算法快学笔记（十五）：贪婪算法与NP完全问题

╰半橙微兮° 2023-06-13 03:24 58阅读 0赞

# 1. 贪婪算法 #

## 1.1 算法思路 ##

贪婪算法的思想很简单：每步都采取最优的做法，以教室调度为例进行说明该算法步骤。

假设有以下课表，希望将尽可能多的课程安排在同一个教室：

![在这里插入图片描述][20191113162634379.jpg]

由于不同课的开始与结束时间存在冲突，所以不可能把所有课放在一个教室上。使用贪心算法的解决思路如下：

1.  选出结束最早的课，它是上的第一堂课。 此时选择美术课
2.  接下来选择第一堂课结束后才开始的课。同样，你选择结束最早的课，这将是要第二堂课。此时选择数学课。
3.  重复步骤二，此步得到音乐课

于是使用贪婪算法得到的结果就是:美术-》数学-》音乐。

## 1.2 例外情况 ##

贪婪算法并不适合所有的场景，例如背包问题。背包问题描述如下：

1.  假设一个背包可以放35磅重的东西，你试图通过该背包尽可能装入总价值最高的商品
2.  商品的列表如下：

*  音响：3000美元，30磅
 *  电脑：2000美元，20磅
 *  吉他：1500美元，15磅

按照贪婪算法，每步都选择最优方案的话，则第一步将会选择音响，此时总价值为3000美元，背包还剩5磅的空间，然后其他的物品超过了5磅，所以也不能再进行选择。

如果选择电脑+音响的话，总价值为3500美元，重量刚好符合要求。

**总结：当你只需找到一 个能够大致解决问题的算法，此时贪婪算法正好可派上用场，因为它们实现起来很容易，得到的结果又与正确结果相当接近。**

# 2. NP完全问题 #

对于一些需要较大计算量才能解决的问题可理解为NP完全问题，为了可以更好的理解这个概念，以集合覆盖问题以及旅行商问题对该问题进行说明

## 2.1 集合覆盖问题（组合问题） ##

假设你办了个广播节目，要让全美50个州的听众都收听得到。为此，你需要决定在哪些广播台播出（全组合问题）。在每个广播台播出都需要支付费用，因此你力图在尽可能少的广播台播出。广播电视台的清单如下：  
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每个广播台可能覆盖多个区域，不同广播台的区域可能重叠，如何找出覆盖全美50个州的最小广播台集合呢?听起来很容易，但其实非常难。具体方法如下。

1.  列出每个可能的广播台集合，该问题等价于有n个广播台，则存在多少种组合的可能，组合的推导公式为：  
    ![在这里插入图片描述][20191113162724825.jpg]
2.  从步骤一得列表中选择出可以覆盖50个州得最小集合。

当有100个站点时，就有2的100次方个组合的可能，对于目前的计算机性能而言，该集合的数量将会成为一个计算难题。

## 2.2 旅行商问题（排列问题） ##

如果有N个城市需要遍历，期初可以选择的城市有N个，下一步可选择的城市为N-1个，下下步可选择的城市为N-2个…。该问题可转化为数学中的全排列问题，既有N个城市时，有N!种可能。

该问题与集合覆盖问题类似，当N很大时，计算结果需要花费较大的计算资源。

## 2.3 定义 ##

NP完全问题有以下几个显著的特点：

*  元素较少时算法的运行速度非常快，但随着元素数量的增加，速度会变得非常慢。
 *  涉及“全排列”与“全组合”的问题通常是NP完全问题。
 *  不能将问题分成小问题，必须考虑各种可能的情况。这可能是NP完全问题。
 *  如果问题可转换为集合覆盖问题或旅行商问题，那它肯定是NP完全问题。

## 2.4 NP完全问题的解决方案 ##

可以使用近似算法来解决解决该问题，该问题说明请看下节。

# 3. 近似算法 #

近似算法(approximation algorithm)是指由于获得精确解需要的时间太长时，可使用近  
似算法。判断近似算法优劣的标准如下:

*  速度有多快;
 *  得到的近似解与最优解的接近程度。

贪婪算法是近似算法的一个代表，它不仅简单，而且通常运行速度也很快。

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