算法笔记_什么是算法/算法分析/减而知之/分而治之/动态规划

╰半夏微凉° 2023-06-25 02:24 54阅读 0赞

**目录**

一.基本概念

1.1 什么是计算？

关于有穷性

什么是好算法？

1.2 算法分析是干什么的？

T(n)

怎样评价算法优劣？

大O记号法 - 确定算法上界（最坏情况）

Ω表示法 - 确定算法下界（最好情况）

1.3 常见的复杂度

各种级别的复杂度 总结对比

二. 算法分析详解

2.1 算法分析的主要方法如下

2.2 基本的数学知识回顾

级数

循环 vs 级数

2.3 封底估计

三. 经典算法

3.1 迭代 vs 递归：减而知之

例子：数字求和

算法分析 - 递归跟踪：

算法分析 - 递推分析：

例子：数组倒置

3.2 迭代 vs 递归：分治法

例子：数组求和

例子：迭代找最大值和次大值

3.3 迭代 vs 递归：动态规划

斐波那契数列

寻找两个字符串中的最长公共子序列（LCS）

--------------------

TO-DO问题：渐进阶；递归；分治；排序；动态规划；贪心；图遍历； NP问题

# 一.基本概念 #

## 1.1 什么是计算？ ##

计算 = 信息处理  
借助某种工具，遵照一定规则，以明确而机械的形式进行。

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### 关于*有穷性* ###

**一个悬而未决的一个“算法”：希尔顿序列（Hailstone Sequence）**

希尔顿序列问题是一个著名的数学问题，至今没有证明其正确性，也没证明其是错误的，*即任何一个正整数N，如果是偶数的话就除以2，如果是奇数的话就乘以3再加上1，最后这个数都会变为1*。由于不能证明这个程序的“有穷性”，故不能说该程序是一个算法。其表达式如下：  
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### 什么是好算法？ ###

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## 1.2 算法分析是干什么的？ ##

分析算法的 a.正确性 b.成本；一般关注的是成本中的时间成本。

同一个算法A，针对不同的问题实例P，表现是不一样的，为了度量算法的优劣，对问题实例P进行分类，分类的依据是**问题实例的规模，**进行**等价类的划分。**

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### T(n) ###

用n来代表问题P的规模大小，T表示计算成本。

T(n)表示： 规模为n的问题实例P，在算法A的作用下的，**计算成本**。

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### 怎样评价算法优劣？ ###

针对同一问题P，使用不同算法A1，A2，A3...，如何评价优劣？

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**图灵机模型（Turing Machine）**

针对上述问题（不同算法，可能更适应不同规模的输入....），评价算法优劣的解决方法：**图灵机模型（Turing Machine）**

参考：[https://blog.csdn.net/weixin\_30335353/article/details/97863943][https_blog.csdn.net_weixin_30335353_article_details_97863943]

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**RAM模型（Random Access Machine）**

与此类似，还有**RAM模型（Random Access Machine）**, 将算法的评价标准，进一步抽象，抽象为**基本操作的次数（尺子）的评价**。

此时，***T(n) = 求解规模为n的问题时，所需要执行的基本操作次数***。这样就摆脱了比如硬件、编程语言、代码质量等对算法评价的影响，成为一种理想的、有意义的、可信的研究模型。

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### 大O记号法 - 确定算法上界（最坏情况） ###

**用的最多**的分析，度量悲观情况是什么样子。

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大O记号法：T (n) = O( f(n) )

将T(n)表示为一个大O函数，函数的自变量为f(n)，即完成了用 f(n)的形式表示T(n)。

O( f(n) ) 表示：存在一个大于0的常数c，当问题规模 n **远远大**于2时，有 T(n) **小于** c倍的 f(n) 。

这样，使用 O( f(n) ) 简洁明了的反映出了 T(n) 的**变化趋势,** 同时反映出了问题规模的**上界。**

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### Ω表示法 - 确定算法下界（最好情况） ###

确切的解，用θ表示法

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## 1.3 常见的复杂度 ##

常数复杂度O(1)

对数复杂度(或者称 对数多项式复杂度) ![2020010716524084.png][]

多项式复杂度（可解的）![20200107165244859.png][]

指数复杂度（不可解的）![20200107165300585.png][]

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![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 13][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 14][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 15][]

指数复杂度不可解的一个例子：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 16][]

### 各种级别的复杂度 总结对比 ###

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 17][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 18][]

##  ##

# 二. 算法分析详解 #

在渐进意义上，c++等编程语言的基本指令，同常数条RAM的基本指令，基本相当，所以，通常会使用编程语言中，基本指令的条数来衡量算法复杂度。

## **2.1 算法分析的主要方法如下** ##

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## 2.2 基本的数学知识回顾 ##

### 级数 ###

包含算数级数，幂方级数，几何级数，收敛级数，调和级数，对数级数。

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### 循环 vs 级数 ###

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 22][]

几何级数的时间复杂度，与它的末项同阶。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 23][]

## 2.3 封底估计 ##

算法定量的估计，Back-of-The-Envelope Calculation

"三生三世"中的一天，正如一天中的一秒一样长。

熟知以下的时间概念：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 24][]

通过提高硬件，可以将30 year 的计算时间缩短到 20 min；通过算法的改进，可以将 30 year 缩短到 30 seconds，课件算法改进的重要性。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 25][]

# 三. 经典算法 #

## 3.1 迭代 vs 递归：减而知之 ##

### 例子：数字求和 ###

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空间复杂度的考量：**除了输入本身**所占的空间之外，我们需要的，另加的，计算所必须的那些空间的总量。

**减而知之（Decrease-and-conquer）：**不是平均分配问题，而是蚂蚁吞大象的方式。

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分析时间复杂度时，递归的表达式可以直接抹掉（忽略掉）。

### **算法分析 - 递归跟踪**： ###

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### **算法分析 -** 递推分析： ###

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### 例子：数组倒置 ###

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 30][]

## 3.2 迭代 vs 递归：分治法 ##

**分治****（分而治之，**Divide-and-conquer**）**：分成的子问题，**规模相当。**

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### 例子：数组求和 ###

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 32][]

时间复杂度分析**思想**：

画出**递归跟踪**，可以看出，各层之间构成是几何级数关系；从渐进意义上来看，其时间复杂度等于最低层的实例的个数（sum(0,0) sum(1,1) ...），一共n个实例，所以可以直接看出，该算法的时间复杂度是O(n).

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从**递推**的角度分析如下：列出递推方程，求解T(n).

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### 例子：迭代找最大值和次大值 ###

**方法一：**两次扫描，第一次找最大值，第二次分成两块，找次大值

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**方法二：**两个索引，一次扫描，找到最大值和次大值

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**方法三**：递归 加 分治的方法，将数组拆分成两半，分别找各自一半中的最大值和次大值，然后比较两个分组中最大值和次大值

如: 左侧一半最大值次大值分别是 x1L, x2L， 右侧的最大值次大值分别是x1R,x2R; 先比两者的最大值，若右侧的最大值小于左侧的最大值，则得到整个数组的最大值，然后拿右侧的最大值和左侧的次大值比较，以此得出整个数组的次大值。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 37][]

## 3.3 迭代 vs 递归：动态规划 ##

在找到问题的**递归**解法之后，将其等效的**转换为迭代**的形式。

基本思想：**取决于该问题是否能用动态规划解决的是这些”小问题“会不会被被重复调用。（每个递归实例只需计算一次，将递归转成迭代的方法）**

如何理解动态规划？ [https://www.zhihu.com/question/39948290][https_www.zhihu.com_question_39948290]

### 斐波那契数列 ###

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 38][]

上述算法，计算第43项需要1s, 计算67项需要1day, 计算92项，则需要3个世纪...

采用如下递归跟踪的方法，可以看出存在大量重复计算的实例。

如右侧的一个例子，上台阶问题：从第0阶台阶，到第6阶台阶，有两种走法，每次走一个台阶，或者每次走两个台阶，一共有多少种走法，6个台阶走法数就是斐波那契数列的第6项。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 39][]

**动态规定的思想**（迭代的算法）：

g f：通过迭代的方法，使得程序始终指向相邻的两阶，即相邻的两项，整体呈现出不断的交替的，滚动的方式不断向前推进，直到最终解。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 40][]

### **寻找两个字符串中的最长公共子序列（LCS）** ###

参考视频如下：

![20200114211225219.png][]

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![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 42][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 43][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 44][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 45][]

分析可知，使用递归的复杂度O(2^n), 而递归过程中有太多的重复的实例的计算，所以应该考虑到使用迭代的方式，进行计算，基于迭代的动态规划算法的复杂度只有O(n\*m)，在递归中，每个实例只需计算一次，大大简化了计算量。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 46][]

**总结：**

**递归，虽然可以很容易帮助我们找到一个正确的解，但是如果要提高效率，使之变成一个实用算法的话，我们往往还需要进一步的调试，而在这个过程中，动态规划，扮演着重要的角色。**

参考：邓俊辉 算法 清华 [https://www.bilibili.com/video/av75509584?p=1][https_www.bilibili.com_video_av75509584_p_1]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200106103842620.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ==,size_16,color_FFFFFF,t_70
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