洛必达法则

待我称王封你为后i 2023-06-01 06:18 13阅读 0赞

## 洛必达法则 ##

对于极限，  
\\\[\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to a \\\\ (x\\to\\infty) \} \}\\frac\{f(x)\}\{g(x)\}\\\]

对于未定式，也就是$ \\frac\{0\}\{0\}$, \$\\frac\{\\infty\}\{\\infty\}\$, \$\\infty-\\infty\$, \$0\\cdot\\infty\$, \$0^0\$, \$0^\\infty\$, \$\\infty^0\$, \$1^\\infty\$ 等形式的极限，都可以**直接**或者**变形**后用**洛必达法**则进行计算。  
注意：**可以用等价无穷笑的先用等价无穷小代换后再计算**

## 1. \$\\frac\{0\}\{0\}\$ 型 ##

#### 例一：求极限 ####

\\\[\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0 \} \}\\frac\{x-tanx\}\{(sinx)^3\}\\\]

解：代价无穷小代换：\$sinx\\sim x\$  
\\\[\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0 \} \}\\frac\{x-tanx\}\{(sinx)^3\}\\\]  
\\\[=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0 \} \}\\frac\{x-tanx\}\{(x)^3\}=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0 \} \}\\frac\{(x-tanx)'\}\{(x^3)' \}=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0 \} \}\\frac\{1-sex^2x\}\{3x^2 \} \\\]  
\\\[=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0 \} \}\\frac\{-tan^2x\}\{3x^2\}=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0 \} \}\\frac\{-x^2\}\{3x^2\}\\\]  
\\\[=-\\frac\{1\}\{3\}\\\]

--------------------

1.  $ tanx^2=secx^2-1$

2.\$tanx \\sim x\$

### 补充：常用等价无穷小\$x\\to 0\$时 ###

--------------------

\\\[sinx \\sim x\\\]  
\\\[tanx\\sim x\\\]  
\\\[1-cosx \\sim \\frac\{1\}\{2\}x^2\\\]  
\\\[arcsinx \\sim x\\\]  
\\\[arctanx \\sim x\\\]  
\\\[a^x-1 \\sim xlina\\\]  
\\\[e^x-1 \\sim x\\\]

--------------------

点乘：\\cdot  
\$a\\cdot b\$

叉乘:\\times  
\$a\\times b\$

除以:\\div  
\$a\\div b\$

~在Latex表示空格，可以用\\sim转义代替  
\\\[A\\sim B\\\]

$$A\sim B$$

## 例二：求极限 ##

\\\[\\lim\\limits\_\{\\substack\{x \\to 0 \} \} \\frac\{e^x+e^\{-x\}-2\}\{x-sinx\}\\\]

\\\[ \\color\{\#ea4335\}\{ =\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0 \} \}\\frac\{e^x-e^\{-x\}\}\{1-cosx\}(第一次使用洛必达法则)\}\\\]  
\\\[=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0 \} \}\\frac\{e^x-e^\{-x\}\}\{\\frac\{1\}\{2\}x^2\}(等价无穷小:1-cosx\\sim \\frac\{1\}\{2\}x^2)\\\]  
\\\[=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0 \} \}\\frac\{e^x+e^\{-x\}\}\{x\}(第二次使用洛必达法则) \\color\{\#34a853 \}\{\\rightarrow\} \\color\{\#34a853\}\{\\frac\{2\}\{0\}\} \\\]  
\\\[=\\infty\\\]

--------------------

## 2. $ \\frac\{\\infty\}\{\\infty\}$型 ##

## 例三：求 ##

\\\[\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to +\\infty \} \}\\frac\{lnx\}\{x^\{\\alpha\}\},(\\alpha>0)\\\]

解：\\\[=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to +\\infty \} \}\\frac\{ \{1\}\\over\{x\}\}\{\\alpha x^\{\\alpha-1\}\}=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to +\\infty \} \}\\frac\{1\}\{ \\alpha\\cdot x^\{\\alpha\}\}=0\\\]

\\\[(x\\rightarrow +\\infty,x^\{\\alpha\}\\to \\infty )\\\]

## 3. \$\\infty-\\infty\$型 ##

技巧：通分化简，通分，根式有理化；变量替换等方法转化为 \$\\frac\{0\}\{0\}\$型，或\$\\frac\{\\infty\}\{\\infty\}\$型再计算。

## 例四：求 ##

\\\[\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to \\frac\{\\pi\}\{2\}\} \}(secx-tanx)\\\]

解：  
\\\[\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to \\frac\{\\pi\}\{2\}\} \}(secx-tanx)\\\]  
\\\[=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to \\frac\{\\pi\}\{2\}\} \}(\\frac\{1\}\{cosx\}-\\frac\{sinx\}\{cosx\})\\\]  
\\\[=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to \\frac\{\\pi\}\{2\}\} \}(\\frac\{1-sinx\}\{cosx\})\\\]  
\\\[=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to \\frac\{\\pi\}\{2\}\} \}\\frac\{cosx\}\{sinx\} \\to \\frac\{0\}\{1\}\\\]  
\\\[=0\\\]

## 4. \$0 \\cdot\\infty\$型 ##

转化为\$\\frac\{0\}\{0\}\$型，或\$\\frac\{\\infty\}\{\\infty\}\$型

## 例五：求 ##

\\\[\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0^+ \} \} sinxlnx\\\]

解：\\\[=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0^+ \} \} \\frac\{lnx\}\{1\\over\{sinx\}\}\\\]  
\\\[=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0^+ \} \} \\frac\{lnx\}\{1\\over\{x\}\}=\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0^+ \} \} \\frac\{1\\over\{x\}\}\{-\{1\\over\{x^2\}\}\}\\\]  
\\\[=-\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0^+ \} \} x\\\]  
\\\[=0\\\]

## 5. \$0^0,\\infty^0,1^\{\\infty\}\$型 ##

利用 **\$\\lim f(x)^\{g(x）\}=e^\{\\lim g(x)lnf(x)\}\$**转化为\$0\\cdot\\infty\$，再转化为\$\\frac\{0\}\{0\}\$型或\$\\frac\{\\infty\}\{\\infty\}\$型

## 例六：求 ##

\\\[\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0^+ \} \} x^\{sinx\}\\\]

解：\\\[\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0^+ \} \} x^\{sinx\}=e^\{\\lim\\limits\_\{\\substack\{x\\to 0^+ \}\}sinxln(x) \}\\\]  
\\\[=e^o=1\\\]

## 例七：求 ##

\\\[\\lim\\limits\_\{\\substack \{x\\to 0^+\} \} (1+cotx)^\{ \{1\}\\over\{lnx\}\}\\\]

解： \\\[=e^\{\\lim\\limits\_\{\\substack \{x\\to 0^+\} \} \{ \{1\}\\over\{lnx\}\}ln(1+cotx) \}\\\]  
\\\[=e^\{\\lim\\limits\_\{\\substack \{x\\to 0^+\} \} \\frac\{ln(1+cotx)\}\{lnx\} \}=e^\{\\lim\\limits\_\{\\substack \{x\\to 0^+\} \} \\frac\{ln(1+cotx)'\}\{(lnx)'\} \}\\\]  
\\\[=e^\{\\lim\\limits\_\{\\substack \{x\\to 0^+\} \} \{\\left. \{(\\frac\{-csc^2x \}\{1+cotx\})\} \\middle / (\\frac\{1\}\{x\})\\right.\} \}\\\]  
\\\[=e^\{\\lim\\limits\_\{\\substack \{x\\to 0^+\} \} \{\\left. \{-x\}\\middle /\{(sin^2x+sinxcosx)\} \\right.\} \}=e^\{\\lim\\limits\_\{\\substack \{x\\to 0^+\} \} \{\\left. \{-x\}\\middle /\{sinx(sinx+cosx)\} \\right.\} \}\\\]  
\\\[=e^\{\\lim\\limits\_\{\\substack \{x\\to 0^+\} \} \{\\left. \{-1\}\\middle /\{(sinx+cosx)\} \\right.\} \}\\\]  
\\\[=e^\{-1\}\\\]

![函数图像][1240]

## Reference： ##

1.  [高数｜洛必达法则的基础与进阶][Link 1]

转载于:https://www.cnblogs.com/tamkery/p/11614640.html

[1240]: /images/20230601/354ac06fb63142659977c4b60ee684a1.png
[Link 1]: https://mp.weixin.qq.com/s/9inknviVuf5AEmVy8UXcFw