关于MATLAB实现的数字信号处理（二）

谁借莪１个温暖的怀抱￠ 2023-05-31 12:16 19阅读 0赞

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### 文章目录 ###

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 *  离散时间傅里叶变换的性质
 *   *  1.离散时间傅里叶变换的卷积性质
     *  2.离散时间傅里叶变换的时间反转性质
     *  3.离散傅里叶变换和离散傅里叶逆变换的计算

# 离散时间傅里叶变换的性质 #

## 1.离散时间傅里叶变换的卷积性质 ##

e − j w 0 n g \[ n \] ⟶ D T F T G ( e j ( w − w 0 ) ) e^\{-j w\_\{0\} n\} g\[n\] \\stackrel\{\\mathrm\{DTFT\}\}\{\\longrightarrow\} G\\left(e^\{j\\left(w-w\_\{0\}\\right)\}\\right) e−jw0ng\[n\]⟶DTFTG(ej(w−w0))

调用卷积函数conv（）和先对两个序列做离散时间傅里叶变换，再做乘积相比较

实现代码

% DTFT的卷积
    clf;
    w = -pi:2*pi/255:pi;
    x1 = [1 3 5 7 9 11 13 15 17];
    x2 = [1 -2 3 -2 1];
    y = conv(x1,x2);%卷积
    h1 = freqz(x1, 1, w);%求h1的离散傅里叶变换
    h2 = freqz(x2, 1, w);%求h2的离散傅里叶变换
    hp = h1.*h2;%h1与h2相乘
    h3 = freqz(y,1,w);%求卷积的离散傅里叶变换
    %画出幅度谱的乘积
    subplot(2,2,1)
    plot(w/pi,abs(hp));grid
    title('幅度谱的乘积')
    %画出卷积后序列的幅度谱
    subplot(2,2,2)
    plot(w/pi,abs(h3));grid
    title('卷积后序列的幅度谱')
    %画出相位谱的和
    subplot(2,2,3)
    plot(w/pi,angle(hp));grid
    title('相位谱的和')
    %画出卷积后序列的相位谱
    subplot(2,2,4)
    plot(w/pi,angle(h3));grid
    title('卷积后序列的相位谱')

运行结果  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx_size_16_color_FFFFFF_t_70]

## 2.离散时间傅里叶变换的时间反转性质 ##

g \[ − n \] ⟶ D T F T G ( e − j w ) g\[-n\] \\stackrel\{\\mathrm\{DTFT\}\}\{\\longrightarrow\} G\\left(e^\{-j w\}\\right) g\[−n\]⟶DTFTG(e−jw)

实现代码

% 离散傅里叶变换的时间反转性质
    clf;
    w = -pi:2*pi/255:pi;
    num = [1 2 3 4];%系统函数的分子多项式的系数
    L = length(num)-1;%分母多项式系数矩阵的长度
    h1 = freqz(num, 1, w);%求h1的离散时间傅里叶变换
    h2 = freqz(fliplr(num), 1, w);%求对h1进行反转后的离散时间傅里叶变换
    h3 = exp(w*L*i).*h2;%对h2进行频移
    %画出原序列的幅度谱
    subplot(2,2,1)
    plot(w/pi,abs(h1));grid
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('振幅');
    title('原序列的幅度谱')
    %画出时间反转后的幅度谱
    subplot(2,2,2)
    plot(w/pi,abs(h2));grid
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('振幅');
    title('时间反转后的幅度谱')
    %画出原始序列的相位谱
    subplot(2,2,3)
    plot(w/pi,angle(h1));grid
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('相位');
    title('原始序列的相位谱')
    %画出时间反转后的相位谱
    subplot(2,2,4)
    plot(w/pi,angle(h3));grid
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('相位');
    title('时间反转后的相位谱')

运行结果  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

## 3.离散傅里叶变换和离散傅里叶逆变换的计算 ##

1.写一个MATLAB程序，计算并画出长度为N的L点离散博里叶变换X\[k\]的值，其中L>=N，然后计算并画出L点离散傅里叶逆变换X\[k\]。对不同长度N和不同的离散傅里叶变换长度L，运行程序。

%DFT
    %原始序列是x=[1 2 3...]，
    %其长度由N决定
    clf;
    N=10;L=20;
    % w1代表频率点
    wl=-pi:2*pi/L:pi;
    n=1:L;
    for i=1:L
        w(i)=wl(i);
    end
    for i=1:N
        x(i)=i;
    end
    xx=[x zeros(1,L-N)];
    y=fft(xx,L);
    xk=ifft(y,L);
    subplot(3,1,1)
    plot(w/pi,abs(y));
    grid 
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('振幅');
    title('幅度谱');
    subplot(3,1,2)
    plot(w/pi,angle(y));
    grid 
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('以弧度为单位的相位');
    title('相位谱');
    subplot(3,1,3)
    stem(n,xk);grid 
    xlabel('n');
    ylabel('振幅');
    title('原始序列')

实验结果

N=10 L=20  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
N=10 L=10  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
2.用一个N点复数离散傅里叶变换计算两个长度为N的实数序列的N点离散傅里叶变换，并将结果同直接使用两个N点离散傅里叶变换得到的结果进行比较。

若g\[n\]和h\[n\]表示两个长度为N的实序列，G\[k\]和H\[k\]分别表示它们各自的N点离散傅里叶变换。定义x\[n\]= g\[n\]+ji\[n\]，那么x\[n\]为长度为N的复数序列，它的N点离散傅里叶变换X\[k\]，我们可以通过下式有效地计算G\[k\]和H\[k\]：  
 G \[ k \] = 1 2 ( X \[ k \] + X ∗ \[ ( − k ) N \] ) H \[ k \] = 1 2 j ( X \[ k \] − X ∗ \[ ( − k ) N \] ) \\begin\{aligned\} G\[k\] &=\\frac\{1\}\{2\}\\left(X\[k\]+X^\{\*\}\\left\[(-k)\_\{N\}\\right\]\\right) \\\\ H\[k\] &=\\frac\{1\}\{2 j\}\\left(X\[k\]-X^\{\*\}\\left\[(-k)\_\{N\}\\right\]\\right) \\end\{aligned\} G\[k\]H\[k\]=21(X\[k\]\+X∗\[(−k)N\])=2j1(X\[k\]−X∗\[(−k)N\])  
实现代码

%用一个N点复数离散傅里叶变换
    %计算两个长度为N的实数序列的N点离散傅里叶变换，
    %并将结果同直接使用两个N点离散傅里叶变换得到的结果进行比较。
    clf;
    g=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
    h=[11 12 13 14 15 16 17 18 19 20];
    N1=20;N2=10;
    % w1代表频率点1
    % w2代表频率点2
    w1=-pi:2*pi/(N1-1):pi;
    w2=-pi:2*pi/(N2-1):pi;
    x=g+1i*h;     %表示出x[n]
    x1=g-1i*h;    %表示出x[n]的共轭
    xk=fft(x,N2);  %计算x[n]的离散傅里叶变换
    x1k=fft(x1,N2);%计算x[n]共轭的离散傅里叶变换
    %根据公式有效地计算g[n]和h[n]的离散傅里叶变换
    gk=1/2*(xk+x1k);
    hk=1/(2*1i)*(xk-x1k);
    %根据fft函数分别计算g[n]和h[n]的离散傅里叶变换
    gk1=fft(g,N2);
    hk1=fft(h,N2);
    %画出G[k]的幅频响应
    subplot(4,2,1)
    stem(abs(gk));
    axis([0,10,0,70]);
    grid 
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('振幅');
    title('G[k]的幅度谱')
    %画出G[k]的相频响应
    subplot(4,2,2)
    stem(angle(gk));
    axis([0,10,-4,4]);
    grid 
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('以弧度为单位的相位');
    title('G[k]相位谱')
    %画出H[k]的幅频响应
    subplot(4,2,3)
    stem(abs(hk));
    axis([0,10,0,200]);
    grid 
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('振幅');
    title('H[k]的幅度谱')
    %画出H[k]的相频响应
    subplot(4,2,4)
    stem(angle(hk));
    axis([0,10,-4,4]);
    grid 
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('以弧度为单位的相位');
    title('H[k]相位谱')
    %画出G1[k]的幅频响应
    subplot(4,2,5)
    stem(abs(gk1));
    axis([0,10,0,70]);
    grid 
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('振幅');
    title('G1[k]的幅度谱')
    %画出G1[k]的相频响应
    subplot(4,2,6)
    stem(angle(gk1));
    axis([0,10,-4,4]);
    grid 
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('以弧度为单位的相位');
    title('G1[k]相位谱')
    %画出H1[k]的幅频响应
    subplot(4,2,7)
    stem(abs(hk1));
    axis([0,10,0,200]);
    grid 
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('振幅');
    title('H1[k]的幅度谱')
    %画出H1[k]的相频响应
    subplot(4,2,8)
    stem(angle(hk1));
    axis([0,10,-4,4]);
    grid 
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('以弧度为单位的相位');
    title('H1[k]相位谱')

运行结果  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
3.用两个N点离散傅里叶变换计算一个长度为2N的实数序列的2N点离散傅里叶变换，并将结果同直接使用一个2N点离散傳里叶变换得到的结果进行比较

设v\[n\]是长度为2N的实序列，V\[n\]表示它的2N点离散傅里叶变换。将长度为N的两个实序列g\[n\]和h\[n\]分别定义为  
 g \[ n \] = v \[ 2 n \]  and  h \[ n \] = v \[ 2 n + 1 \] , 0 ⩽ n < N g\[n\]=v\[2 n\] \\text \{ and \} h\[n\]=v\[2 n+1\], \\quad 0 \\leqslant n<N g\[n\]=v\[2n\] and h\[n\]=v\[2n\+1\],0⩽n<N  
并且G\[k\]和H\[k\]表示它们的N点离散傅里叶变换，则v\[n\]的2N点离散傅里叶变换V\[k\]，可以自两个N点离散傅里叶变换G\[A\]和H\[k\]计算得到，即  
 V \[ k \] = G \[ ( k ) N \] + W 2 N k H \[ ( k ) N \] , 0 ⩽ k ⩽ 2 N − 1 V\[k\]=G\\left\[(k)\_\{N\}\\right\]+W\_\{2 N\}^\{k\} H\\left\[(k)\_\{N\}\\right\], \\quad 0 \\leqslant k \\leqslant 2 N-1 V\[k\]=G\[(k)N\]\+W2NkH\[(k)N\],0⩽k⩽2N−1  
实现代码

设定原序列为x=cos(n\*pi/6)

N=6; %给定N的值 
    n=0:2*N-1; %设定n的范围 
    x=cos(pi/6.*n); %给定序列x[n] 
    m=0:N-1; %设定m的范围
    x1=cos(pi/6.*(2*m)); %取n为偶数时x[n]的值组成序列x1[n] 
    x2=cos(pi/6.*(2*m+1)); %取n为奇数时x[n]的值组成序列x2[n] 
    
    figure,
    subplot(3,1,1)%指定位置1，绘制序列x[n]
    stem(n,x);  
    xlabel('n'); %设定序列x[n]的横轴标注和纵轴标注 
    ylabel('x');
    title('原序列x[n]')
    subplot(3,1,2)%指定位置2，绘制序列x1[n]
    stem(m,x1);  
    xlabel('m'); %设定序列x1[n]的横轴标注和纵轴标注 
    ylabel('x1');
    title('取n为偶数时x[n]的值组成序列x1[n]')
    subplot(3,1,3)%指定位置3，绘制序列x2[n]
    stem(m,x2);  
    xlabel('m'); %设定序列x2[n]的横轴标注和纵轴标注 
    ylabel('x2');
    title('取n为奇数时x[n]的值组成序列x2[n]')
    
    k1=0:N-1; %设定k1的范围 
    k2=0:N-1; %设定k2的范围
    X1=fft(x1); %求序列x1[n]的离散傅里叶变换
    X2=fft(x2); %求序列x2[n]的离散傅里叶变换
    
    figure,
    subplot(2,1,1)%指定位置1，绘制X1(k)
    stem(k1,real(X1));  
    xlabel('k1'); %设定X1(k)的横轴标注和纵轴标注 
    ylabel('X1');
    title('序列x1[n]的离散傅里叶变换X1(k)')
    subplot(2,1,2) %指定位置2，绘制X2(k)
    stem(k2,real(X2)); 
    xlabel('k2'); %设定X2(k)的横轴标注和纵轴标注 
    ylabel('X2');
    title('序列x2[n]的离散傅里叶变换X2(k)')
     
    W=exp(-1i*pi/N).^k2; %给定W的值 
    Y=X1+X2.*W; %给定Y
    X=fft(x);   %求序列x[n]的离散傅里叶变换 
    k=0:2*N-1;  %设定k的范围 
    
    figure,
    subplot(2,1,1) %指定位置1，绘制X(k)
    stem(k,real(X)); 
    xlabel('k'); %设定X(k)的横轴标注和纵轴标注 
    ylabel('X');
    title('2N点离散傅里叶变换结果')  
    subplot(2,1,2)%指定位置2，绘制Y(k)
    stem(k1,real(Y));  
    xlabel('k1'); %设定Y(k)的横轴标注和纵轴标注 
    ylabel('Y');
    title('由两个N点离散傅里叶变换得到的结果')

运行结果

图一 序列x\[n\],x1\[n\],x2\[n\]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

图二 序列x1\[n\]和x2\[n\]的离散傅里叶变换X1(k)和X2(k)  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
图三 两种傅里叶变换结果比较  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20230531/2cfbd5f21bce40c288377a28d6da6d3e.png
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