慕课matlab学习第七章-040 级数求和和泰勒计数

分手后的思念是犯贱 2023-03-05 03:22 27阅读 0赞

# 第七节-Matlab符号计算 #

## 03-级数 ##

% 第七节-Matlab符号计算
    % 03-级数
    
    %   1、级数求和
    %   2、泰勒级数
    
    
    %   1、级数求和
    %   求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum(),其调用格式为:
    %   symsum(s,v,n,m)
    %   其中，s表示一个级数的通项，是一一个符号表达式。v是求和变量，
    %   【v】省略时使用系统的默认【变量】。n和m是求和变量v的初值和末值。
    
    % 例1求下列级数之和。
    % s=1+4+9+16+...+ 10000 n2
    % S2=1-1/2+1/3.....+(-1)^(n+1)*(1/n)
    % S3=1-1/3+1/5.....+(-1)^(n+1)*(1/(2n-1))
    
    
    syms n;
    s1=symsum(n^2,1,100) %级数求和，级数是 n^2  n=[1,100]进行求和
    s2=symsum((-1)^(n-1)/n,1,+inf) %级数求和，级数是 n^2  n=[1,+oo]进行求和
    s3=symsum((-1)^(n-1)/(2*n-1),1,+inf) %级数求和，级数是 n^2  n=[1,+oo]进行求和
    hypergeom([-1/2, 1], 1/2, -1) %超几何函数
    eval(s3)                      %转换为数值
    eval(s3)*4  %圆周率 pi
    
    % 假设某人在银行存款50000元，年利率为4.5%，按复利计息。
    % ①若半年期计息一次，请问一年后总金额是多少?
    % ②若每季度计息一次，请问一年后总金额是多少?
    % ③若每月计息一次，请问- -年后总金额是多少?
    % ④若计息时间无限短，即计息期数趋于无穷，则一年后总金额是多少?
    
    
    
    % 假设存款(初始总金额)为p，年利率为r,计息期数为k。
    % 第一期后总金额为p*(1+r/k)。
    % 第二期后总金额为p*(1+r/k}。
    % 第三期后总金额为p*(1+r/k)。
     syms k r
     p2=symsum(50000*(1+0.045/k)^k,k,2,2) %计算级数第2项的值[2,2]表示的是第2项 半年计息一次
     eval(p2)
     p2=symsum(50000*(1+0.045/k)^k,k,4,4) %计算级数第4项的值[4,4]表示的是第4项 一个季度计息一次
     eval(p2)
     p2=symsum(50000*(1+0.045/k)^k,k,12,12) %计算级数第4项的值[12,12]表示的是第4项 一个月计息一次
     eval(p2)
     limit((1+r/k)^k,k,inf) %无穷次计息
     50000*exp(0.045)
     
     
    
    % 在级数的计算中，因为小数都表示为有理分数的形式，容易导致分子
    % 或分母出现极大整数从而无法计算的情况。
    % eg
    s=symsum(1/n^2,n,1,inf)
    s1=symsum(1/n^2,n,1,500)
    eval(s1)
    
    
    % 泰勒级数
    % 可以将任意一个函数转换为一个幂级数
    % MATLAB提供了taylor( )函数将函数展开为幂级数。
    % 其调用格式为:
    % taylorlf,v,a,Name,Value)
    % 该函数将函数f按【变量v】在【a点】【展开】为泰勒级数，v省略时按
    % 默认规则确定变量, a的默认值是0。【Name】和【Value】为选项设置,
    % 经常成对使用，前者为选项名，后者为该选项的值。
    
    % Name有3个取值: 【name 和 value 是对应的】
    % ①'ExpansionPoint': 指定展开点，对应值可以是标量或向量。未
    % 设置时，展开点为0。
    % ②'Order' :指定截断参数，对应值为一个正整数。未设置时，截断
    % 参数为6，即展开式的最高阶为5。
    % ③'OrderMode': 指定展开式采用绝对阶或相对阶，对应值为
    % 'Absolute'或'Relative'。未设置时取' Absolute'。
    
    
    
    
    %求函数f zai x=1处的5阶泰勒级数展开式
    % f(x)=(1+x+x^2)/(1-x+x^2)
    syms x; % 定义变量x
    f=(1+x+x^2)/(1-x+x^2); %建立f(x)
    ts=taylor(f,x, 1,'Order',6) %求解泰勒展开式，变量x,在x=1处展开，order等于6，即最高阶为5
    expand(ts) %对ts 展开符号表达式
    
    % 复杂函数的计算方法问题
    % 由以前所学习的计算机基础知识，我们已经知道了计算机的加法和减法运算规则。
    
    % 除了四则运算以外，计算机对其他复杂函数怎么计算?
    % 是否存在一种方法，使得计算机只需要通过四则运算,
    % 就能计算其他复杂函数?
    % 答：泰勒级数展开就可以实现复杂运算
    
    % eg
    syms x
    f=taylor(cos(x),x,pi) %cos(x) 在pi 处进行泰勒展开
    x=3
    eval(f)
    cos(3)
    % 通过泰勒级数展开的方法，成功地将三E角函数的计算转换成了四则运算。