求正2n边形的最小外接正方形

Love The Way You Lie 2023-02-09 13:29 46阅读 0赞

前几天在某次比赛中遇到了这么两道题  
第一道是**求边长为1的正2n边形的最小外接正方形的边长，输入的n都为偶数**

这个不难，因为输入的n为偶数，所以这个正2n边形边的个数是能整除4的，而正方形恰好四条边，所以最小的外接正方形只要像这样正着放让四个边都贴着正方形就可以了  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ljeDYwcnp2dmJq_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
这里就以这个正12边形为例，正12边形的图片是百度百科的然后自己画了个正方形加了几条辅助线。  
这个就很好求了，**正方形的边长是2h**，我们知道**正2n边形的边长为1**，一半就是0.5，所以**tan(a)=0.5/h**，那么只要求出角a就可以了，我们可以把正2n边形切成2n个小等腰三角形，三角形的顶角就是2a，一圈是2π，一共2n个三角形，所以**2a=2π/2n**，化简之后得出**a=π/n/2**，所以**正方形边长就等于2h=2×(0.5/tan(a))=1/tan(π/n/2)**，这个问题就解决了

###### 代码如下： ######

#include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    int main()
    { 
    	int T;
    	cin >> T;
    	int n;
    	double PI = 3.141592653589793238;
    	while (T--)
    	{ 
    		scanf("%d", &n);
    		printf("%.9lf\n", 1 / tan(PI / 2 / n));
    	}
    	return 0;
    }

然后**另一道题**和上一题其他条件都一样，唯一不同的就是**输入的n都为奇数**  
我好奇的用上一道题的代码试了一下，虽然知道肯定不行，但就是想试  
然后想知道n为奇数的时候正2n边形在最小的外接正方形里是怎么摆放的  
因为六边形比较常见，研究的人应该挺多，所以就去百度了一下正六边形的最小外接正方形  
废了好大力气找到了正确的图  
![在这里插入图片描述][20200519103024612.png]  
我按照这个样子尝试着画了一下正10的，但是手画的实在是太丑了，然后就一时半会没研究出来什么规律，然后就去补学校的作业去了。  
次日，研究了一会，无果  
于是鼓起勇气去问了大佬  
为了让大佬看的方便，我忽然想到我可以百度搜图然后用电脑画一下

![在这里插入图片描述][20200519103135974.png]![在这里插入图片描述][20200519103152297.png]  
大概就是这样，**正2n边形的一条对角线和正方形对角线重合**。  
在一番讨论之后，得出了正解(大佬是真的强)  
  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ljeDYwcnp2dmJq_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
**如图所示：**  
可知**正方形对角线的一半d的长度等于x的长度加y的长度**  
**x=l×sin(a)**(l也就是线段OC)  
**y=l×cos(a)**  
l很好求，由上一道题的图可知，**l=0.5/sin(π/n/2)**

那么**角a**怎么求呢

如图可知，将正2n边形分成2n个小三角形后，三角形ABC所覆盖的小三角形的个数为n个，然后这n个小三角形又被线段OB分成数量差一的两部分(随着n的增大三角形越来越接近等腰直角三角形)，然后因为n是奇数所以这两部分自然就是一个奇数一个偶数并且他们的差为1(例如n=7时分成3和4，n=9时分成4和5，大概就是这个意思)

**偶数的那部分的一半所占的小三角形的顶角的和就是图中的角a**了  
所以只要**判断一下n/2是奇数还是偶数，如果是偶数那角a所占的小三角形份数就是n/4n/2如果是奇数那另一个偶数一定就是n/2+1，所以a占的份数就是(n/2+1)/2**

然后求出**正方形对角线一半**之后，把它**乘根号2就是正方形的边长**了

###### 代码如下： ######

#include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    int main()
    { 
    	int T;
    	cin >> T;
    	int n;
    	double PI = 3.141592653589793238;
    	double x, y, a, l;
    	while (T--)
    	{ 
    		scanf("%d", &n);
    		// 这里用了一个三目判断n/2是奇还是偶，然后求出a所占的份数，进而求出a的度数
    		a = PI / n * ((n / 2) % 2 == 0 ? n / 4 : (n / 2 + 1) / 2);
    		// 然后求出l，x，y
    		l = 0.5 / sin(PI / n / 2);
    		x = l * sin(a);
    		y = l * cos(a);
    		// 然后x+y是对角线的一半，再乘根号2就是正方形边长了
    		printf("%.9lf\n", (x + y) * sqrt(2));
    	}
    	return 0;
    }

ヾ(≧∪≦\*)ノ〃

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