数学建模-预测模型总结(适用范围、优缺点)【灰色预测模型、插值与拟合、时间序列预测法、马尔科夫预测、差分方程、微分方程模型、神经元网络】

素颜马尾好姑娘i 2023-01-19 04:32 11阅读 0赞

> 基于数学建模的预测方法种类繁多，从经典的单耗法、弹性系数法、统计分析法，到目前的灰色预测法。当在使用相应的预测方法建立预测模型时，我们需要知道主要的一些预测方法的研究特点，优缺点和适用范围。下面就当下一些主要的预测方法进行总结。

**目录**

一、灰色预测模型

二、插值与拟合

三、时间序列预测法

四、马尔科夫预测

五、差分方程

六、微分方程模型

七、神经元网络

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# 一、灰色预测模型 #

> **适用范围：**该模型使用的不是原始数据的序列，而是生成的数据序列。核心体系是Grey Model，即对原始数据作累加生成（或其他处理生成）得到近似的指数规律再进行建模的方法。
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> **优点：**在处理较少的特征值数据，不需要数据的样本空间足够大，就能解决历史数据少、序列的完整性以及可靠性低的问题，能将无规律的原始数据进行生成得到规律较强的生成序列。
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> **缺点：**只适用于中短期的预测，只适合近似于指数增长的预测。

# 二、插值与拟合 #

> **适用范围：**适用于有物体运动轨迹图像的模型。如导弹的运动轨迹测量的建模分析。
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> **优点：**分为曲面拟合和曲线拟合，拟合就是要找出一种方法（函数）使得到的仿真曲线（曲面）最大程度地接近原来的曲线（曲线），甚至重合。这个拟合的好坏程度可以用一个指标来判断。

# 三、时间序列预测法 #

> **适用范围：**根据客观事物发展的这种连续规律性，运用过去的历史数据，通过统计分析，进一步推测市场未来的发展趋势。时间序列，在时间序列分析预测法处于核心位置。
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> **优点：**一般用ARMA模型拟合时间序列，预测该时间序列未来值。Daniel检验平稳性。自动回归AR（Auto regressive）和 移动平均MA（Moving Average）预测模型。
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> **缺点：**当遇到外界发生较大变化，往往会有较大偏差，时间序列预测法对于中短期预测的效果要比长期预测的效果好。

# 四、马尔科夫预测 #

> **适用范围：**适用于随机现象的数学模型（即在已知现情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史无直接关系）。
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> **优点：**研究一个商店，在未来某一时刻的销售额，当现在时刻的累计销售额已知。
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> **缺点：**不适宜用于系统中长期预测。

# 五、差分方程 #

> **适用范围：**利用差分方程建模研究实际问题，常常需要根据统计数据用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。
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> **优点：**适用于商品销售量的预测、投资保险收益率的预测。
> 
> **缺点：**数据系统的稳定性还要进一步讨论代数方程的求根。

# 六、微分方程模型 #

> **适用范围：**适用于基于相关原理的因果预测模型，大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件，用数学符号表示规律，列出方程，求解的结果就是问题的答案。
> 
> **优点：**优点是短、中、长期的预测都适合。如：传染病的预测模型、经济增长（或人口）的预测模型、Lanchester战争预测模型。
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> **缺点：**反应事物内部规律及其内在关系，但由于方程的建立是以局部规律的独立性假定为基础，当作为长期预测时，误差较大，且微分方程的解比较难以得到。

# 七、神经元网络 #

> **适用范围：**数学建模中常用的是BP神经网络和径向基函数神经网络的原理及其在预测中的应用；BP神经网络拓扑结构及其训练模式；RBF神经网络结构及其学习算法。
> 
> **模型案例：**预测某水库的年径流量和因子特征值。