数学之美-小学数学整理复习

朱雀 2023-01-04 11:49 672阅读 0赞

## 长度单位 ##

**为什么从长度开始呢?**

> 长度用来度量线的长度\[初级\]，而线是人们对一个事务抽象描述的基础，例如时间线等

常见的长度单位: 1米=100厘米=1000毫米

常见的线有:

1.  线段 一个物体列如正方体的某一边
2.  直线 在数学上被定义为两段无限延长的线，无法度量长度，是一个抽象的概念
3.  曲线 例如弯曲头发
4.  射线 有一端固定，而另一端无限延长，例如火箭发射，从一个点开始发射，这个概念其实不太准确，火箭是会停下来的，这里是假设是一颗不会停下来的火箭

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## 方程 ##

> 方程（equation）是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”

假如一个班级有50名学生，我们把学生记作x，把班级记作y，年级记作z  
 y = 50 x y=50x y=50x , z = 50 x y z=50xy z=50xy

**等式**

> 等式左右两边相等，满足交换律  
> 等式两边同时加上或者减去一个数，两边仍然相等  
> 等式两边同时乘以或者除去一个数，两边仍然相等

**等式解方程**

> 通过前面方程的定义和交换律来看，方程左右两边总是相等，那么一个班级有50名学生，50名学生也可以凑成一个班级

假如教室里分为x行y列，那么对于公式  
 教 室 = x 行 乘 以 y 列 教室=x行乘以y列 教室=x行乘以y列

教 室 = x y 教室=xy 教室=xy

对于这个方程其实有很多解法，列如  
 教 室 = 5 行 10 列 教室=5行10列 教室=5行10列

教 室 = 10 行 5 列 教室=10行5列 教室=10行5列

这里的方程满足交换律，教室=5行10列=10行5列，无论怎么排列，都是这50个学生在教室里排列

**不等式**

> 不等式就是说明左右两边不相等

假设一个教室z最多容纳48名学生,也就是说教室里最多只能容纳48名学生，但是也可以没有

z > = 47 z>=47 z>=47

z > = 46 z>=46 z>=46

…

z > = 0 z>=0 z>=0

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## 图形 ##

1.  **平行四边形的面积计算公式**  
    ![在这里插入图片描述][20210109190750698.png]

如果用S表示四边形的面积，a表示四边形的底，h表示四边形的高，那么平行四边形的面积公司可记作  
 S = a h S=ah S=ah  
![在这里插入图片描述][20210109190942276.png]

假如平行四边形的底为6米，高为4米，那么这个平行四边形  
 S = a h S=ah S=ah

= 6 ∗ 4 =6\*4 =6∗4

= 24 ( m 3 ) =24(m^3) =24(m3)

**下面通过一个例子来说明**  
Q:![在这里插入图片描述][20210109191230579.png]  
A:因为两个平行四边形拥有同一个底，并且高度一致，那么他们面积相等，并且面积是  
 1.5 ∗ 2.8 = 4.2 ( c m 2 ) 1.5\*2.8=4.2(cm^2) 1.5∗2.8=4.2(cm2)

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1.  **三角形**

> 三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

三角形的面积计算  
![在这里插入图片描述][2021010919160486.png]  
通过把一个三角形沿着某个斜边进行镜像翻转，得到一个平行四边形，这个时候可以通过先求出平行四边形的面积

三角形的计算公式  
 S = a h / 2 S=ah/2 S=ah/2

Q:![在这里插入图片描述][20210109191953177.png]  
A:通过给三角形沿着某个斜边翻转得到四边形，通过四边形的公式  
 S = a h S=ah S=ah

得知三角形的面积等于四边形的面积除以2，那么

S = a h / 2 S=ah/2 S=ah/2

= 7.2 ∗ 12.5 / 2 =7.2\*12.5/2 =7.2∗12.5/2

= 90 / 2 =90/2 =90/2

= 45 ( c m 2 ) =45(cm^2) =45(cm2)

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平行四边形和三角形综合练习

Q: ![在这里插入图片描述][20210109192443654.png]  
A:  
解题思路:已知两个三角形的面积都是270平方米，那么可知两个三角形组成的平行四边形的总面积为540平方米，这个时候 通过平行四边形的面积可以反推平行四边形的上下两边的长度

设 平 行 四 边 形 为 p ， 左 边 的 三 角 形 为 t 1 ， 右 边 的 三 角 形 为 t 2 设平行四边形为p，左边的三角形为t1，右边的三角形为t2 设平行四边形为p，左边的三角形为t1，右边的三角形为t2

那 么 p 面 积 = t 1 面 积 + t 2 面 积 那么p面积=t1面积+t2面积 那么p面积=t1面积\+t2面积

已 知 道 t 1 = 270 m 2 , t 2 = 270 m 2 已知道t1=270m^2,t2=270m^2 已知道t1=270m2,t2=270m2

那 么 p 面 积 = 540 m 2 那么p面积=540m^2 那么p面积=540m2

p 的 高 为 t 2 的 高 ， 根 据 平 行 四 边 形 的 面 积 公 式 : t 2 S = t 2 a ∗ t 2 h p的高为t2的高，根据平行四边形的面积公式: t2S=t2a\*t2h p的高为t2的高，根据平行四边形的面积公式:t2S=t2a∗t2h

那 么 t 2 的 底 = p 的 底 ， p 底 = p 面 积 / 18 m 那么t2的底=p的底，p底=p面积/18m 那么t2的底=p的底，p底=p面积/18m

p 底 = 540 / 18 = 30 p底=540/18=30 p底=540/18=30

接 下 来 计 算 平 行 四 边 形 的 斜 边 ， 通 过 90 度 翻 转 平 行 四 边 形 ， 这 次 把 斜 边 看 坐 底 接下来计算平行四边形的斜边，通过90度翻转平行四边形，这次把斜边看坐底 接下来计算平行四边形的斜边，通过90度翻转平行四边形，这次把斜边看坐底  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
 可 知 p 斜 边 = p 面 积 / t 1 h = 540 / 22.5 = 24 可知p斜边=p面积/t1h=540/22.5=24 可知p斜边=p面积/t1h=540/22.5=24

最 终 得 出 p 底 = 30 ， p 斜 边 = 24 最终得出p底=30，p斜边=24 最终得出p底=30，p斜边=24

根 据 平 行 四 边 形 的 周 长 计 算 公 式 C = ( a + b ) ∗ 2 根据平行四边形的周长计算公式 C=(a+b)\*2 根据平行四边形的周长计算公式C=(a\+b)∗2

最 终 得 出 p 周 长 = ( 30 + 24 ) ∗ 2 = 108 m 最终得出p周长=(30+24)\*2=108m 最终得出p周长=(30\+24)∗2=108m

…  
其实此题的解法很多，比如说已知面积等于540，高等于18，根据面积将公式S=ah。540=18*a，那么四边形的底a自然等于30  
或者说三角形面积*2/高也等于底，不过它本质上和根据平行四边形面积和高来求底没有区别

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1.  梯形

> 梯形（trapezoid）是只有一组对边平行的四边形 \[1\] 。平行的两边叫做梯形的底边：较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形（right trapezoid）。两腰相等的梯形叫等腰梯形（isosceles trapezoid）

梯形的面积计算  
![在这里插入图片描述][20210109194821261.png]  
通过学习三角形的面积计算，可以衍生出梯形的面积计算公式，通过把梯形沿某个斜边翻转来得到一个平行四边形，那么可以推出梯形的面积计算公式  
 假 设 上 底 为 a , 下 底 为 b ， 高 为 h 假设上底为a,下底为b，高为h 假设上底为a,下底为b，高为h

S = ( a + b ) ∗ h / 2 S=(a+b)\*h/2 S=(a\+b)∗h/2

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1.  初次接触等差数列

> 等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。  
> 简单来说就是设定一个数2，以下每一行都是当前行的数量+1  
> ![在这里插入图片描述][2021010920045857.png]  
> 这堆木头最顶层有2根，倒数第二层有3根，直到最后的第一层有6根  
> 通过最基本的数一数可以得知 2+3++4+5+6=20根

通过结合梯形的公式，(2+6)\*5/2,可以快速的求出木头一共20根

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## 正数 ##

> 阿拉伯数字由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10个计数符号组成。采取位值法，高位在左，低位在右，从左往右书写。借助一些简单的数学符号（小数点、负号、百分号等），这个系统可以明确的表示所有的有理数。为了表示极大或极小的数字，人们在阿拉伯数字的基础上创造了科学记数法

1.  偶数 是2的倍数的叫做偶数，例如2，4，6，8，10，12…
2.  奇数 不是2的倍数的叫奇数，例如1，3，5，7，9，11…  
    奇数+奇数=偶数，41+41=82  
    奇数+偶数=奇数，41+42=83  
    偶数+偶数=偶数，42+42=84
3.  完全数 一个数的因数相加等于它自己，那么这个数是完全数，例如6的因数是1，2，3，6，除去6以外1+2+3=6
4.  质数(素数) 正整数中，一个数如果只有1和它本身两个因数，例如2，3，5，7  
    2=1x2  
    3=1x3  
    5=1x5  
    7=1x7  
    而9不是质数，1x9=9,3x3=9,那么9的因数是1,3,9，它不是一个 质数
5.  合数 正整数中，一个数除了1和它自己以外还有其他因数，例如4，6，9，15  
    4=1x4,4=2x2  
    6=1x6,6=2x3  
    9=1x9,9=3x3  
    15=1x15,15=3x5  
    1既不是质数，也不是合数
6.  互质数 公因数只有1的两个数叫互质数，例如5合7，7和13，他们都只能被1整除，只有一个公因数1  
    互质数里两个数必须都是质数，互质数的条件是两个数只有一个公因数1，而合数的条件是除了1外还有其他因数

…手动分割线

![在这里插入图片描述][20210109203745471.png]

1.  错误，9是一个奇数，9的因数有1，3，9。而9是一个合数，并不是质数
2.  错误，2是偶数，但是2是一个质数，它的因数只有2
3.  错误，1既不是质数，也不是合数
4.  错误，2和3都是质数，2+3=5，5不是偶数

…手动分割线

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## 负数 ##

> 负数是数学术语，比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。负数用负号（Minus Sign，即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。

> 0既不是正数也不是负数

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## 分数 ##

> 分数原是指整体的一部分，或更一般地，任何数量相等的部分。表现形式为一个整数a和一个整数b的比（a为b倍数的假分数是否属于分数存在争议 \[1-2\] ）。  
> 分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。分子在上，分母在下。 \[3\]  
> 当分母为100的特殊情况时，可以写成百分数的形式，如1%

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th></th> 
   <th></th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>真分数</td> 
   <td>分子比分母小的分数叫真分数，真分数小于1</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>假分数</td> 
   <td>分字比分母大或者相等的分数叫分数，假分数 大于等于1</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>带分数</td> 
   <td>5/11，可以看做是5/10和5/1合成的数，写作<img src="https://img-blog.csdnimg.cn/20210109205205115.png" alt="在这里插入图片描述">,又叫二又五分之一</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>倒数</td> 
   <td>3/8和8/3相乘等于1，3<em>8/8</em>3=1</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

> 分数的分字和分母同时乘以或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变

**约分**

> 把分数化成最简分数的过程就叫约分。约分是分式约分，把一个分数的分子、分母同时除以公约数，分数的值不变。约分的依据为分数的基本性质。

30/24是可以约分的数字，通过把分字和分母都处于一个最大公因数  
30的因数有: 1,2,3,5,6,10,15,30  
24的因数有: 1,2,3,4,6,8,12,24  
他们的公因数有: 2,3,6

30/24来除以他们的最大公因数6，可以得到结果5/4，5/4就是30/24的**最简分数**

**通分**

> 通分（reduction of fractions to a common denominator）根据分数（式）的基本性质，把几个异分母分数（式）化成与原来分数（式）相等的同分母的分数（式）的过程，叫做通分  
> 简单来说就是把异分母分数变成同分母分数

黄豆的蛋白质含量是2/5  
蚕豆的蛋白质含量是1/4  
肉眼比较的话很难直接比较出两个分数的大小，因此需要通分  
2/5=2x4/5x4=8/20  
1/4=1x5/4x5=5/20  
因此得出结论，黄豆的蛋白质含量更高  
**异分母分数的分母相乘实际上也是两个分母的最小公倍数**

**分数运算**  
运算之前一般都要给分数约分，拿到最简分数，然后把异分母分数同分  
**运算完后可能可以再次约分**

…手动分割线

**因式分解(分解质因数)**

> 利用分解质因数的方法，可以简单的求出两个数的最大公因数或者最小公倍数

**求最大公因数**  
 24 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 24=2\*2\*2\*3 24=2∗2∗2∗3

36 = 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 3 36=2\*2\*3\*3 36=2∗2∗3∗3

24 和 36 的 最 大 公 因 数 = 2 ∗ 2 ∗ 3 = 12 24和36的最大公因数=2\*2\*3=12 24和36的最大公因数=2∗2∗3=12

**求最大公因数因式分解法则:**  
![在这里插入图片描述][20210109210630347.png]  
**求最大公因数因式分解应用**  
现有12\*16平方的房间，要求用地砖铺满整个房间，为方面，选择面积比较大的地砖而不是1平米的砖，现要求计算砖的大小为多少合适

16的因数: 1,4,8,16  
12的因数: 1,2,3,4,6,12

**可以得知12和16的最大公因数为4米，选择4米的砖最合适**

…  
**求最小公倍数**  
 60 = 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 5 60=2\*2\*3\*5 60=2∗2∗3∗5

42 = 2 ∗ 3 ∗ 7 42=2\*3\*7 42=2∗3∗7

60 和 42 的 最 小 公 倍 数 = 2 ∗ 3 ∗ 10 ∗ 7 = 420 60和42的最小公倍数=2\*3\*10\*7=420 60和42的最小公倍数=2∗3∗10∗7=420

**求最小公倍数因式分解法则:**  
![在这里插入图片描述][20210109212901916.png]

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## 数字的运算 ##

**非整数除法: 13除以4等于=3余1**

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th></th> 
   <th></th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>除数</td> 
   <td>除以4，4就是除数</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>被除数</td> 
   <td>13除以，13就是被除数</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>商</td> 
   <td>等于结果3，3就是结果</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>余数</td> 
   <td>13除以4无法整除，多余了一个1</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

**整数除法: 12除以4等于=3**

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th></th> 
   <th></th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>倍数</td> 
   <td>3被12和4整除，并且没有余数，那么4的3倍=12，这里的3就是倍数</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>公倍数</td> 
   <td>3的倍数有3，6，9，12，15… 4的倍数有4，8，12，16…，其中12是3和4的公倍数，3和4的公倍数还有12，34，36，48…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>最小公倍数</td> 
   <td>3和4的公倍数有12，34，36，48…,其中12是最小的，记作3和4的最小公倍数</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>因数</td> 
   <td>除数和商是被除数的因数，例如12/2=6，12和2是6的倍数，2和6是12的因数</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>公因数</td> 
   <td>1，2，4是8和12的公有因数，叫做公因数</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>最大公因数</td> 
   <td>1，2，4是8和12的公因数，其中4是8和12最大的公因数，记作8和12的最大公因数</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

> 一个数的最小因数是1，最大因数是它自己  
> 一个数的最小倍数是自己，最大倍数为无穷

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## 圆形 ##

> 在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆（circle）。这个定点叫做圆的圆心。  
> 圆形一周的长度，就是圆的周长。能够重合的两个圆叫等圆，等圆有无数条对称轴。  
> 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但永远无法等于0。

> π=3.1415926535…计算时通常取近似值3.14。我们可以说圆的周长是直径的π倍，或大约3.14倍，不能直接说圆的周长是直径的3.14倍。

正圆的周长:  
 C = 2 π r C=2πr C=2πr

正圆的面积:  
 S = π r 2 S=πr^2 S=πr2

…  
割圆术

> 3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法。  
> 数学意义：“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。  
> 历史意义: “割圆术”，是无限切割来拼凑出正多边形，同时也是人类首次引入极限和无穷小分割引入数学证明

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]![在这里插入图片描述][20210109225055510.png]

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**圆柱体**

> 圆柱（cylinder）是由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体。

**圆柱体的面积计算**  
![在这里插入图片描述][20210109231110788.png]1. 先计算圆的周常和面积  
2. 圆的周常就是侧面展开的长度，根据高和侧面长度计算出侧面面积  
3. 最后得出圆柱体的面积

Q: 假设一个杯子高15cm。直径10cm。想要在被子的侧面粘贴广告，问需要多少平方厘米的广告  
 设 高 为 h ， 已 知 道 h = 15 设高为h，已知道h=15 设高为h，已知道h=15

设 直 径 为 d ， 已 知 道 d = 10 , 可 得 半 径 r = 5 设直径为d，已知道d=10,可得半径r=5 设直径为d，已知道d=10,可得半径r=5

已 知 圆 周 长 公 式 周 长 C = 2 π r 已知圆周长公式周长C=2πr 已知圆周长公式周长C=2πr

C ≈ 2 ∗ 3.14 ∗ 5 ≈ 31.4 C≈2\*3.14\*5≈31.4 C≈2∗3.14∗5≈31.4

已 知 长 方 形 公 式 面 积 S = w h 已知长方形公式面积S=wh 已知长方形公式面积S=wh

圆 柱 体 的 侧 面 是 一 个 长 方 形 ， 长 方 形 的 宽 就 是 圆 柱 体 切 面 圆 的 周 长 ， 得 知 w = 31.4 圆柱体的侧面是一个长方形，长方形的宽就是圆柱体切面圆的周长，得知w=31.4 圆柱体的侧面是一个长方形，长方形的宽就是圆柱体切面圆的周长，得知w=31.4

S = 31.4 ∗ 15 = 471 c m 2 S=31.4\*15=471cm^2 S=31.4∗15=471cm2

…

**圆柱体的体积计算**  
![在这里插入图片描述][20210109232223915.png]  
通过无穷切割法来看，可以把一个圆柱体拼凑成一个立方体  
通过立方体的体积公式可以算出圆柱体的体积计算公式  
 V = π r 2 h V=πr^2h V=πr2h

Q: 一个圆柱体的高是10m，底面直径是2m，这立方体的体积是多少?  
A：  
 V = π r 2 h V=πr^2h V=πr2h

V = 3.14 ∗ 2 / 2 ∗ 10 V=3.14\*2/2\*10 V=3.14∗2/2∗10

V = 3.14 ∗ 10 V=3.14\*10 V=3.14∗10

V = 31.4 m 3 V=31.4m^3 V=31.4m3

…

## 圆锥 ##

> 圆锥是一种几何图形，有两种定义。解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴

**圆锥体积计算**

V = 1 / 3 S h V=1/3Sh V=1/3Sh

[20210109190750698.png]: /images/20221119/c36ee52fb39444e7901ee79657a894a8.png
[20210109190942276.png]: /images/20221119/76218a79894d4914a098b184162e3d46.png
[20210109191230579.png]: /images/20221119/f2d083367b92409199972878294c0c9e.png
[2021010919160486.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/2021010919160486.png
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