\,\\mathrm\{d\}x+Q(x,y)\\,\\mathrm\{d\}y=\\int\_\{α\}^\{β\} \\\{P\[x(t),y(t)\]x'(t)+Q\[x(t),y(t)\]y'(t)\\\}\\,\\mathrm\{d\}t ∫LP(x,y)dx\+Q(x,y)dy=∫αβ\{ P\[x(t),y(t)\]x′(t)\+Q\[x(t),y(t)\]y′(t)\}dt  
**格林公式**  
 ∮ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d σ \\oint \_ \{ L \} P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = \\iint \_ \{ D \} \\left( \\frac \{ \\partial Q \} \{ \\partial x \} - \\frac \{ \\partial P \} \{ \\partial y \} \\right) \\mathrm \{ d \} \\sigma ∮LP(x,y)dx\+Q(x,y)dy=∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dσ

##### 曲线积分与路径无关理论 #####

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x ⇕ ∮ L P d x + Q d y = 0 ⇕ P d x + Q d y = 0 为 全 微 分 方 程 \\begin\{aligned\} &\\frac\{∂P\}\{∂y\}=\\frac\{∂Q\}\{∂x\}\\\\ &⇕\\\\ &\\oint\_LP\\mathrm\{d\}x+Q\\mathrm\{d\}y=0\\\\ &⇕\\\\ &P\\mathrm\{d\}x+Q\\mathrm\{d\}y=0为全微分方程 \\end\{aligned\} ∂y∂P=∂x∂Q⇕∮LPdx\+Qdy=0⇕Pdx\+Qdy=0为全微分方程

##### 空间 #####

斯托克斯公式

### 曲面积分 ###

#### 第一型 ####

∬ Σ f ( x , y , z )   d S = ∬ D x y f ( x , y , z ( z , y ) ) 1 + ( z x ′ ) 2 + ( z y ′ ) 2   d x d y \\iint\\limits\_\{\\Sigma\}f(x,y,z)\\,\\mathrm\{d\}S=\\iint\\limits\_\{D\_\{xy\}\}f(x,y,z(z,y))\\sqrt\{1+(z\_x')^2+(z\_y')^2\}\\,\\mathrm\{d\}x\\mathrm\{d\}y Σ∬f(x,y,z)dS=Dxy∬f(x,y,z(z,y))1\+(zx′)2\+(zy′)2dxdy

#### 第二型 ####

##### 直接计算 #####

∬ Σ R ( x , y , z )   d x d y = ± R ( x , y , z ( x , y ) )   d x d y \\iint\\limits\_\{Σ\}R(x,y,z)\\,\\mathrm\{d\}x\\mathrm\{d\}y=\\pm R(x,y,z(x,y))\\,\\mathrm\{d\}x\\mathrm\{d\}y Σ∬R(x,y,z)dxdy=±R(x,y,z(x,y))dxdy

##### 高斯公式 #####

∯ Σ P d x d y + Q d z d x + R d x d y = ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v \\oiint\\limits\_\{ \\Sigma \} P \\mathrm \{ d \} x \\mathrm \{ d \} y + Q \\mathrm \{ d \} z \\mathrm \{ d \} x + R \\mathrm \{ d \} x \\mathrm \{ d \} y = \\iiint\\limits\_\{ \\Omega \} \\left( \\frac \{ \\partial P \} \{ \\partial x \} + \\frac \{ \\partial Q \} \{ \\partial y \} + \\frac \{ \\partial R \} \{ \\partial z \} \\right) \\mathrm \{ d \} v Σ∬Pdxdy\+Qdzdx\+Rdxdy=Ω∭(∂x∂P\+∂y∂Q\+∂z∂R)dv

### 应用 ###

## 无穷级数 ##

### 常数项级数 ###

#### p级数 ####

∑ n = 1 ∞ 1 n p ⇒ \{ p ≤ 1 , 发 散 p > 1 , 收 敛 \\sum \_ \{ n = 1 \} ^ \{ \\infty \} \\frac \{ 1 \} \{ n ^ \{ p \} \}⇒\\begin\{cases\} p\\le 1 ,& 发散\\\\ p>1,&收敛 \\end\{cases\} n=1∑∞np1⇒\{ p≤1,p>1,发散收敛

#### 几何级数 ####

∑ n = 1 ∞ a q n ⇒ \{ ∣ q ∣ ≥ 1 , 发 散 ∣ q ∣ < 1 , 收 敛 ( a ≠ 0 ) \\sum\_\{n=1\}^\{\\infty\}aq^n⇒\\begin\{cases\} |q|\\ge 1,&发散\\\\ |q|<1,&收敛 \\end\{cases\}(a\\ne 0) n=1∑∞aqn⇒\{ ∣q∣≥1,∣q∣<1,发散收敛(a=0)

#### 正项级数积分审敛法 ####

\{ a n \} ↘ , a n = f ( n ) ⇒ ∑ n = 1 ∞ a n 与 ∫ 1 ∞ f ( x )   d x 敛 散 性 相 同 \\\{a\_n\\\} ↘,a\_n=f(n)⇒ \\sum\_\{n=1\}^\{∞\}a\_n与\\int\_\{1\}^\{∞\}f(x)\\,\\mathrm\{d\}x敛散性相同 \{ an\}↘,an=f(n)⇒n=1∑∞an与∫1∞f(x)dx敛散性相同

#### 交错级数审敛法 ####

\{ \{ a n \} ↘ lim ⁡ n → ∞ a n = 0 ⇒ 收 敛 ， 且 和 不 超 过 a 1 \\begin\{cases\} \\\{a\_n\\\}↘\\\\ \\lim\\limits\_\{n→∞\} a\_n=0 \\end\{cases\} ⇒收敛，且和不超过a\_1 \{ \{ an\}↘n→∞liman=0⇒收敛，且和不超过a1  
 ∑ n = 1 ∞ a n , ( a n ≥ 0 ) 收 敛 ⇒ ∑ n = 1 ∞ a n 2 收 敛 \\sum\_\{n=1\}^\{∞\}a\_n,(a\_n≥0)收敛⇒\\sum\_\{n=1\}^\{∞\}a\_n^2收敛 n=1∑∞an,(an≥0)收敛⇒n=1∑∞an2收敛

### 公式 ###

#### 麦克劳林级数 ####

1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n , ( − 1 < x < 1 ) 1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n , ( − 1 < x < 1 ) ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 1 n x n , ( − 1 < x ≤ 1 ) ln ⁡ ( 1 − x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n x n , ( − 1 ≤ x < 1 ) sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 , ( − ∞ < x < + ∞ ) cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 1 ( 2 n ) ! x 2 n , ( − ∞ < x < + ∞ ) e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n , ( − ∞ < x < + ∞ ) \\begin\{aligned\} \\frac\{1\}\{1-x\}&=\\sum\_\{n=0\}^\{\\infty\} x^\{n\},&(-1<x<1)\\\\ \\frac \{ 1 \} \{ 1 + x \} &= \\sum \_ \{ n = 0 \} ^ \{ \\infty \} ( - 1 ) ^ \{ n \} x ^ \{ n \} ,&( - 1 < x < 1 )\\\\ \\ln ( 1 + x ) &= \\sum \_ \{ n = 1 \} ^ \{ \\infty \} ( - 1 ) ^ \{ n - 1 \} \\frac \{ 1 \} \{ n \} x ^ \{ n \} ,&( - 1 < x \\leq 1 )\\\\ \\ln ( 1 - x ) &= \\sum \_ \{ n = 1 \} ^ \{ \\infty \} \\frac \{ 1 \} \{ n \} x ^ \{ n \} ,&( - 1 \\leq x < 1 )\\\\ \\sin x &= \\sum \_ \{ n = 0 \} ^ \{ \\infty \} ( - 1 ) ^ \{ n \} \\frac \{ 1 \} \{ ( 2 n + 1 ) ! \} x ^ \{ 2 n + 1 \} ,&( - \\infty < x < + \\infty )\\\\ \\cos x &= \\sum \_ \{ n = 0 \} ^ \{ \\infty \} ( - 1 ) ^ \{ n \} \\frac \{ 1 \} \{ ( 2 n ) ! \} x ^ \{ 2 n \} ,& ( - \\infty < x < + \\infty )\\\\ e ^ \{ x \} &= \\sum \_ \{ n = 0 \} ^ \{ \\infty \} \\frac \{ 1 \} \{ n ! \} x ^ \{ n \} ,& ( - \\infty < x < + \\infty ) \\end\{aligned\} 1−x11\+x1ln(1\+x)ln(1−x)sinxcosxex=n=0∑∞xn,=n=0∑∞(−1)nxn,=n=1∑∞(−1)n−1n1xn,=n=1∑∞n1xn,=n=0∑∞(−1)n(2n\+1)!1x2n\+1,=n=0∑∞(−1)n(2n)!1x2n,=n=0∑∞n!1xn,(−1<x<1)(−1<x<1)(−1<x≤1)(−1≤x<1)(−∞<x<\+∞)(−∞<x<\+∞)(−∞<x<\+∞)

####  f ( x ) f(x) f(x)的泰勒级数 ####

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + 1 2 ! f ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n f(x)=f(x\_0)+f'(x\_0)(x-x\_0)+\\frac\{1\}\{2!\}f''(x\_0)(x-x\_0)^2+⋯+\\frac\{1\}\{n!\}f^\{(n)\}(x\_0)(x-x\_0)^n f(x)=f(x0)\+f′(x0)(x−x0)\+2!1f′′(x0)(x−x0)2\+⋯\+n!1f(n)(x0)(x−x0)n

#### 其他 ####

对 幂 级 数 ∑ n = 0 ∞ a n x n , lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = ρ , R = 1 ρ 对幂级数\\sum\_\{n=0\}^\{\\infty\}a\_nx^n,\\lim\\limits\_\{n→∞\}|\\frac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}|=ρ,R=\\frac\{1\}\{\\rho\} 对幂级数n=0∑∞anxn,n→∞lim∣anan\+1∣=ρ,R=ρ1

### 傅里叶级数 ###

####  T = 2 π T=2\\pi T=2π ####

##### 狄利克雷充分条件 #####

T = 2 π , f ( x ) 在 x ∈ \[ − π , π \] 满 足 \{ 连 续 或 有 限 个 第 一 类 间 断 点 有 限 个 极 值 点 T=2\\pi,f(x)在x\\in \[-\\pi,\\pi\]满足 \\begin\{aligned\} \\begin\{cases\} 连续或有限个第一类间断点\\\\ 有限个极值点 \\end\{cases\} \\end\{aligned\} T=2π,f(x)在x∈\[−π,π\]满足\{ 连续或有限个第一类间断点有限个极值点  
 f ( x ) 满 足 狄 利 克 雷 充 分 条 件 , f ( x ) 可 以 展 开 成 ： f(x)满足狄利克雷充分条件,f(x)可以展开成： f(x)满足狄利克雷充分条件,f(x)可以展开成：  
 a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) \\frac\{a\_0\}\{2\}+\\sum\_\{n=1\}^\{\\infty\}(a\_n\\cos nx+b\_n \\sin nx) 2a0\+n=1∑∞(ancosnx\+bnsinnx)  
 a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x   d x , ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯   ) b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x   d x , ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯   ) \\begin\{aligned\} a\_n&=\\frac\{1\}\{\\pi\}\\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\}f(x)\\cos nx \\,\\mathrm\{d\}x,(n=0,1,2,\\cdots)\\\\ b\_n&=\\frac\{1\}\{\\pi\}\\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\}f(x)\\sin nx \\,\\mathrm\{d\}x,(n=0,1,2,\\cdots) \\end\{aligned\} anbn=π1∫−ππf(x)cosnxdx,(n=0,1,2,⋯)=π1∫−ππf(x)sinnxdx,(n=0,1,2,⋯)  
 \{ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) = f ( x ) , x 为 f ( x ) 连 续 点 a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) = f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) 2 , x 为 间 断 点 \\begin\{cases\} \\frac\{a\_0\}\{2\}+\\sum\_\{n=1\}^\{\\infty\}(a\_n\\cos nx+b\_n \\sin nx)=f(x),&x为f(x)连续点\\\\ \\frac\{a\_0\}\{2\}+\\sum\_\{n=1\}^\{\\infty\}(a\_n\\cos nx+b\_n \\sin nx)=\\frac\{f(x-0)+f(x+0)\}\{2\},& x为间断点 \\end\{cases\} \{ 2a0\+∑n=1∞(ancosnx\+bnsinnx)=f(x),2a0\+∑n=1∞(ancosnx\+bnsinnx)=2f(x−0)\+f(x\+0),x为f(x)连续点x为间断点

####  x ∈ \[ − π , π \] x\\in \[-\\pi,\\pi\] x∈\[−π,π\] ####

f ( x ) 满 足 狄 利 克 雷 充 分 条 件 ， 将 f ( x ) 周 期 延 拓 f(x)满足狄利克雷充分条件，将f(x)周期延拓 f(x)满足狄利克雷充分条件，将f(x)周期延拓

####  x ∈ \[ 0 , π \] x \\in \[0,\\pi\] x∈\[0,π\] ####

##### 展成余弦级数 #####

f ( x ) 区 间 偶 延 拓 ， 再 进 行 周 期 延 拓 ， 可 以 展 开 为 ： f(x)区间偶延拓，再进行周期延拓，可以展开为： f(x)区间偶延拓，再进行周期延拓，可以展开为：  
 a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x \\frac\{a\_0\}\{2\}+\\sum\_\{n=1\}^\{∞\}a\_n\\cos nx 2a0\+n=1∑∞ancosnx  
 a 0 = 2 π ∫ 0 π f ( x )   d x a n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) cos ⁡ n x   d x , ( n = 1 , 2 , ⋯ ) \\begin\{aligned\} a\_0&=\\frac\{2\}\{\\pi\}\\int\_\{0\}^\{\\pi\}f(x)\\,\\mathrm\{d\}x\\\\ a\_n&=\\frac\{2\}\{\\pi\}\\int\_0^\{\\pi\}f(x)\\cos nx\\,\\mathrm\{d\}x,(n=1,2,⋯) \\end\{aligned\} a0an=π2∫0πf(x)dx=π2∫0πf(x)cosnxdx,(n=1,2,⋯)

##### 展成正弦级数 #####

f ( x ) 区 间 奇 延 拓 ， 再 进 行 周 期 延 拓 ， 可 以 展 开 为 ： f(x)区间奇延拓，再进行周期延拓，可以展开为： f(x)区间奇延拓，再进行周期延拓，可以展开为：  
 ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ n x \\sum\_\{n=1\}^\{∞\}b\_n\\sin nx n=1∑∞bnsinnx  
 b n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) sin ⁡ n x   d x , ( n = 1 , 2 , ⋯ ) b\_n=\\frac\{2\}\{\\pi\}\\int\_0^\{\\pi\}f(x)\\sin nx\\,\\mathrm\{d\}x,(n=1,2,⋯) bn=π2∫0πf(x)sinnxdx,(n=1,2,⋯)

####  T = 2 l T=2l T=2l ####

##### 狄利克雷充分条件 #####

T = 2 π , f ( x ) 在 x ∈ \[ − l , l \] 满 足 \{ 连 续 或 有 限 个 第 一 类 间 断 点 有 限 个 极 值 点 T=2\\pi,f(x)在x\\in \[-l,l\]满足 \\begin\{aligned\} \\begin\{cases\} 连续或有限个第一类间断点\\\\ 有限个极值点 \\end\{cases\} \\end\{aligned\} T=2π,f(x)在x∈\[−l,l\]满足\{ 连续或有限个第一类间断点有限个极值点  
 f ( x ) 满 足 狄 利 克 雷 充 分 条 件 , f ( x ) 可 以 展 开 成 ： f(x)满足狄利克雷充分条件,f(x)可以展开成： f(x)满足狄利克雷充分条件,f(x)可以展开成：  
 a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n π l x + b n sin ⁡ n π l x ) \\frac\{a\_0\}\{2\}+\\sum\_\{n=1\}^\{∞\}(a\_n\\cos \\frac\{n\\pi\}\{l\}x+b\_n\\sin \\frac\{n\\pi\}\{l\}x) 2a0\+n=1∑∞(ancoslnπx\+bnsinlnπx)  
 a n = 1 l ∫ − l l f ( x ) cos ⁡ n π l x   d x , ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯   ) b n = 1 l ∫ − l l f ( x ) sin ⁡ n π l x   d x , ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯   ) \\begin\{aligned\} a\_n&=\\frac\{1\}\{l\}\\int\_\{-l\}^\{l\}f(x)\\cos \\frac\{n\\pi\}\{l\}x \\,\\mathrm\{d\}x,(n=0,1,2,\\cdots)\\\\ b\_n&=\\frac\{1\}\{l\}\\int\_\{-l\}^\{l\}f(x)\\sin \\frac\{n\\pi\}\{l\}x \\,\\mathrm\{d\}x,(n=0,1,2,\\cdots) \\end\{aligned\} anbn=l1∫−llf(x)coslnπxdx,(n=0,1,2,⋯)=l1∫−llf(x)sinlnπxdx,(n=0,1,2,⋯)  
 \{ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n π l x + b n sin ⁡ n π l x ) = f ( x ) , x 为 f ( x ) 连 续 点 a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n π l x + b n sin ⁡ n π l x ) = f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) 2 , x 为 间 断 点 \\begin\{cases\} \\frac\{a\_0\}\{2\}+\\sum\_\{n=1\}^\{\\infty\}(a\_n\\cos \\frac\{n\\pi\}\{l\}x+b\_n \\sin \\frac\{n\\pi\}\{l\}x)=f(x),&x为f(x)连续点\\\\ \\frac\{a\_0\}\{2\}+\\sum\_\{n=1\}^\{\\infty\}(a\_n\\cos \\frac\{n\\pi\}\{l\}x+b\_n \\sin \\frac\{n\\pi\}\{l\}x)=\\frac\{f(x-0)+f(x+0)\}\{2\},& x为间断点 \\end\{cases\} \{ 2a0\+∑n=1∞(ancoslnπx\+bnsinlnπx)=f(x),2a0\+∑n=1∞(ancoslnπx\+bnsinlnπx)=2f(x−0)\+f(x\+0),x为f(x)连续点x为间断点

####  x ∈ \[ − l , l \] x \\in \[-l,l\] x∈\[−l,l\] ####

将 f ( x ) 进 行 周 期 延 拓 将f(x)进行周期延拓 将f(x)进行周期延拓

####  x ∈ \[ 0 , l \] x \\in \[0,l\] x∈\[0,l\] ####

##### 展成余弦级数 #####

f ( x ) 区 间 偶 延 拓 ， 再 进 行 周 期 延 拓 ， 可 以 展 开 为 ： f(x)区间偶延拓，再进行周期延拓，可以展开为： f(x)区间偶延拓，再进行周期延拓，可以展开为：  
 a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π l x \\frac\{a\_0\}\{2\}+\\sum\_\{n=1\}^\{∞\}a\_n\\cos \\frac\{n\\pi\}\{l\}x 2a0\+n=1∑∞ancoslnπx  
 a 0 = 2 l ∫ 0 l f ( x )   d x a n = 2 l ∫ 0 l f ( x ) cos ⁡ n π l x   d x , ( n = 1 , 2 , ⋯ ) \\begin\{aligned\} a\_0&=\\frac\{2\}\{l\}\\int\_\{0\}^\{l\}f(x)\\,\\mathrm\{d\}x\\\\ a\_n&=\\frac\{2\}\{l\}\\int\_0^\{l\}f(x)\\cos \\frac\{n\\pi\}\{l\}x\\,\\mathrm\{d\}x,(n=1,2,⋯) \\end\{aligned\} a0an=l2∫0lf(x)dx=l2∫0lf(x)coslnπxdx,(n=1,2,⋯)

##### 展成正弦级数 #####

f ( x ) 区 间 奇 延 拓 ， 再 进 行 周 期 延 拓 ， 可 以 展 开 为 ： f(x)区间奇延拓，再进行周期延拓，可以展开为： f(x)区间奇延拓，再进行周期延拓，可以展开为：  
 ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ n π l x \\sum\_\{n=1\}^\{∞\}b\_n\\sin \\frac\{n\\pi\}\{l\}x n=1∑∞bnsinlnπx  
 b n = 2 l ∫ 0 l f ( x ) sin ⁡ n π l x   d x , ( n = 1 , 2 , ⋯ ) b\_n=\\frac\{2\}\{l\}\\int\_0^\{l\}f(x)\\sin \\frac\{n\\pi\}\{l\}x\\,\\mathrm\{d\}x,(n=1,2,⋯) bn=l2∫0lf(x)sinlnπxdx,(n=1,2,⋯)

## 应用 ##

### 距离公式 ###

#### 点到平面 ####

设 点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , 平 面 π ： A x + B y + C z + D = 0 , 点 M 0 到 π 的 距 离 为 ： 设点M\_0(x\_0,y\_0,z\_0),平面\\pi：Ax+By+Cz+D=0,点M\_0到π的距离为： 设点M0(x0,y0,z0),平面π：Ax\+By\+Cz\+D=0,点M0到π的距离为：  
 d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=\\frac\{|Ax\_0+By\_0+Cz\_0+D|\}\{\\sqrt\{A^2+B^2+C^2\}\} d=A2\+B2\+C2∣Ax0\+By0\+Cz0\+D∣

#### 点到直线 ####

设 点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , 直 线 L : x − x 1 m = y − y 1 n = z − z 1 p 设点M\_0(x\_0,y\_0,z\_0),直线L:\\frac\{x-x\_1\}\{m\}=\\frac\{y-y\_1\}\{n\}=\\frac\{z-z\_1\}\{p\} 设点M0(x0,y0,z0),直线L:mx−x1=ny−y1=pz−z1  
 d = ∣ s → × M 0 M 1 → ∣ ∣ s → ∣ , M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) ∈ L , s → = \{ m , n , p \} d=\\frac\{|\\overrightarrow\{s\}×\\overrightarrow\{M\_0M\_1\}|\}\{|\\overrightarrow\{s\}|\},M\_1(x\_1,y\_1,z\_1)\\in L,\\overrightarrow\{s\}=\\\{m,n,p\\\} d=∣s∣∣s×M0M1∣,M1(x1,y1,z1)∈L,s=\{ m,n,p\}

#### 平行平面 ####

d = ∣ D 2 − D 1 ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=\\frac\{|D\_2-D\_1|\}\{\\sqrt\{A^2+B^2+C^2\}\} d=A2\+B2\+C2∣D2−D1∣

#### 异面直线 ####

L 1 : x − x 1 m 1 = y − y 1 n 1 = z − z 1 p 1 , L 2 : x − x 2 m 2 = y − y 2 n 2 = z − z 2 p 2 L1:\\frac\{x-x\_1\}\{m\_1\}=\\frac\{y-y\_1\}\{n\_1\}=\\frac\{z-z\_1\}\{p\_1\},L\_2:\\frac\{x-x\_2\}\{m\_2\}=\\frac\{y-y\_2\}\{n\_2\}=\\frac\{z-z\_2\}\{p\_2\} L1:m1x−x1=n1y−y1=p1z−z1,L2:m2x−x2=n2y−y2=p2z−z2  
 d = ∣ ( s 1 → × s 2 → ) ⋅ M 1 M 2 → ∣ ∣ s 1 → × s 2 → ∣ d=\\frac\{|(\\overrightarrow\{s\_1\}×\\overrightarrow\{s\_2\})⋅\\overrightarrow\{M\_1M\_2\}|\}\{|\\overrightarrow\{s\_1\}×\\overrightarrow\{s\_2\}|\} d=∣s1×s2∣∣(s1×s2)⋅M1M2∣

### 曲率 ###

k = ∣ y ′ ′ ∣ \[ 1 + ( y ′ ) 2 \] 3 2 k=\\frac\{|y''|\}\{\[1+(y')^2\]^\{\\frac\{3\}\{2\}\}\} k=\[1\+(y′)2\]23∣y′′∣

### 散度与旋度 ###

#### 散度 ####

d i v A = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ y div A=\\frac\{∂P\}\{∂x\}+\\frac\{∂Q\}\{∂y\}+\\frac\{∂R\}\{∂y\} divA=∂x∂P\+∂y∂Q\+∂y∂R

#### 旋度 ####

r o t A = ∣ i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ rot A=\\begin\{vmatrix\} i &j & k\\\\ \\frac\{∂\}\{∂x\}&\\frac\{∂\}\{∂y\}&\\frac\{∂\}\{∂z\}\\\\ P&Q&R \\end\{vmatrix\} rotA=∣∣∣∣∣∣i∂x∂Pj∂y∂Qk∂z∂R∣∣∣∣∣∣

### 转动惯量 ###

#### 平面 ####

I x = ∬ D y 2 ρ ( x , y ) d σ I\_x=\\iint\\limits\_D y^2ρ(x,y)\\mathrm\{d\}σ Ix=D∬y2ρ(x,y)dσ  
 I o = ∬ D ( x 2 + y 2 ) ρ ( x , y ) d σ I\_o=\\iint\\limits\_D (x^2+y^2)ρ(x,y)\\mathrm\{d\}σ Io=D∬(x2\+y2)ρ(x,y)dσ

#### 空间 ####

I x = ∭ Ω ( y 2 + z 2 ) ρ ( x , y , z ) d v I\_x=\\iiint\\limits\_\{Ω\}(y^2+z^2)\\rho(x,y,z)\\mathrm\{d\}v Ix=Ω∭(y2\+z2)ρ(x,y,z)dv  
 I o = ∭ Ω ( x 2 + y 2 + z 2 ) ρ ( x , y , z ) d v I\_o=\\iiint\\limits\_\{Ω\}(x^2+y^2+z^2)\\rho(x,y,z)\\mathrm\{d\}v Io=Ω∭(x2\+y2\+z2)ρ(x,y,z)dv

#### 曲线 ####

#### 曲面 ####

### 引力 ###

#### 平面 ####

F x = G m ∬ D ρ ( x , y ) ( x − x 0 ) \[ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 \] 3 2 d σ F\_x=Gm\\iint\\limits\_D \\frac\{\\rho(x,y)(x-x\_0)\}\{\[(x-x\_0)^2+(y-y\_0)^2+(z-z\_0)^2\]^\{\\frac\{3\}\{2\}\}\}\\mathrm\{d\}σ Fx=GmD∬\[(x−x0)2\+(y−y0)2\+(z−z0)2\]23ρ(x,y)(x−x0)dσ

#### 空间 ####

F x = G m ∭ Ω ρ ( x , y , z ) ( x − x 0 ) \[ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 \] 3 2 d v F\_x=Gm\\iiint\\limits\_\{Ω\} \\frac\{\\rho(x,y,z)(x-x\_0)\}\{\[(x-x\_0)^2+(y-y\_0)^2+(z-z\_0)^2\]^\{\\frac\{3\}\{2\}\}\}\\mathrm\{d\}v Fx=GmΩ∭\[(x−x0)2\+(y−y0)2\+(z−z0)2\]23ρ(x,y,z)(x−x0)dv

#### 曲线 ####

## 线性代数 ##

### 常见重要结论 ###

∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ ( k A ) T = k A T ( A + B ) T = A T + B T β ∘ = ± β ∥ β ∥ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 ( A + B ) ∗ ≠ A ∗ + B ∗ r ( A ) = r < n , A x = 0 有 n − r 个 解 A ∼ B ⇒ \{ A m ∼ B m , f ( A ) ∼ f ( B ) A − 1 ∼ B − 1 , f ( A − 1 ) ∼ f ( B − 1 ) A T ∼ B T A ∗ ∼ B ∗ f 为 多 项 式 \\begin\{aligned\} &|kA|=k^n|A|\\\\ &(kA)^T=kA^T\\\\ &(A+B)^T=A^T+B^T\\\\ &\\beta^∘=\\frac\{\\pm \\beta\}\{\\lVert \\beta \\rVert\}\\\\ &|A^\*|=|A|^\{n-1\}\\\\ &(A+B)^\*\\ne A^\*+B^\*\\\\ &r(A)=r<n,Ax=0有n-r个解\\\\ A\\sim B&⇒\\begin\{cases\} A^m\\sim B^m,f(A)\\sim f(B)\\\\ A^\{-1\}\\sim B^\{-1\},f(A^\{-1\})\\sim f(B^\{-1\})\\\\ A^T \\sim B^T\\\\ A^\* \\sim B^\* \\end\{cases\}f为多项式 \\end\{aligned\} A∼B∣kA∣=kn∣A∣(kA)T=kAT(A\+B)T=AT\+BTβ∘=∥β∥±β∣A∗∣=∣A∣n−1(A\+B)∗=A∗\+B∗r(A)=r<n,Ax=0有n−r个解⇒⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧Am∼Bm,f(A)∼f(B)A−1∼B−1,f(A−1)∼f(B−1)AT∼BTA∗∼B∗f为多项式

### 初等矩阵变换 ###

\{ E i j A , A 对 调 i 、 j 行 E i ( k ) A , A 的 i 行 k 倍 E i j ( k ) A , A 的 j 行 k 倍 加 到 i 行 \\begin\{cases\} E\_\{ij\}A,&A对调i、j行\\\\ E\_\{i\}(k)A,&A的i行k倍\\\\ E\_\{ij\}(k)A,&A的j行k倍加到i行 \\end\{cases\} ⎩⎪⎨⎪⎧EijA,Ei(k)A,Eij(k)A,A对调i、j行A的i行k倍A的j行k倍加到i行

#### 性质 ####

∣ E i j ∣ = − 1 , E i j − 1 = E j i , E i j 2 = E E i ( k ) − 1 = E i ( 1 k ) E i j − 1 ( k ) = E i j ( − k ) E i j = E i j − 1 = E i j T \\begin\{aligned\} &|E\_\{ij\}|=-1,E\_\{ij\}-1=E\_\{ji\},E\_\{ij\}^2=E\\\\ &E\_i(k)^\{-1\}=E\_i(\\frac\{1\}\{k\})\\\\ &E\_\{ij\}^\{-1\}(k)=E\_\{ij\}(-k)\\\\ &E\_\{ij\}=E\_\{ij\}^\{-1\}=E\_\{ij\}^\{T\} \\end\{aligned\} ∣Eij∣=−1,Eij−1=Eji,Eij2=EEi(k)−1=Ei(k1)Eij−1(k)=Eij(−k)Eij=Eij−1=EijT

### 常见行列式 ###

### 矩阵秩性质 ###

1. r ( A ) = r ( A T ) = r ( A A T ) = r ( A T A ) r ( A ) = r \\left( A ^ \{ T \} \\right) = r \\left( A A ^ \{ T \} \\right) = r \\left( A ^ \{ T \} A \\right) r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA)
2. r ( A B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(\\begin\{array\}\{c:c\}\\begin\{matrix\}A \\end\{matrix\}&\\begin\{matrix\}B\\end\{matrix\}\\end\{array\}) \\leq r ( A ) + r ( B ) r(AB)≤r(A)\+r(B)
3. r ( A ± B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r ( A \\pm B ) \\leq r ( A ) + r ( B ) r(A±B)≤r(A)\+r(B)
4. r ( A B ) ≤ r ( A ) , r ( A B ) ≤ r ( B ) r ( A B ) \\leq r ( A ) , r ( A B ) \\leq r ( B ) r(AB)≤r(A),r(AB)≤r(B)
5. A m × n , B n × s , A B = O ⇒ r ( A ) + r ( B ) ≤ n A\_\{m\\times n\},B\_\{n\\times s\},AB=O ⇒ r(A)+r(B)\\le n Am×n,Bn×s,AB=O⇒r(A)\+r(B)≤n
6. r ( A ∗ ) = \{ n , r ( A ) = n 1 , r ( A ) = n − 1 0 , r ( A ) < n − 1 r \\left( A ^ \{ \* \} \\right) = \\left\\\{ \\begin\{array\} \{ l l \} \{ n , \} & \{ r ( A ) = n \} \\\\ \{ 1 , \} & \{ r ( A ) = n - 1 \} \\\\ \{ 0 , \} & \{ r ( A ) < n - 1 \} \\end\{array\} \\right. r(A∗)=⎩⎨⎧n,1,0,r(A)=nr(A)=n−1r(A)<n−1
7. r ( A B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) , r ( A O O B ) = r ( A ) + r ( B ) r \\left( \\begin\{array\} \{ c \} \{ A \} \\\\ \{ B \} \\end\{array\} \\right) \\leq r ( A ) + r ( B ) , r \\left( \\begin\{array\} \{ c c \} \{ A \} & \{ O \} \\\\ \{ O \} & \{ B \} \\end\{array\} \\right) = r ( A ) + r ( B ) r(AB)≤r(A)\+r(B),r(AOOB)=r(A)\+r(B)
8. r ( A ) = 1 ⇔ ∃ α = ( a 1 , ⋯   , a n ) T ≠ 0 , β = ( b 1 , ⋯   , b n ) T ≠ 0 , 使 得 A = α β T r ( A ) = 1 \\Leftrightarrow \\exists \\alpha = \\left( a \_ \{ 1 \} , \\cdots , a \_ \{ n \} \\right) ^ \{ T \} \\neq 0 , \\beta = \\left( b \_ \{ 1 \} , \\cdots , b \_ \{ n \} \\right) ^ \{ T \}\\ne 0,使得A=α\\beta^T r(A)=1⇔∃α=(a1,⋯,an)T=0,β=(b1,⋯,bn)T=0,使得A=αβT

### 特征值特征向量 ###

#### 重要性质 ####

*   实 对 称 矩 阵 特 征 向 量 正 交 实对称矩阵特征向量正交 实对称矩阵特征向量正交

### 相似和合同 ###

#### 相似 ####

P − 1 A P = B P^\{-1\}AP=B P−1AP=B

##### Notes #####

1.   A ∼ B ⇍ ⇒ r ( A ) = r ( B ) A \\sim B\{⇍ \\atop ⇒\}r(A)=r(B) A∼B⇒⇍r(A)=r(B)
2.   A ∼ B ⇍ ⇒ ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − B ∣ A\\sim B\{⇍ \\atop ⇒\}|λE-A|=|λE-B| A∼B⇒⇍∣λE−A∣=∣λE−B∣
3.   A ∼ B ⇒ \{ t r ( A ) = t r ( B ) ∣ A ∣ = ∣ B ∣ A\\sim B⇒\\begin\{cases\}tr(A)&=tr(B)\\\\ |A|&=|B|\\end\{cases\} A∼B⇒\{ tr(A)∣A∣=tr(B)=∣B∣
4.   A ∼ B ⇒ \{ A T ∼ B T P 不 同 f ( A ) ∼ f ( B ) P 同 A\\sim B⇒\\begin\{cases\}A^T &\\sim B^T&P不同\\\\f(A)&\\sim f(B)&P同\\end\{cases\} A∼B⇒\{ ATf(A)∼BT∼f(B)P不同P同
5.   A ∼ B , 若 A , B 可 逆 ⇒ \{ A − 1 ∼ B − 1 P 同 A ∗ ∼ B ∗ P 同 A\\sim B,若A,B可逆⇒\\begin\{cases\}A^\{-1\}&\\sim B^\{-1\}&P同\\\\ A^\*&\\sim B^\* & P同\\end\{cases\} A∼B,若A,B可逆⇒\{ A−1A∗∼B−1∼B∗P同P同
6.   A α = λ α , A 可 逆 ⇒ \{ A − 1 α = 1 λ α A ∗ α = ∣ A ∣ λ α A\\alpha =\\lambda \\alpha,A可逆⇒\\begin\{cases\} A^\{-1\}α&= \\frac\{1\}\{λ\}α\\\\A^\*α&=\\frac\{|A|\}\{λ\}\\alpha \\end\{cases\} Aα=λα,A可逆⇒\{ A−1αA∗α=λ1α=λ∣A∣α
7.   矩 阵 A 相 似 于 对 角 阵 ⇔ A 有 n 个 特 征 向 量 矩阵A相似于对角阵⇔A有n个特征向量 矩阵A相似于对角阵⇔A有n个特征向量

#### 合同 ####

P T A P = B P^TAP=B PTAP=B

##### 标准化 #####

f = X T A X = P 可 逆 X = P Y Y T ( P T A P ) Y f=X^TAX\\xlongequal\[P可逆\]\{X=PY\}Y^T(P^TAP)Y f=XTAXX=PYP可逆YT(PTAP)Y

##### 合同判断 #####

A T = A , B T = B , A ≅ B ⇔ A , B 特 征 值 正 负 个 数 相 同 A^T=A,B^T=B, A\\cong B⇔A,B特征值正负个数相同 AT=A,BT=B,A≅B⇔A,B特征值正负个数相同

#### 正交化过程 ####

##### 正交化 #####

β 1 = α 1 β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 β 3 = α 3 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 ⋯ β n = α n − ( α n , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ⋯ − ( α n , β n − 1 ) ( β n − 1 , β n − 1 ) β n − 1 \\begin\{aligned\} \\beta\_1&=\\alpha\_1\\\\ \\beta\_2&=\\alpha\_2-\\frac\{(\\alpha\_2,\\beta\_1)\}\{(\\beta\_1,\\beta\_1)\}\\beta\_1\\\\ \\beta\_3&=\\alpha\_3-\\frac\{(\\alpha\_3,\\beta\_1)\}\{(\\beta\_1,\\beta\_1)\}\\beta\_1-\\frac\{(\\alpha\_3,\\beta\_2)\}\{(\\beta\_2,\\beta\_2)\}\\beta\_2\\\\ \\cdots\\\\ \\beta\_n&=\\alpha\_n-\\frac\{(\\alpha\_n,\\beta\_1)\}\{(\\beta\_1,\\beta\_1)\}\\beta\_1-\\cdots -\\frac\{(\\alpha\_n,\\beta\_\{n-1\})\}\{(\\beta\_\{n-1\},\\beta\_\{n-1\})\}\\beta\_\{n-1\}\\\\ \\end\{aligned\} β1β2β3⋯βn=α1=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2=αn−(β1,β1)(αn,β1)β1−⋯−(βn−1,βn−1)(αn,βn−1)βn−1

##### 规范化 #####

r 1 = 1 ∣ β 1 ∣ β 1 , ⋯   , r n = 1 ∣ β n ∣ β n r\_1=\\frac\{1\}\{|\\beta\_1|\}\\beta\_1,\\cdots ,r\_n=\\frac\{1\}\{|\\beta\_n|\}\\beta\_n r1=∣β1∣1β1,⋯,rn=∣βn∣1βn

#### 等价、相似、合同关系区分 ####

##### 等价（秩相等） #####

A 、 B 等 价 ⇔ A 经 过 有 限 次 变 换 得 到 B ⇔ ∃ 可 逆 矩 阵 P ， Q 使 得 P A Q = B ⇔ r ( A ) = r ( B ) \\begin\{aligned\} A、B等价&⇔A经过有限次变换得到B\\\\&⇔\\exists 可逆矩阵P，Q使得PAQ=B\\\\&⇔r(A)=r(B) \\end\{aligned\} A、B等价⇔A经过有限次变换得到B⇔∃可逆矩阵P，Q使得PAQ=B⇔r(A)=r(B)

##### 相似（特征值相等,特征值对应的特征向量重数相等） #####

A 、 B 相 似 ⇔ ∃ 可 逆 矩 阵 P ， 使 得 P − 1 A P = B A ∼ Λ , B ∼ Λ ⇒ A ∼ B A ∼ B ⇒ \{ ∣ A ∣ = ∣ B ∣ r ( A ) = r ( B ) t r ( A ) = t r ( B ) λ A = λ B \\begin\{aligned\} &A、B相似⇔∃可逆矩阵P，使得P^\{-1\}AP=B\\\\ &A\\sim Λ ,B\\sim Λ ⇒A\\sim B\\\\ &A\\sim B⇒\\begin\{cases\} |A|=|B|\\\\ r(A)=r(B)\\\\ tr(A)=tr(B)\\\\ λ\_A=λ\_B \\end\{cases\} \\end\{aligned\} A、B相似⇔∃可逆矩阵P，使得P−1AP=BA∼Λ,B∼Λ⇒A∼BA∼B⇒⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧∣A∣=∣B∣r(A)=r(B)tr(A)=tr(B)λA=λB

##### 合同（秩相等，正负惯性指数相等） #####

A 、 B 合 同 ⇔ ∃ 可 逆 矩 阵 C , 使 得 C T A C = B ⇔ x T A x , x T B x 相 同 惯 性 指 数 \\begin\{aligned\} A、B合同&⇔\\exists 可逆矩阵C,使得C^TAC=B\\\\ &⇔x^TAx,x^TBx相同惯性指数 \\end\{aligned\} A、B合同⇔∃可逆矩阵C,使得CTAC=B⇔xTAx,xTBx相同惯性指数

## 概率论 ##

### 基本公式 ###

ρ X Y = C o v ( X , Y ) D X D Y = E X Y − E X E Y D X D Y \\rho\_\{XY\}=\\frac\{Cov(X,Y)\}\{\\sqrt\{DX\}\\sqrt\{DY\}\}=\\frac\{EXY-EXEY\}\{\\sqrt\{DX\}\\sqrt\{DY\}\} ρXY=DXDYCov(X,Y)=DXDYEXY−EXEY  
 D ( a X + b Y ) = a 2 D X + b 2 D Y + 2 a b C o v ( X , Y ) D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY+2abCov(X,Y) D(aX\+bY)=a2DX\+b2DY\+2abCov(X,Y)

### 常见分布 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>分布</th> 
 <th></th> 
 <th> E X EX EX</th> 
 <th> D X DX DX</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>0-1分布</td> 
 <td> P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 P \{ X = k \} = p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { 1 - k } , k = 0,1 P{ X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1</td> 
 <td> p p p</td> 
 <td> p ( 1 − p ) p(1-p) p(1−p)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>二项分布</td> 
 <td> P { X = k } = C n k P k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , … , n P \{ X = k \} = C _ { n } ^ { k } P ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , k = 0,1 , \ldots , n P{ X=k}=CnkPk(1−p)n−k,k=0,1,…,n</td> 
 <td> n p np np</td> 
 <td> n p ( 1 − p ) np(1-p) np(1−p)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>泊松分布</td> 
 <td> P { X = k } = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , … P \{ X = k \} = \frac { \lambda ^ { k } } { k ! } e ^ { - \lambda } , k = 0,1 , \ldots P{ X=k}=k!λke−λ,k=0,1,…</td> 
 <td> λ λ λ</td> 
 <td> λ λ λ</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>几何分布</td> 
 <td> P { X = k } = ( 1 − p ) k − 1 , k = 1 , 2 , … P \{ X = k \} = ( 1 - p ) ^ { k - 1 } , k = 1,2 , \ldots P{ X=k}=(1−p)k−1,k=1,2,…</td> 
 <td> 1 p \frac{1}{p} p1</td> 
 <td> 1 − p p 2 \frac{1-p}{p^2} p21−p</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>正态分布</td> 
 <td> f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − u ) 2 2 σ 2 , − ∞ &lt; x &lt; + ∞ f ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } e ^ { - \frac { ( x - u ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } , - \infty &lt; x &lt; + \infty f(x)=2π σ1e−2σ2(x−u)2,−∞&lt;x&lt;+∞</td> 
 <td> μ \mu μ</td> 
 <td> σ 2 σ^2 σ2</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>均匀分布</td> 
 <td> f ( x ) = 1 b − a , a &lt; x &lt; b f ( x ) = \frac { 1 } { b - a } , a &lt; x &lt; b f(x)=b−a1,a&lt;x&lt;b</td> 
 <td> a + b 2 \frac{a+b}{2} 2a+b</td> 
 <td> ( b − a ) 2 12 \frac{(b-a)^2}{12} 12(b−a)2</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>指数分布</td> 
 <td> f ( x ) = λ e − λ x , x &gt; 0 f ( x ) = \lambda e ^ { - \lambda x } , x &gt; 0 f(x)=λe−λx,x&gt;0</td> 
 <td> 1 λ \frac{1}{λ} λ1</td> 
 <td> 1 λ 2 \frac{1}{λ^2} λ21</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td> χ 2 ( n ) \chi ^ { 2 } ( n ) χ2(n)</td> 
 <td> n n n</td> 
 <td> 2 n 2n 2n</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

#### 性质 ####

独立的条件下，二项分布具有可加性，即： X ∼ B ( m , p ) , Y ∼ B ( n , p ) X\\sim B(m,p),Y\\sim B(n,p) X∼B(m,p),Y∼B(n,p)则：  
 X + Y ∼ B ( m + n , p ) X+Y\\sim B(m+n,p) X\+Y∼B(m\+n,p)

### 切比雪夫 ###

P \{ ∣ X − E X ∣ < ε \} ≥ 1 − D X ε 2 P \\\{ | X - E X | < \\varepsilon \\\} \\geq 1 - \\frac \{ D X \} \{ \\varepsilon ^ \{ 2 \} \} P\{ ∣X−EX∣<ε\}≥1−ε2DX 
 P \{ ∣ X − E X ∣ ≥ ε \} ≤ D X ε 2 P \\\{ | X - E X | \\geq \\varepsilon \\\} \\leq \\frac \{ D X \} \{ \\varepsilon ^ \{ 2 \} \} P\{ ∣X−EX∣≥ε\}≤ε2DX

## 数理统计 ##

X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 n ) ⇒ X ‾ − μ σ n ∼ N ( 0 , 1 ) \\overline\{X\}\\sim N(\\mu,\\frac\{\\sigma^2\}\{n\})⇒\\frac\{\\overline\{X\}-\\mu\}\{\\frac\{\\sigma\}\{\\sqrt\{n\}\}\}\\sim N(0,1) X∼N(μ,nσ2)⇒nσX−μ∼N(0,1)

X ‾ − μ S n ∼ t ( n − 1 ) \\frac\{\\overline\{X\}-\\mu\}\{\\frac\{S\}\{\\sqrt\{n\}\}\}\\sim t(n-1) nSX−μ∼t(n−1)

1 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 ∼ χ 2 ( n ) \\frac\{1\}\{\\sigma^2\}\\sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_i-\\mu)^2\\sim \\chi^2(n) σ21i=1∑n(xi−μ)2∼χ2(n)

1 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − X ‾ ) 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \\frac\{1\}\{\\sigma^2\}\\sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_i-\\overline\{X\})^2=\\frac\{(n-1)S^2\}\{\\sigma^2\}\\sim \\chi^2(n-1) σ21i=1∑n(xi−X)2=σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)  
 E S 2 = σ 2 ES^2=\\sigma^2 ES2=σ2  
 X ‾ 与 S 2 独 立 \\overline\{X\}与S^2独立 X与S2独立

### 三大分布 ###

####  t t t分布 ####

X ∼ N ( 0 , 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n ) , X 、 Y 独 立 X\\sim N(0,1),Y\\sim \\chi^2(n),X、Y独立 X∼N(0,1),Y∼χ2(n),X、Y独立  
 X Y n ∼ t ( n ) \\frac\{X\}\{\\sqrt\{\\frac\{Y\}\{n\}\}\}\\sim t(n) nYX∼t(n)

##### 性质 #####

X ∼ t ( n ) ⇒ \{ X ∼ N ( 0 , 1 ) E X = 0 X\\sim t(n)⇒\\begin\{cases\} X \\sim N(0,1)\\\\ EX=0 \\end\{cases\} X∼t(n)⇒\{ X∼N(0,1)EX=0

####  F F F分布 ####

X ∼ χ 2 ( m ) , Y ∼ χ 2 ( n ) , X 、 Y 独 立 X\\sim \\chi^2(m),Y\\sim \\chi^2(n),X、Y独立 X∼χ2(m),Y∼χ2(n),X、Y独立  
 X / m Y / n ∼ F ( m , n ) \\frac\{X/m\}\{Y/n\} \\sim F(m,n) Y/nX/m∼F(m,n)

##### 性质 #####

X ∼ F ( m , n ) ⇒ 1 X ∼ F ( n , m ) X\\sim F(m,n)⇒\\frac\{1\}\{X\}\\sim F(n,m) X∼F(m,n)⇒X1∼F(n,m)

### 协方差性质 ###

C o v ( X , k 1 Y 1 + ⋯ + k n Y n ) = k 1 C o v ( X , Y 1 ) + ⋯ + K n C o v ( X , Y n ) Cov(X,k\_1Y\_1+⋯+k\_nY\_n)=k\_1Cov(X,Y\_1)+\\cdots +K\_nCov(X,Y\_n) Cov(X,k1Y1\+⋯\+knYn)=k1Cov(X,Y1)\+⋯\+KnCov(X,Yn)

### 矩估计 ###

X ‾ = E X ‾ = E X \\overline\{X\}=E\\overline\{X\}=EX X=EX=EX  
 \{ 1 n ∑ i = 1 n X i 2 = E X 2 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 = D X \\begin\{aligned\} \\begin\{cases\} \\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{i=1\}^n X\_i^2=EX^2\\\\ \\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{i=1\}^n (X\_i-\\overline\{X\})^2=DX \\end\{cases\} \\end\{aligned\} \{ n1∑i=1nXi2=EX2n1∑i=1n(Xi−X)2=DX

### 无偏估计 ###

E X ‾ = E X ≜ μ E S 2 = D X ≜ σ 2 D X ‾ = 1 n D X \\begin\{aligned\} E\\overline\{X\}&=EX≜\\mu\\\\ ES^2&=DX≜\\sigma^2\\\\ D\\overline\{X\}&=\\frac\{1\}\{n\}DX \\end\{aligned\} EXES2DX=EX≜μ=DX≜σ2=n1DX

### 最大似然估计 ###

### 区间估计 ###

####  μ \\mu μ的区间估计 ####

#####  σ \\sigma σ已知 #####

X ‾ − μ σ n ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{\\overline\{X\}-\\mu\}\{\\frac\{\\sigma\}\{\\sqrt\{n\}\}\}\\sim N(0,1) nσX−μ∼N(0,1)

#####  σ \\sigma σ未知 #####

X ‾ − μ S n ∼ t ( n − 1 ) \\frac\{\\overline\{X\}-\\mu\}\{\\frac\{S\}\{\\sqrt\{n\}\}\}\\sim t(n-1) nSX−μ∼t(n−1)

####  σ 2 \\sigma^2 σ2的区间估计 ####

#####  μ \\mu μ已知 #####

1 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 ∼ χ 2 ( n ) \\frac\{1\}\{\\sigma^2\}\\sum\_\{i=1\}^n(x\_i-\\mu)^2\\sim \\chi^2(n) σ21i=1∑n(xi−μ)2∼χ2(n)

##### $\\mu $未知 #####

( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \\frac\{(n-1)S^2\}\{\\sigma^2\}\\sim\\chi^2(n-1) σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)