不会吧不会吧，不会真有人还不会算时间复杂度吧？用十分钟让你明白如何计算时间复杂度

雨点打透心脏的1/2处 2023-02-25 02:23 45阅读 0赞

### 前言： ###

算法的分析方式有两种：

1.  **事后分析统计方法**:编写算法对应程序，统计其执行时间。  
    存在问题：**编写程序的语言不同，执行程序的环境不同等因素**
2.  **事前估算分析方法**:撇开上述因素，认为算法的执行时间是问题规模n的函数。

所以我们引入了时间复杂度的概念来对算法进行分析

### 分析算法的执行时间 ###

求出算法所有原操作的执行次数(也称为**频度**)，它是问题规模n的函数，用 **T(n)** 表示。

算法执行大致时间 = 原操作所需的时间 \* T(n)  
所以算法的执行时间与 T(n) 成正比  
为此用 T(n) 表示算法的执行时间

#### 频度的计算 ####

先来看一段代码

for (i = 0; i < n; i++) {
                                              //语句 1   频度为 n+1
            for (j = 0; j < n; j++) {
                                      //语句 2   频度为 n*(n+1)
                    c[i][j] = 0;                                   //语句 3   频度为 n*n 
                    for (k = 0; k < n; k++)                        //语句 4   频度为 n*n*(n+1) 
                            c[i][j] = c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]; //语句 5   频度为 n*n*n       
            }
    }

来解释一下，每个语句的频度

##### 语句1： #####

不看内循环，单独看语句 1 ，当i范围在 \[0,n-1\] 时，它执行了n次，i=n时还执行了一次（判断后跳出循环），所以是n+1次。

##### 语句2： #####

一样，不看 内循环 和 外循环，单独看语句2，语句2执行了n+1次 ，再看外循环，也就是语句1 循环了 n 次（频度是n+1,但是 循环次数并不是n+1次） 所以语句2 的频度为 n\*(n+1)

##### 语句3： #####

不看外循环，执行一次，再看外循环，执行n\*n次 故 频度为n²

语句4和语句5的频度就不做解释了

得出这个段代码的 **频数之和**为

**T(n) = 2n³ + 3n² + 2n + 1**

### 算法的执行时间用时间复杂度来表示 ###

**T(n) = O(f(n))**  
记号“O”读作“大O”，它表示随问题规模n的增大算法执行时  
间的增长率和f(n)的增长率相同。

T(n)= O(f(n))表示存在一个正的常数M,使得当n≥n0时都满足:  
**| T(n) | ≤ M | f(n) |**  
f(n)是 T(n)的上界  
**这种上界可能很多，通常取最接近的上界，即紧凑上界**  
大致情况：lim n->∞ T(n) / f(n) = M

是不是觉得很啰嗦，怎么涉及到这种概念 ，没事 看不懂也没事，其实，只要求出T(n) 的最高阶就行了 忽略其他低阶项和常系数  
**例如**  
**T(n) = 2n³ + 3n² + 2n + 1 = O(n³）**  
**T(n) =2n² + 2n + 1 = O(n²）**  
**T(n) = n + 1 = O(n）**  
**T(n) = 1 = O(1）**  
一个没有循环的算法的执行时间与问题规模n无关，记作0(1)，也称作常数阶。  
一个只有一重循环的算法的执行时间与问题规模n的增长呈线性增大关系，记作O(n)，也称线性阶。  
其余常用的算法时间复杂度还有平方阶O(n²)、 立方阶O(n³)、 对数阶O(log2n)、指数阶O(2^n)等。

**对数阶的例子：**

int i = 1;
    while(i<n) {
        
    	i = i*2;
    }

执行次数为x次  
2^x = n  
则 x = log 2 n  
时间复杂度为O(log2n)

**指数阶的例子**

int aFunc(int n) {
        
            if (n <= 1) 
                return 1;
            else 
            	return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2);
    }

显然运行次数，T(0) = T(1) = 1，同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1，这里的 1 是其中的加法算一次执行。显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列，通过归纳证明法可以证明，当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n，同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n)，简化后为 O(2^n)。

### 补充 ###

#### T(n)的简便计算 ####

算法中的基本操作一般是最深层循环内的原操作。  
算法执行时间大致 = 基本操作所需的时间 X 其运算次数。  
在算法分析时，计算T(n)时仅仅考虑基本操作的运算次数。  
例如上述的例子：

for (i = 0; i < n; i++) {
                                             
            for (j = 0; j < n; j++) {
                                      
                    c[i][j] = 0;                                   
                    for (k = 0; k < n; k++)                        
                            c[i][j] = c[i][j] + a[i][k] * b[k][j];     
            }
    }

基本语句是 **c\[i\]\[j\] = c\[i\]\[j\] + a\[i\]\[k\] \* b\[k\]**  
![在这里插入图片描述][20200710200345864.png]  
这种简化的时间复杂度分析方法得到的结果相同，但  
分析过程更简单。

#### 常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是 ####

O(1 )< O(logn) < O(n) < O(n\*logn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

因为初学数据结构和算法，可能有不严谨的地方或者错误欢迎指出

[20200710200345864.png]: /images/20230209/c5cdd810d3eb4116bf7ccb5c15907dbb.png