王者荣耀中的数学原理及游戏策略(一)防御篇(护甲|魔抗|伤害运算机制)

不念不忘少年蓝@ 2023-06-02 10:51 92阅读 0赞

王者荣耀中涉及多种装备，其中，防御型装备有护甲，魔抗，生命值的加成。这些装备到底对于游戏中的增益如何体现，可以通过相应的数据进行研究。

代码地址：[https://github.com/Xingxiangrui/KoG\_epuipment\_enhancement\_calcu][https_github.com_Xingxiangrui_KoG_epuipment_enhancement_calcu]

**目录**

一、护甲带来的伤害减免

1.1 伤害减免公式

1.2 伤害比例可视化

1.3 承伤次数

1.4 最大化可承伤总量

1.5 常见装备增益及运算

增益与单位金币增益

1.5 重要结论

二、混合伤害

2.1 混合伤害的公式

2.2 如何最小化可承受伤害

2.3 出装策略

--------------------

# 一、护甲带来的伤害减免 #

我们先来考虑最简单的情况，即对方没有暴击，也没有护甲穿透。并且只考虑护甲与AD带来的伤害计算，不考虑AP情况。

## 1.1 伤害减免公式 ##

实际伤害，在不考虑穿甲的情况下，实际受到的伤害RAD(real ad，生命值实际损失量)为：

![20191004190411691.png][]

其中：

*  实际受到的伤害RAD，即我方实际生命值，在敌方AD输出下减去的量
 *  AD为对方的物理攻击，比如对方射手攻击力为AD
 *  AR为我方护甲值
 *  护甲AR越大，则受到的AD伤害的比例越小
 *  护甲AR越小，则受到的AD伤害的比例越大，特别的，当AR值为0时，受到AD伤害的比例为100%

## 1.2 伤害比例可视化 ##

横轴为所受的伤害比例，可以显而易见看出，护甲越大，则受到的伤害的比例越小。护甲越小，则受到的实际伤害的比例越大。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjQ3NDgwOQ_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

受到的伤害的比例是602/(602+AR), 即602占（602+AR）的比例。

*  例如，物理防御AR是109的时候，受到AD伤害比例是84.9%
 *  当物理防御AR是602的时候，受到AD伤害的比例是50%

我们可以算出护甲值每增加一定的量，减免伤害的比例的增量，护甲值越小，则减免增量越大。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjQ3NDgwOQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

附加可视化代码：

#!/usr/bin/python
    # -*- coding: UTF-8 -*-
    """
    运算王者荣耀装备机制
    """
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    import math
    import pandas as pd
     
    ################  1.实际伤害比例与护甲值计算
    plt.figure(1)
     
    # 比例显示与运算
    AR=[]
    AD_ratio=[]
     
    AR_all=np.linspace(0,1500,10) # 0-1500之间的护甲值
     
    for AR_item in AR_all:
        AR.append(AR_item)
        AD_ratio.append(602/(602+AR_item)*100)
     
    # 画图显示
    plt.plot(AR,AD_ratio,marker='o')
    plt.xlim(0,1500)
    plt.grid( color = 'blue',linestyle='-',linewidth = 0.3)
    plt.ylim(0,100)
     
    for a, b in zip(AR, AD_ratio):
        a=round(a,0) #规定一位精度
        b=round(b,1)
        plt.text(a, b, (a,b),ha='center', va='bottom', fontsize=10)
     
    plt.title('护甲与AD伤害比例%', fontproperties="SimSun")
    plt.xlabel('AR护甲', fontproperties="SimSun")
    plt.ylabel('AD受到伤害比例', fontproperties="SimSun")
    #plt.show()
     
    # 表格显示
     
    AR=[]
    AD_ratio=[]
    ratio_decrese=[]
    AR_all=np.linspace(0,1500,16) # 0-1500之间的护甲值,第三个参数是值的数量
    for AR_item in AR_all:
        AR.append(round(AR_item,0))
        AD_ratio.append(round(602/(602+AR_item)*100,2))
        ratio_decrese.append(round((602/(602+AR_item)-602/(602+AR_item+100))*100,2))
    df = pd.DataFrame(index=AR)
    df["AD_ratio"]=AD_ratio
    df["ratio_decrese"]=ratio_decrese
     
    HEADER = '''
        <html>
            <head>
                <meta charset="UTF-8">
            </head>
            <body>
        '''
    FOOTER = '''
            <img src="%s" alt="" width="1200" height="600">
            </body>
        </html>
        '''
    with open("C:\\Users\\xingxiangrui\Desktop\\照片\\test.html", 'w') as f:
        f.write(HEADER)
        f.write(df.to_html(classes='df'))
        f.write(FOOTER)
     
    print("Program done!")

## 1.3 承伤次数 ##

上面看到，按照护甲与伤害的计算公式，并非线性的关系，而是一个反比例函数的关系。

*  即护甲越低，则出护甲带来的收益越大。
 *  那对于生命值与护甲如何权衡的问题，是否护甲值较低的时候出护甲，护甲值高的时候出生命值，效益就高呢？
 *  答案可能并非如此，所以我们将生命值HP加入，加上护甲进行推导。

假定我们生命值为HP，敌方输出为AD，我们实际承受的伤害是

![20191004190545168.png][]

则可以承受伤害的次数为：

![20191004190545184.png][]

可以看出，经过此公式换算之后，假定敌方AD为常数，则能够承受的伤害的次数只与护甲AR与生命值HP有关。

*  我方生命值为HP，敌方物理输出为AD，我方护甲为AR
 *  我方受到的实际伤害为RAD，生命值除以RAD代表可以承受伤害的次数
 *  经过化简之后，此值与我方生命值HP，我方护甲AR成线性关系，与敌方AD成反比例关系。
 *  很容易理解，敌方AD越高，则我方可以承受的伤害次数越少。我方生命值或者护甲越高，则能够承受伤害的次数越多。

## 1.4 最大化可承伤总量 ##

装备优化生命值或者护甲的目的，就是最大化可以承受伤害的总量。

可承受AD伤害总量为：

![20191004190545186.png][]

*  可以承受的总AD伤害是与（生命值HP，护甲AR）相关的函数。
 *  最大化承伤总量，就是等价于最大化HP\*(AR+602)的问题。

**加入护甲穿透的效果**

再此基础上，可以加入敌方穿甲带来的效果。假定护甲穿透值ARP(Armor Penetration)

加入穿甲的总效果为  AR-ARP.例如下面这件装备，陨星的ARP为60.所以实际计算的时候护甲值就是AR-60

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjQ3NDgwOQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

如果是百分比穿甲，例如碎星锤，可以穿透的护甲百分比，即ARP=0.4AR，所以最终护甲为AR-ARP=AR-0.4AR

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjQ3NDgwOQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

对于最终的护甲是先乘后加还是先加后乘？这个优先级的问题需要后续实验给出。

护甲=原始护甲\*穿透率-穿透量 or 护甲=（原始护甲-穿透量）\*穿透率

暂时按照减法模型，最终加入敌方穿甲所带来的可承受AD伤害总量为：

![20191004190629691.png][]

此公式表示我方可以承受的敌方最大的AD输出量

## 1.5 常见装备增益及运算 ##

装备通过增加最大生命值HP或者增加护甲AR的方式可以带来最大承受AD伤害的增益：

*  因此，我们可以看不同装备带来的最大可承伤AD总量。装备带来的可承受AD增量=装备前-装备后
 *  单位金币带来的最大可承受AD增量=装备带来的可承受AD增量/装备价格

例如，射手马可波罗的属性：

*  一级：初始生命值HP=3041，物理防御护甲AR=91，物理穿透ARP=55，魔抗PR=50
 *  四级：初始生命值HP=3586，物理防御护甲AR=145，物理穿透ARP=55，魔抗PR=75
 *  八级：初始生命HP=4312，物理防御护甲AR=217，物理穿透ARP=55，魔抗PR=109
 *  十二级：初始生命HP=5039，物理防御护甲AR=290，物理穿透ARP=55，魔抗PR=143
 *  十五级满级时：初始生命HP=5584，物理防御AR=344，物理穿透ARP=55，魔抗PR=169

通过python编写程序运算出可承受的最大物理伤害的物理增益。

#!/usr/bin/python
    # -*- coding: UTF-8 -*-
    """
    运算王者荣耀装备机制
    """
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    import math
    import pandas as pd
    
    ################  2.装备带来增益计算
    '''
    一级：初始生命值HP=3041，物理防御护甲AR=91，物理穿透ARP=55，魔抗PR=50
    可承受最大物理伤害
    四级：初始生命值HP=3586，物理防御护甲AR=145，物理穿透ARP=55，魔抗PR=75
    八级：初始生命HP=4312，物理防御护甲AR=217，物理穿透ARP=55，魔抗PR=109
    十二级：初始生命HP=5039，物理防御护甲AR=290，物理穿透ARP=55，魔抗PR=143
    十五级满级时：初始生命HP=5584，物理防御AR=344，物理穿透ARP=55，魔抗PR=169
    '''
    HP=np.array([3041,3586,4312,5039,5584])
    AR=np.array([91,  145, 217, 290, 344])
    ARP=np.array([55, 55,  55,  55,  55])
    
    max_AD=HP*(602+AR-ARP)/602
    
    max_AD_sub=[]
    
    for idx in range(0,len(max_AD)-1):
        max_AD_sub.append(round(max_AD[idx+1]-max_AD[idx]))
    
    print("1，4，8，12，15级可承受最高AD伤害")
    print(max_AD.astype(np.int))
    print("可承受最大伤害差值：")
    print(max_AD_sub)
    
    #布甲+90，守护铠+210，反伤甲+420
    print("220，承伤增益布甲AR+90:")
    enhanced_AD=HP*(602+AR+90-ARP)/602-max_AD
    print(enhanced_AD.astype(np.int)) #增益量
    print((enhanced_AD/220*100).astype(np.int)) #100金币增益量
    print("730，承伤增益守护铠+210")
    enhanced_AD=HP*(602+AR+210-ARP)/602-max_AD
    print(enhanced_AD.astype(np.int))
    print((enhanced_AD/730*100).astype(np.int)) #100金币增益量
    print("1840,承伤增益反伤甲+420")
    enhanced_AD=HP*(602+AR+420-ARP)/602-max_AD
    print(enhanced_AD.astype(np.int))
    print((enhanced_AD/1840*100).astype(np.int)) #100金币增益量
    
    
    #红水晶
    print("300,红水晶HP+300：")
    enhanced_AD=(HP+300)*(602+AR-ARP)/602-max_AD
    print(enhanced_AD.astype(np.int))
    print((enhanced_AD/300*100).astype(np.int)) #100金币增益量
    
    #力量腰带
    print("900,力量腰带HP+1000:")
    enhanced_AD=(HP+1000)*(602+AR-ARP)/602-max_AD
    print(enhanced_AD.astype(np.int))
    print((enhanced_AD/900*100).astype(np.int)) #100金币增益量
    
    #霸者重装
    print("2070,霸者重装HP+2000:")
    enhanced_AD=(HP+2000)*(602+AR-ARP)/602-max_AD
    print(enhanced_AD.astype(np.int))
    print((enhanced_AD/2070*100).astype(np.int)) #100金币增益量
    
    #不祥征兆
    print("2180,不祥征兆：HP+2000，AR+270:")
    enhanced_AD=(HP+1200)*(602+AR+270-ARP)/602-max_AD
    print(enhanced_AD.astype(np.int))
    print((enhanced_AD/2180*100).astype(np.int)) #100金币增益量
    
    #红莲斗篷
    print("1830,红莲斗篷：HP+1000，AR+240:")
    enhanced_AD=(HP+1000)*(602+AR+240-ARP)/602-max_AD
    print(enhanced_AD.astype(np.int))
    print((enhanced_AD/1830*100).astype(np.int)) #100金币增益量
    
    print("1830+2180，红莲加不祥征兆")
    enhanced_AD=(HP+1000+1200)*(602+AR+240+270-ARP)/602-max_AD
    print(enhanced_AD.astype(np.int))
    print((enhanced_AD/(1830+2180)*100).astype(np.int)) #100金币增益量
    
    print("Program done!")

### 增益与单位金币增益 ###

运行结果：

1，      4，     8，      12，     15级可承受最高AD伤害

\[3222  4122   5472   7006     8264\]

可承受最大伤害差值：

\[899.0, 1350.0, 1534.0, 1259.0\]

*  此处可以看出随着等级增长，属性基本线性增加
 *  近似线性的增量显然为了游戏对抗的激烈性考量，滚雪球要线性的滚，给失败者翻盘的机会

一下数组，第一行为装备带来的增益，第二行为每100金币带来的增益：

![20191004190808818.png][]

220，承伤增益布甲AR+90:

\[454  536 644 753 834\]     各级别购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

\[206  243 293 342 379\]     各级100金币购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

看出小件针对单位金币的提升较大。护甲对单位金币提升较大。

![20191004190809160.png][]

730，承伤增益守护铠+210

\[1060 1250 1504 1757 1947\]  各级别购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

\[145   171   206   240   266\]    各级100金币购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

大件有被动属性加成，因此带来的提升没那么大

![20191004190809203.png][]

1840,承伤增益反伤甲+210

\[2121  2501  3008  3515  3895\]    各级别购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

\[115    135    163    191    211\]      各级100金币购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

![20191004190809111.png][]

300,红水晶HP+300：

\[317 344 380 417 444\]     各级别购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

\[105 114 126 139 148\]     各级100金币购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

血量针对AD或者AP带来的提升都不大，但是应对混合伤害提升较大。

![2019100419080919.png][]

900,力量腰带HP+1000:

\[1059 1149 1269 1390 1480\]     各级别购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

\[117   127   141   154   164\]       各级100金币购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

血量装大件或者小件单位金币带来的增益基本持平。

![2019100419080964.png][]

2070,霸者重装HP+2000:

\[2119   2299   2538   2780    2960\]   各级别购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

\[102     111    122      134     143\]      各级100金币购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

![2019100419080940.png][]

2180,不祥征兆：HP+2000，AR+270:

\[3173   3525   3995   4466   4818\]   各级别购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

\[145     161     183     204     221\]     各级100金币购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

混合属性装备带来的提升相对较大，并且有相应的被动增益。

![20191004190809116.png][]

1830,红莲斗篷：HP+1000，AR+240:

\[2670   2977   3386   3797   4104\]   各级别购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

\[145     162     185     207     224\]     各级100金币购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

1830+2180，红莲加不祥征兆

\[6771   7430   8308   9191    9850\]    各级别购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

\[168    185     207     229       245\]      各级100金币购买装备带来的最大可承受AD伤害增益

*  两件类似属性装备叠加，总体提升较大。
 *  ![2019100419080924.png][]
 *  因为公式中是二次函数式的增加，HP增加，则可增加AR带来的增益，反之亦然。

## 1.5 重要结论 ##

根据上面单位增益进行运算发现

*  仅仅出增加HP的装备，则单位金币带来应对AD的增益较低
 *  单出护甲，则应对AD伤害增益较高
 *  大件带来的单位增益比小件更低。（大件的价值更多的来自于被动效果，也就是小件撑被动，小件撑属性）
 *  混合血量和护甲带来的AD增益高
 *  大件混合型装备虽然金币上有一些差距，但是单位金钱对于属性的增益基本一致，因此出装时可以更关注被动
 *  多件同属性装备叠加带来的增益高。例如红莲斗篷与不祥征兆，单个增益均不如两个叠加带来的增益高

# 二、混合伤害 #

## 2.1 混合伤害的公式 ##

实际收到的伤害是AD伤害与AP伤害一起叠加。

其中，因为敌方AD带来的生命值损失量RAD为：

![20191004190851241.png][]

*  这个公式前面已经解释过，RAD是己方生命值的扣除量，
 *  AD是敌方的AD输出，AR是我方护甲，护甲用于对敌方的AD输出进行比例缩减

同理，我方因敌方带来的AP造成的生命值损失RAP为：

![20191004190851246.png][]

*  类比AD的情况，RAP是己方生命值的扣除量，
 *  AP是敌方的AP输出，PR是我方魔抗，魔抗用于对敌方的AD输出进行比例缩减

最终，受到的所有AP，AD伤害为：

![20191004190851262.png][]

## 2.2 如何最小化可承受伤害 ##

可承受的伤害，相当于己方已有的生命值HP，除以敌方因为AP，AD输出带来的我方总的生命值的扣除量。

![20191004190851281.png][]

类似于一个调和平均数的东西。

假定HP，AD，AP为常数，最小化此值需要：

*  AD/(602+AR)=AP/(602+PR)
 *  即602+AR与602+PR与AD，AP成比例

加入真实伤害（AT）后：

![20191004190851282.png][]

## 2.3 出装策略 ##

如果敌方AD较多，则多出护甲大件收益高

如果敌方AP较多，则多出魔抗大件收益高

如果敌方AP，AD混合，或者真实伤害AT较高，可以在出了魔抗和护甲的基础上出血量。

[https_github.com_Xingxiangrui_KoG_epuipment_enhancement_calcu]: https://github.com/Xingxiangrui/KoG_epuipment_enhancement_calcu
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjQ3NDgwOQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20230601/d5dd1aa37528471f8beecbe7e422b6d0.png
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[20191004190545168.png]: /images/20230601/217aa5199ac8437a9e8ed542bbe54abf.png
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[20191004190545186.png]: /images/20230601/1ee7e60ad6b046e3885cda270ec57198.png
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[20191004190808818.png]: /images/20230601/cc52102f96a443d5af56cbd397a6efc7.png
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