[概率] 概率论笔记

深藏阁楼爱情的钟 2023-06-02 15:52 59阅读 0赞

# 概率论学习 #

## 一些概念与约定符号 ##

*  随机试验:E
 *  样本点:E的一个可能结果
 *  样本空间:S(由E的所有样本点组成)
 *  事件:大写字母(S的子集)
 *  不可能事件:\$\\emptyset\$(S的空集)
 *  A的频数:\$n\_A\$
 *  A的概率:\$P(A)=n\_A/n\_S\$

## 事件关系 ##

1.  **包含**:若A发生B一定发生,则称B包含A,记为\$A\\subset B\$
2.  **相等**:若\$A\\subset B\$且\$B\\subset A\$,则A等于B,记为A=B
3.  **和事件**:\$A\\bigcup B\$称为A与B的和事件,当且仅当A或B发生时,A\$\\bigcup\$B发生.n个\$A\_i\$的并\$\\bigcup^\{n\}\_\{i=1\}A\_i\$
4.  **积事件**:\$A\\bigcap B(AB)\$称为A与B的积事件,当且仅当A,B同时发生时,A\$\\bigcap\$B发生.n个\$A\_i\$的积\$\\bigcap^\{n\}\_\{i=1\} A\_i\$
5.  **差事件**:\$A-B\$,当且仅当\$A\$发生,\$B\$不发生时\$A-B\$发生
6.  **互斥**:若\$AB=\\emptyset\$,则A,B互斥
7.  **对立**:若\$AB\$互斥且\$A\\bigcup B=S\$,则A,\$对立对立对立B对立,\$B=!A$

## 运算法则 ##

1.  **交换率**:咕
2.  **结合率**:咕
3.  **分配率**:(易错)  
    \\\[ A\\bigcup (BC)=(A\\bigcup B)(A\\bigcup C)\\\\ A(B\\bigcup C)=(AB)\\bigcup (AC) \\\]
4.  **摩根定律**:  
    \\\[ !(A\\bigcup B)=!A!B\\\\ !(AB)=!A\\bigcup!B \\\]

## 概率性质: ##

1.  非负性
2.  规范性
3.  可列可加性
4.  推论
    
     *  \$P(\\emptyset)=0\$
     *  \$P(!A)=1-P(A)\$
     *  若\$A\_1,A\_2,A\_3......A\_n\$两两互斥,则\$P(\\bigcup^\{n\}\_\{i=1\}A\_i)=\\sum^n\_\{i=1\}P(A\_i)\$
     *  若\$B\\subset A\$,则\$P(A-B)=P(A)-P(B)\$
     *  \$P(A\\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\$
     *  推广:设\$C=A\\bigcup B\$,则  
        \\\[ P(C\\bigcup D)=P(C)+P(D)-P(DC) \\\]  
        由  
        \\\[ P((A\\bigcup B)D)=P((AD)\\bigcup (BD)) \\\]  
        有  
        \\\[ P(DC)=P(AD)+P(BD)-P(ABD) \\\]  
        代入可得  
        \\\[ P(A\\bigcup B\\bigcup D)=P(A)+P(B)+P(D)-P(AB)-P(BD)-P(AD)+P(ABD) \\\]  
        进一步可得  
        \\\[ P(\\bigcup\_\{i=1\}^\{n\}A\_i)=(-1)^0\\sum^n\_\{i=1\}P(A\_i)+(-1)^1\\sum\_\{1\\leq i<j \\leq n\}P(A\_iA\_j)......+(-1)^\{n-1\}P(\\bigcap\_\{i=1\}^nA\_i) \\\]

## 古典概型 ##

1.  **特点**:1.\$S\$的元素个数有公式限 2.每个样本点(互斥)发生的可能性相同
2.  设\$A\$包含k个样本点,\$S\$包含n个,则\$P(A)=k/n\$
3.  **经典问题**
    
     *  生日悖论:随机取n个人,生日两两不同的概率为(\$\\prod\_\{i=0\}^\{n-1\}(365-i))/365^n\$
     *  超几何分布公式:有n个物品,其中有p个次品,现从n个物品中随机取出m个物品,则取出的物品中有k个次品的概率为  
        \\\[ \\binom\{k\}\{p\}\*\\binom\{n-p\}\{m-k\}/\\binom\{n\}\{m\} \\\]
     *  抽签的公平性证明

## 条件概率 ##

B在A发生的前提下发生,记为  
\\\[ P(B|A)=n\_\{AB\}/n\_A=(n\_\{AB\}/n\_S)/(n\_A/n\_S)=P(AB)/P(A) \\\]

## 乘法定理 ##

AB发生的概率有公式  
\\\[ P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) \\\]  
推广:设\$D=AB,P(AD)=P(D)P(C|D)=P(B)P(A|B)P(C|AB)\$  
更进一步有  
\\\[ P(\\bigcap\_\{i=1\}^nA\_i)=P(A\_1)P(A\_2|A\_1)P(A\_3|A\_1A\_2)......P(A\_n|\\bigcap\_\{i=1\}^\{n-1\}A\_i) \\\]

## 独立性 ##

1.  **定义**:当\$P(AB)=P(A)P(B)\$时,称A与B相互独立(注:独立与互斥没有关系)
2.  若\$独立且独立且独立且A,B独立且P(B)>0\$独立,则有\$P(A|B)=P(A)\$
3.  若\$独立则和也独立独立则和也独立独立则和也独立A,B独立,则A,!B和!A,!B也独立\$.易证不证
4.  当A,B,C两两独立且有\$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\$时,称A,B,C相互独立

## 随机变量 ##

1.  \$\\forall e\\in S\$我们设定一个实数x与之对应,记为\$X(e)\$,再规定变量X,使$P\\lbrace X=X(e)\\rbrace =P\\lbrace e\\rbrace \$,则称X为随机变量(\$r.v$)
2.  $P(B)=P\\lbrace X(e)|e\\in B\\rbrace $

## 离散型随机变量与分布率类型 ##

设X的所有可能取值为\$x\_k,p\_k\$为\$X=x\_k\$的概率,设\$P\\lbrace X=x\_k\\rbrace =p\_k,k=1,2,3...\$,称此为X的分布率.易知  
\\\[ pi\\ge 0,\\sum^n\_\{i=1\} pi=1 \\\]

1.  **二项分布**  
    若E只有A与!A两种结果,\$P(A)=p\$,则称E为伯努利试验,重复进行n次E,E与E之间没有影响,记发生k次的A的概率为\$p\_k\$,X为k的随机变量.易知  
    \\\[ p\_k=\\binom \{n\}\{k\}p^k(1-p)^\{n-k\} \\\]  
    那么称  
    \\\[ P\\lbrace X=k\\rbrace =\\binom \{n\}\{k\}p^k(1-p)^\{n-k\},k=0,1,...n \\\]  
    为伯努利分布(\$p\_k\$也为\$(p+1-p)^k\$含\$p^k\$的那一项).  
    对于进行n次试验,\$P(A)=p\$的伯努利分布,我们称X为服从参数为n,p的二项分布,记为\$X\$~\$b(n,p)\$.  
    特别的,\$X\$~\$b(1,p)\$也叫做\$(0-1)\$分布
2.  **泊松分布**  
    若  
    \\\[ P\\lbrace X=k\\rbrace =\\frac\{\\lambda ^ke^\{-k\}\}\{k!\},k=0,1,2... \\\]  
    则称X为服从参数为\$\\lambda\$的泊松分布,记为\$X\$~\$\\pi(\\lambda)\$  
    那泊松分布是否满足分布率的性质?首先显然有\$p\_k\\ge 0\$  
    其次  
    \\\[ \\sum^\\infty \_\{k=0\} \\frac\{\\lambda^ke^\{-\\lambda\}\}\{k!\}=e^\{-\\lambda\} \\sum^\\infty\_\{k=0\}\\frac\{\\lambda^k\}\{k!\} \\\]  
    根据麦克劳林公式:  
    \\\[ \\sum^\\infty\_k=\\frac\{\\lambda^k\}\{k!\}=e^\\lambda \\\]  
    可得  
    \\\[ \\sum^\\infty \_\{k=0\} \\frac\{\\lambda^ke^\{-\\lambda\}\}\{k!\}=1 \\\]  
    当\$X\$~\$b(n,p)\$的n很大时,非常不好求,但根据如下式子(\$\\lambda=np\$):  
    \\\[ \\lim\_\{n\\to \\infty\}\\binom\{n\}\{k\}p^k(1-p)^\{n-k\}=\\frac\{\\lambda^ke^\{-\\lambda\}\}\{k!\} \\\]  
    我们可以泊松分布来逼近二项式分布,证明暂时咕掉  
    **hhhhhh**

转载于:https://www.cnblogs.com/flashlizard/p/11353363.html