Manacher (最长回文子串)

刺骨的言语ヽ痛彻心扉 2023-06-01 06:11 30阅读 0赞

# Manacher (最长回文子串) #

转自[马拉车算法 Manacher‘s Algorithm][Manacher_s Algorithm]  
这个马拉车算法 Manacher‘s Algorithm 是用来查找一个字符串的最长回文子串的线性方法，由一个叫 Manacher 的人在 1975 年发明的，这个方法的最大贡献是在于将时间复杂度提升到了线性，这是非常了不起的。对于回文串想必大家都不陌生，就是正读反读都一样的字符串，比如 "bob", "level", "noon" 等等，那么如何在一个字符串中找出最长回文子串呢，可以以每一个字符为中心，向两边寻找回文子串，在遍历完整个数组后，就可以找到最长的回文子串。但是这个方法的时间复杂度为 O(n\*n)，并不是很高效，下面我们来看时间复杂度为 O(n)的马拉车算法。

由于回文串的长度可奇可偶，比如 "bob" 是奇数形式的回文，"noon" 就是偶数形式的回文，马拉车算法的第一步是预处理，做法是在每一个字符的左右都加上一个特殊字符，比如加上 '\#'，那么

bob    -->    #b#o#b#
    noon    -->    #n#o#o#n#

这样做的好处是不论原字符串是奇数还是偶数个，处理之后得到的字符串的个数都是奇数个，这样就不用分情况讨论了，而可以一起搞定。接下来我们还需要和处理后的字符串t等长的数组p，其中 p\[i\] 表示以 t\[i\] 字符为中心的回文子串的半径，若 p\[i\] = 1，则该回文子串就是 t\[i\] 本身，那么我们来看一个简单的例子：

# 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 2 #
    1 2 1 2 5 2 1 6 1 2 3 2 1

为啥我们关心回文子串的半径呢？看上面那个例子，以中间的 '1' 为中心的回文子串 "\#2\#2\#1\#2\#2\#" 的半径是6，而未添加\#号的回文子串为 "22122"，长度是5，为半径减1。这是个普遍的规律么？我们再看看之前的那个 "\#b\#o\#b\#"，我们很容易看出来以中间的 'o' 为中心的回文串的半径是4，而 "bob"的长度是3，符合规律。再来看偶数个的情况 "noon"，添加\#号后的回文串为 "\#n\#o\#o\#n\#"，以最中间的 '\#' 为中心的回文串的半径是5，而 "noon" 的长度是4，完美符合规律。所以我们只要找到了最大的半径，就知道最长的回文子串的字符个数了。只知道长度无法定位子串，我们还需要知道子串的起始位置。

我们还是先来看中间的 '1' 在字符串 "\#1\#2\#2\#1\#2\#2\#" 中的位置是7，而半径是6，貌似 7-6=1，刚好就是回文子串 "22122" 在原串 "122122" 中的起始位置1。那么我们再来验证下 "bob"，"o" 在 "\#b\#o\#b\#" 中的位置是3，但是半径是4，这一减成负的了，肯定不对。所以我们应该至少把中心位置向后移动一位，才能为0啊，那么我们就需要在前面增加一个字符，这个字符不能是\#号，也不能是s中可能出现的字符，所以我们暂且就用美元号吧，毕竟是博主最爱的东西嘛。这样都不相同的话就不会改变p值了，那么末尾要不要对应的也添加呢，其实不用的，不用加的原因是字符串的结尾标识为 '\\0'，等于默认加过了。那此时 "o" 在 "$\#b\#o\#b\#" 中的位置是4，半径是4，一减就是0了，貌似没啥问题。我们再来验证一下那个数字串，中间的 '1' 在字符串 "$\#1\#2\#2\#1\#2\#2\#" 中的位置是8，而半径是6，这一减就是2了，而我们需要的是1，所以我们要除以2。之前的 "bob" 因为相减已经是0了，除以2还是0，没有问题。再来验证一下 "noon"，中间的 '\#' 在字符串 "$\#n\#o\#o\#n\#" 中的位置是5，半径也是5，相减并除以2还是0，完美。可以任意试试其他的例子，都是符合这个规律的，最长子串的长度是半径减1，起始位置是中间位置减去半径再除以2。

那么下面我们就来看如何求p数组，需要新增两个辅助变量 mx 和 id，其中 id 为能延伸到最右端的位置的那个回文子串的中心点位置，mx 是回文串能延伸到的最右端的位置，需要注意的是，这个 mx 位置的字符不属于回文串，所以才能用 mx-i 来更新 p\[i\] 的长度而不用加1，由 mx 的更新方式 mx = i + p\[i\] 也能看出来 mx 是不在回文串范围内的，这个算法的最核心的一行如下：

p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;

可以这么说，这行要是理解了，那么马拉车算法基本上就没啥问题了，那么这一行代码拆开来看就是

如果 mx > i, 则 p\[i\] = min( p\[2 \* id - i\] , mx - i )

否则，p\[i\] = 1

当 mx - i > P\[j\] 的时候，以 S\[j\] 为中心的回文子串包含在以 S\[id\] 为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以 S\[i\] 为中心的回文子串必然包含在以 S\[id\] 为中心的回文子串中，所以必有 P\[i\] = P\[j\]，其中 j = 2*id - i，因为 j 到 id 之间到距离等于 id 到 i 之间到距离，为 i - id，所以 j = id - (i - id) = 2*id - i，参见下图。  
![manacher\_1.png][manacher_1.png]  
当 P\[j\] >= mx - i 的时候，以 S\[j\] 为中心的回文子串不一定完全包含于以 S\[id\] 为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以 S\[i\] 为中心的回文子串，其向右至少会扩张到 mx 的位置，也就是说 P\[i\] = mx - i。至于 mx 之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了，这就是后面紧跟到 while 循环的作用。  
![manacher\_2.png][manacher_2.png]  
对于 mx <= i 的情况，无法对 P\[i\] 做更多的假设，只能 P\[i\] = 1，然后再去匹配了。

参见如下实现代码：

#include <vector> #include <iostream> #include <string> using namespace std; string Manacher(string s) { // Insert '#' string t = "$#"; for (int i = 0; i < s.size(); ++i) { t += s[i]; t += "#"; } // Process t vector<int> p(t.size(), 0); int mx = 0, id = 0, resLen = 0, resCenter = 0; for (int i = 1; i < t.size(); ++i) { p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1; while (t[i + p[i]] == t[i - p[i]]) ++p[i]; if (mx < i + p[i]) { mx = i + p[i]; id = i; } if (resLen < p[i]) { resLen = p[i];//reslen 为最长回文子串的长度， resCenter = i;//resCenter 为中心 } } return s.substr((resCenter - resLen) / 2, resLen - 1); } int main() { string s1 = "12212"; cout << Manacher(s1) << endl; string s2 = "122122"; cout << Manacher(s2) << endl; string s = "waabwswfd"; cout << Manacher(s) << endl; }

转载于:https://www.cnblogs.com/tttfu/p/11316387.html

[Manacher_s Algorithm]: https://www.cnblogs.com/grandyang/p/4475985.html
[manacher_1.png]: https://raw.githubusercontent.com/grandyang/leetcode/master/img/manacher_1.png
[manacher_2.png]: https://raw.githubusercontent.com/grandyang/leetcode/master/img/manacher_2.png