相关函数和相关系数的区别

叁歲伎倆 2023-01-17 05:00 307阅读 0赞

相关函数分为：自相关函数和互相关函数  
相关系数分为：自相关系数和互相关系数

**相同点**：两者均可表示为变量之间的关联程度。  
**两者关系**【个人理解】：相关函数**归一化**在一定程度上相当于相关系数

### 文章目录 ###

*  一、相关函数的概念
 *   *   *  1、互相关（Cross-correlation）
         *  1.1 互相关和卷积的区别
         *  2、自相关
 *  二、相关系数

# 一、相关函数的概念 #

### 1、互相关（Cross-correlation） ###

对于连续函数，有如下定义：

![在这里插入图片描述][20210427102416218.png]

对于离散函数，有如下定义：  
![在这里插入图片描述][2021042710242581.png]

*  在信号处理中，用互相关来衡量两个时间序列 x(t) 和 y(t) 在两个不同时刻 t1，t2 的取值之间的**相关程度**\[1\]，通常可以用于在长序列中寻找一个特定的短序列。有的也说是两个时间序列的相似程度。
 *  在数理统计中，互相关用来表示两个随机序列的相关性。

### 1.1 互相关和卷积的区别 ###

卷积的公式：  
![在这里插入图片描述][20210427110844891.png]  
互相关的公式：  
![在这里插入图片描述][20210427102416218.png]  
在此，考虑实函数，因此共轭不考虑。

从定义式中可以看到，互相关函数和卷积运算类似，也是两个序列滑动相乘，但是区别在于：

互相关的两个序列都**不翻转，直接滑动相乘，求和**；  
卷积的其中一个序列需要**先翻转，然后滑动相乘，求和**。

[如何通俗易懂地解释卷积？][Link 1]这篇文章解释了其实可以不用翻转来理解卷积。

### 2、自相关 ###

自相关是互相关的一种特殊情况，就是一个序列和它本身做相关，主要用来**衡量一个序列在不同时刻取值的相似程度。**  
![在这里插入图片描述][20210427112131506.png]

# 二、相关系数 #

通常说的相关系数指的是**皮尔逊相关系数**，还有斯皮尔曼相关系数和Kendall相关系数。

Pearson 相关系数使用两个变量的协方差和标准差来定义：

![在这里插入图片描述][20210427112351842.png]  
其中，cov 是协方差，sigma 是标准差。因为 cov 可以写作：  
![在这里插入图片描述][20210427112401762.png]

所以 Person 相关系数的定义式可以写作：  
![在这里插入图片描述][20210427112413765.png]

参考：  
[1.百度百科-互相关系数][1._-]  
[2.序列的自相关和互相关计算][2.]

[20210427102416218.png]: /images/20221022/96657229d86c449db95d0f3c140354ca.png
[2021042710242581.png]: /images/20221022/6cdbd54de0da4eebb978dc1efdae8e3d.png
[20210427110844891.png]: /images/20221022/15e6cb4440474116a0343551899c27f8.png
[Link 1]: https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/34267457
[20210427112131506.png]: /images/20221022/abbf7766dc4544e7937c1f95cb6f409d.png
[20210427112351842.png]: /images/20221022/587c78e39e8d43d7a5d27281ab58cad4.png
[20210427112401762.png]: /images/20221022/ed316a622a02442eb95687fe111bfbdd.png
[20210427112413765.png]: /images/20221022/d1ebe8ecaf344343ad02b680fc25031c.png
[1._-]: https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%92%E7%9B%B8%E5%85%B3%E5%87%BD%E6%95%B0
[2.]: https://blog.csdn.net/u013655530/article/details/47257525