【你也能看得懂得电磁场与电磁波系列连载 3】

阳光穿透心脏的1/2处 2023-02-20 13:31 35阅读 0赞

在上一个连载里面，我们知道了如何计算点电荷、分布电荷的电场。但是那样的方法有点繁琐，有没有更简单的方式呢？—— 有！那就是**高斯通量定理**！

首先，我们要思考这样一个问题—— **带电体在周围空间中产生电场的过程，能不能提炼出某种不变的东西呢？**

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这就会引入通量的概念了。我们以水龙头放水为例子——如果用一个完全透水的袋子包住水龙头，那么我们可以很容易理解这样一个事实：**水龙头的出水量一定是等于流出这个袋子的水量**。这里我们提炼出一个概念：通量。**通量，顾名思义，就是通过一个曲面的某种流量**。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

那么同样的类比，如果我们把水龙头换成了正电荷，然后就换成一个完全透电的袋子，那么这个正电荷所射出去的电场线就一定等于穿出这个袋子的电场线。**那么电场线通过袋子的数量自然就叫袋子的电通量**

另外，我们也可以理解——这个袋子里面所囊括的正电荷数量越多，那么自然在单位时间里面通过袋子的电通量也就会越大。也就是说**电通量和这个袋子所包括的净电荷数量成正比**（注意：这里所说的是净电荷，因为如果是负电荷，那么会有电场线穿入这个袋子）

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说了那么多，那通量如何表示呢？首先我们知道：**电场强度可以用来衡量电场线的密度（因为电场强度越大的地方，电场线越密集）** 而通量我们刚刚也提到了，就是**穿过面积为 S 的曲面的电场线的数量**。那么很自然地，我们就可以想到：**电通量可以用电场强度与面 S 的乘积来表示**。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
对于上图这种情况（电场方向和面的法相方向垂直的情况），我们就可以直接： E S ES ES 来表示通过木板的电通量了。

但是，如果木板的法向不与电场方向平行怎么办呢？如下图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
那么很明显，我们可以看到电场线真正穿过木板的有效面积就不再是 AB 面了，而是 BC 面！那么，BC面的面积和 AB 面面积的关系如何？我们看下面这幅图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]  
 S 1 = x ⋅ A B ; S 2 = x ⋅ B C B C = A B ⋅ c o s θ S 2 = x ⋅ A B ⋅ c o s θ = S 1 ⋅ c o s θ S\_1 = x \\sdot AB ; \\quad S\_2 = x \\sdot BC\\\\ BC = AB \\sdot cosθ\\\\ S\_2 = x\\sdot AB \\sdot cosθ = S\_1 \\sdot cosθ S1=x⋅AB;S2=x⋅BCBC=AB⋅cosθS2=x⋅AB⋅cosθ=S1⋅cosθ

所以，此时的电通量应该是： E ⋅ S 2 = E ⋅ S 1 ⋅ c o s θ E\\sdot S\_2 = E \\sdot S\_1 \\sdot cosθ E⋅S2=E⋅S1⋅cosθ

而我们发现：**E 和 S 本来都是矢量，现在我们的电通量是 E 的模值乘以 S 的模值 再乘上他们的夹角余弦。这不正是向量点乘的表达式吗！！**

因此，我们可以用向量点乘的形式简洁地表示电通量： E ˉ ⋅ S ˉ \\bar\{E\}\\sdot \\bar\{S\} Eˉ⋅Sˉ

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不过问题又来了：上面我们计算的是平面的电通量，那么曲面的怎么办呢？

这就要用到微积分的思想了：我们以我们赖以生存的地球为例，我们都知道地球表面是一个球形的曲面，可是我们**人在地上走，却感觉不到 “曲”，相反我们都认为我们行走的大地是一个平面**！这也就是说：**对于一个曲面而言，如果我们把它分割成无数个小曲面（每一个小曲面的面积我们用 dS 表示），那么这每一个小曲面都可以看作是一个平面**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]  
那么，对于面积为  d S dS dS 的 “小平面”，我们就可以用刚刚我们推导出的平面电通量的求法表示了，即： E ˉ ⋅ d S ˉ \\bar\{E\} \\sdot \\bar\{dS\} Eˉ⋅dSˉ

很自然地，这所有的小曲面（或者近似说成是 “小平面”）的叠加（积分），就构成了整个曲面。因此，整个曲面的电通量用积分的形式就可以这样表示：

![在这里插入图片描述][20200627141229835.png_pic_center]

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我们刚刚也说了：**电通量和这个曲面所包括的净电荷数量成正比**，到底是怎么个正比法呢？这就需要引入立体角的概念了：

什么是立体角呢？首先我们从特殊的情况入手，什么是圆锥的立体角？—— 锥体的立体角大小定义为，**以锥体的顶点为球心作球面，该锥体在球表面截取的面积与球半径平方之比**  
![在这里插入图片描述][20200627142640939.png_pic_center]  
值得注意的是，**这里的  S S S 的法向是和这个球体的径向是同方向的！**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]  
那么我们再扩展到一般的情况，即：这个锥体的底面方向不与这个锥体的同心球的径向相同的时候。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]  
如上图所示， d S dS dS 的方向是  n ˉ \\bar\{n\} nˉ，而计算立体角，我们显然是要用图中的  d S 0 dS\_0 dS0，那么  d S 0 dS\_0 dS0 和  d S dS dS 有什么关系呢？—— 依然是向量点乘！

d S 0 = d S ˉ ⋅ a R ˉ dS\_0 = \\bar\{dS\} \\sdot \\bar\{a\_R\} dS0=dSˉ⋅aRˉ

因此，一般情况下的立体角（也适用于第一种特殊情况）的计算公式如下：  
![在这里插入图片描述][20200627143203350.png_pic_center]  
那么显然对于闭合曲面而言，**如果  O ′ O' O′ 点在曲面内**，那么这个闭合曲面的立体角就是  4 π 4π 4π  
![在这里插入图片描述][20200627143555421.png_pic_center]

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好的，介绍完了立体角，我们就开始正式推导高斯通量定理了！

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]  
因此，我们就得到了大名鼎鼎的高斯通量定理（**真空中**）：  
![在这里插入图片描述][20200627144901538.png_pic_center]  
这也是 Maxwell 方程里面描述电场的一个公式。

但是，问题又来了：这个公式仅仅只描述了真空下的电场，那么在介质中的电场又如何描述呢？在电场中的导体、介质又有什么新的特性呢？我们在下一个连载里面详细解读。

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