AcWing 1077. 皇宫看守(详解)

爱被打了一巴掌 2023-02-14 02:35 33阅读 0赞

**题目描述**

太平王世子事件后，陆小凤成了皇上特聘的御前一品侍卫。皇宫各个宫殿的分布，呈一棵树的形状，宫殿可视为树中结点，两个宫殿之间如果存在道路直接相连，则该道路视为树中的一条边。已知，在一个宫殿镇守的守卫不仅能够观察到本宫殿的状况，还能观察到与该宫殿直接存在道路相连的其他宫殿的状况。大内保卫森严，三步一岗，五步一哨，每个宫殿都要有人全天候看守，在不同的宫殿安排看守所需的费用不同。可是陆小凤手上的经费不足，无论如何也没法在每个宫殿都安置留守侍卫。帮助陆小凤布置侍卫，在看守全部宫殿的前提下，使得花费的经费最少。

**输入格式**

输入中数据描述一棵树，描述如下：

第一行 n，表示树中结点的数目。

第二行至第 n+1 行，每行描述每个宫殿结点信息，依次为：该宫殿结点标号 i，在该宫殿安置侍卫所需的经费 k，该结点的子结点数 m，接下来 m 个数，分别是这个结点的 m 个子结点的标号 r1,r2,…,rm。

对于一个 n 个结点的树，结点标号在 1 到 n 之间，且标号不重复。

**输出格式**

输出一个整数，表示最少的经费。

**数据范围**

1≤n≤1500

**输入样例**

6
    1 30 3 2 3 4
    2 16 2 5 6
    3 5 0
    4 4 0
    5 11 0
    6 5 0

**输出样例**

**样例解释**

在2、3、4结点安排护卫，可以观察到全部宫殿，所需经费最少，为 16 + 5 + 4 = 25。

**解题思路**

首先这道题的题意是：给定一棵树，要在一些节点上放置守卫，每个守卫可以看护当前节点以及与此节点连通的节点，在不同节点放置守卫的代价不同，如何选取节点使代价最小，这是个典型的树形DP问题，显然每个节点有放置守卫和不放置守卫两种，但是从计算的过程看，不放置守卫的状态由两种，一种是有其父节点上的守卫看护，一种是由其子节点的守卫看护，因此可将每个节点的看护情况分为三种：

1.  该节点由父节点处放置的守卫看护
2.  该节点由子节点处放置的守护看护
3.  该节点由在该节点放置的守卫看护

下面考虑状态转移的过程，建立数组f\[i\]\[3\]，其中

1.  f\[i\]\[0\]表示第i个节点由父节点处放置的守卫看护下的最小代价
2.  f\[i\]\[1\]表示第i个节点由子节点处放置的守卫看护下的最小代价
3.  f\[i\]\[2\]表示第i个节点由在该节点放置的守卫看护下的最小代价

那么可以写出转移关系：

1.  f\[i\]\[0\] += min(f\[j\]\[1\], f\[j\]\[2\]);
2.  f\[i\]\[1\] = min(f\[i\]\[1\], sum - min(f\[j\]\[1\], f\[j\]\[2\]) + f\[j\]\[2\]);
3.  f\[i\]\[2\] += min(min(f\[j\]\[0\], f\[j\]\[1\]), f\[j\]\[2\]);

其中j为i的子节点，sum为所有子节点j的min(f\[j\]\[1\], f\[j\]\[2\])的和，1和3的意义很明显，2的意义代表，如果第i个节点由子节点守卫，那么所有子节点都不能由父节点守卫，并且每个子节点都得到了守卫，且至少有一个子节点处放置了守卫

至此，算法思路就很清晰了，下面就用常规求解过程来写代码

**代码**

#include <iostream>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    
    
    const int N = 1510;
    
    int n;
    int h[N], e[N], ne[N], idx,w[N];
    int f[N][3];
    bool st[N];
    
    
    void add(int a, int b)
    {
        e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    }
    
    void dfs(int u)
    {
        f[u][2] = w[u];
    
        int sum = 0;
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            dfs(j);
            f[u][0] += min(f[j][1], f[j][2]);
            f[u][2] += min(min(f[j][0], f[j][1]), f[j][2]);
            sum += min(f[j][1], f[j][2]);
        }
    
        f[u][1] = 1e9;
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            f[u][1] = min(f[u][1], sum - min(f[j][1], f[j][2]) + f[j][2]);
        }
    }
    
    
    int main()
    {
        cin >> n;
    
        memset(h, -1, sizeof h);
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        {
            int id, cost, cnt;
            cin >> id >> cost >> cnt;
            w[id] = cost;
            while (cnt -- )
            {
                int ver;
                cin >> ver;
                add(id, ver);
                st[ver] = true;
            }
        }
    
        int root = 1;
        while (st[root]) root ++ ;
    
        dfs(root);
    
        cout << min(f[root][1], f[root][2]) << endl;
    
        return 0;
    }