真空灾难：物理学最著名的未解难题之一

怼烎@ 2022-12-15 12:44 130阅读 0赞

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图源：unsplash

量子场论（QFT）是粒子物理学标准模型（包括电弱相互作用和强相互作用理论）的框架，量子电动力学（QED）以前所未有的精确度预测了物理量的值。例如，µ子磁偶极矩的实测值为233 184 600 (1680) × 10⁻¹¹，通过QED理论预测得到的值为：233 183 478 (308)× 10⁻¹¹。理论预测值与实测值的高度一致着实令人震惊。

量子场论之所以如此出名，也与其散度息息相关。其中最重要的散度当属真空能量密度（或真空期望值，通常将其称为VEV）。每个量子场都对应一个发散的零点能量。所有模态相加（直到物理学上合理的能量或频率截止为止），就会得到一个巨大的真空能量密度值。

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（图1：费曼图中所示的量子场论中散度的例子。左图中，一个光子产生了一个虚电子-正电子对，随后湮灭（真空极化）。右图中，一个电子发射并重新吸收了一个虚光子（自能）。  
）

然而，广义相对论预测的和实验观察到的真空能量是非常小的。两种理论得出的预测值截然不同，结果相差120个数量级。

宇宙常数问题，又名真空灾难，是现代物理学中最重要的未解难题之一。真空能量密度的实验测量值与通过量子场论推测出的理论零点能之间存在巨大差距，而宇宙常数问题恰恰是这一巨大差距的体现且比这一差距还要大得多。霍布森（Hobson）、埃夫斯塔修（Efstathiou）和莱曾比（Lasenby）（这三人名字首字母缩写为HEL）将其称为“物理学史上最糟糕的理论预测”。

考虑引力时，计算这一能量密度就十分困难，因为在广义相对论中，任何形式的物质或能量都必须加上真空能量（在其他场中，可以减去真空能量，这个稍后再讨论）。

**爱因斯坦引力理论概览**

1915至1916年间，爱因斯坦总结出广义相对论的公式。其引力场方程表明，时空扭曲是由该区域附近物质及辐射的能量和动量造成的。

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图2：由于太阳的存在而导致的时空扭曲。

下图说明了时空曲率和其内部能量与动量之间的对应关系：

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分别用张量G，R，T表示，方程为：

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方程1：用爱因斯坦张量G，里奇曲率张量R，和标量曲率R（里奇张量R的迹）表示的爱因斯坦引力场方程。

里奇曲率张量R度量了时空的几何特性究竟偏离寻常欧氏空间几何特性的程度。

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图3：流形（此处为正曲率）的几何特性（在此图中为两点之间的距离）与寻常欧氏空间几何特性之间的不同。

方程1中的张量g为度规张量g：

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方程2：度规张量g。

对应的线元（表示无穷小位移）可表示为：

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方程3：对应张量g的线元。

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图4：三维欧氏空间中的矢量线元dr（绿色部分），其大小的平方等于线元。

右边的张量T为能动张量。它包含了能使时空变形的物质和能量信息。

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方程4：能动张量T的分量。

**宇宙学概览**

在广义相对论提出一年之后，1917年，爱因斯坦在《广义相对论下的宇宙学思考》一文中将广义相对论应用于整个宇宙（当时物理学界认为宇宙只有银河系），这篇论文的发表标志着现代宇宙学的诞生。

在这篇论文中，爱因斯坦把整个宇宙假想成一个静态的封闭空间几何体（一个有限却没有边界的三维球体）。然而，爱因斯坦通过广义相对论推算出宇宙是不断收缩的，而非静态的。为了解释静态宇宙的存在，爱因斯坦只能将一个新的项——宇宙常数Λ（物质和真空能量的恰当组合）引入方程1：

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方程5：含有新项宇宙常数Λ的爱因斯坦引力场方程。

人们所知的宇宙便是爱因斯坦的静态宇宙，并不具有实践意义。

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图5：爱因斯坦和他于1917年发表的论文，在文中他将广义相对论应用于整个宇宙。

爱因斯坦之所以能将与引力g相关的宇宙常数引入方程1，主要是因为G和T的协变导数∇都为零：

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方程6：G和T的协变导数∇都为零。

由于度规张量也具有这一性质，

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方程7：度规张量的协变导数为零。

因而引入这一项并不会破坏方程的一致性。在弱场极限（或牛顿极限）的条件下，可以得到如下方程：

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方程8：通过牛顿极限可以看到，宇宙常数Λ是一种万有斥力，与距离r线性相关。

可以看到，宇宙常数Λ是一种万有斥力，与距离r线性相关。

**膨胀的宇宙**

然而，1929年，美国天文学家爱德文·哈勃发现：

· 几个被认为是尘埃和气体云的物体实际上是银河系以外的星系，是在爱因斯坦将宇宙常数Λ引入引力场方程之后才为人们所知晓的。

· 河外星系退行速度的加快与其到地球的距离相关（即“哈勃定律”）。

· 他的发现，以及先前比利时天主教神父、数学家、天文学家乔治·勒梅特的研究都认为宇宙在不断膨胀。

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图6：如何计算哈勃常数。

因此，正如爱因斯坦自己所想，宇宙膨胀表明没有必要引入宇宙常数。在与乌克兰裔物理学家和宇宙学家乔治·伽莫夫的一次谈话中，爱因斯坦提到引入宇宙常数是他一生中犯下的最大错误。

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图7：爱德文·哈勃（左）和乔治·勒梅特（右），他们的研究表明宇宙正在不断膨胀。

**另一种视角看宇宙常数**

而今，人们以一种全新的视角来看宇宙常数。事实上，正是由于宇宙常数的存在才有了这一惊人的实验结果：我们的宇宙不仅在膨胀，而且在加速膨胀。膨胀的各个阶段如下图所示。当遥远星系的退行速度随时间的推移而加快时，就会出现加速膨胀。

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图8：宇宙加速膨胀。

**弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）****度规**

如果存在一个非常大的区域（如星系团，其范围达到100 Mpc，1Mpc=1000000pc，其中1pc相当于31万亿公里），那么宇宙的几何形状（度规空间）近似均匀（在所有位置都相同），各向同性（在所有方向都相同）。（参见图10）

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图9：IDCS J1426星系团的质量约为500万亿个太阳的质量。

下图阐明了各向同性和均匀性概念：

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图10：各向同性和均匀性概念。

基于这些假设，就可以算出爱因斯坦引力场方程的解，推测出宇宙是一个常曲率空间，即弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）宇宙。其空间可以用不同的方程表示。一种方程为：

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方程9：表示FRW度规空间的一个方程。

其中函数a(t)是和宇宙大小相关的宇宙标度因子。参数k描述了FLRW度规的几何形状。k可能为+1、0、-1，分别对应正曲率宇宙、零曲率宇宙和负曲率宇宙。

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图11：方程9中k的三个可能取值分别为1、0、-1，分别对应正曲率宇宙、零曲率宇宙和负曲率宇宙。

引入球坐标系：

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方程10：用无量纲径向曲率表示的球坐标系。

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图12：球坐标系，图中的r就是方程10中带波浪号的r。

定义坐标：

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方程11：通常在r上方标注 ~ 来表示参数r。

其中波浪号 ~标识一般径向变量FLRW度规，现在引入时间部分，线元就变成了下面这个方程：

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方程12：表示FLRW线元的一种更加简便的方法。

时空中的点和时空坐标是两个不同的概念，理解这一点非常重要。坐标是赋给点的标签，因此坐标的选择不会改变物理定律。坐标r、θ、ϕ被称为共动坐标。随着宇宙标度因子a(t)的增大，点与点之间的距离也随之增大，但共动坐标系中的距离保持不变。

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图13：图中宇宙标度因子R(t)对应函数a(t)。

假设大范围的各向同性和均匀性，能动张量T成为“完美流体”的能动张量：

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方程13：完美流体的能动张量。

其中ρ为质量-能量密度，p为流体静压力。

完美流体的定义：

· 完全由静止坐标系中的质量密度ρ和各向同性压力p表示。

· 没有剪切应力、粘度或热传导。

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图14：一个完美流体流过一个无限长的圆筒。

例如，T在静止坐标系中，那就变得简单多了：

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方程14：完美流体在静止坐标系中的能动张量。

有了更简单的T，就可以只用两个量来描述物质——密度ρ和压力p：

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需要注意，二者都只与宇宙标度因子a(t)相关。然后，爱因斯坦引力场方程就变成了著名的刻画标度因子的弗里德曼方程：

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方程15：当能动张量均匀且各向同性时，弗里德曼方程便是爱因斯坦引力场方程。

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图15：俄罗斯物理学家亚历山大·弗里德曼，摄于1922年前后。

第三个重要的方程是状态方程，即方程6右边描述FLRW宇宙的方程：

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方程16：描述FLRW宇宙的状态方程。

根据霍布森、埃夫斯塔修和莱曾比三人的研究，现在讨论一些状态方程特殊且压力为负的未知物质：

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方程17：由宇宙常数Λ造成的真空能量为正时，压力p<0。负压驱动de加速膨胀。

在此情况下，张量T用（参见完美流体中T的表达式）如下方程表示：

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方程18：由于T只与时空的几何形状相关，T表示真空本身的一种性质，ρ则为真空能量或空间的能量密度。

张量T与坐标的选择无关。此处需要注意：T只与时空的几何形状（通过g）相关。因此，它是真空本身的一种性质，ρ则为真空能量或空间的能量密度。现在对比一下方程5和方程19。宇宙常数项和g形式相同。可以写作如下方程：

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方程19：真空能量或空间的能量密度。

因此，宇宙常数等价于真空能量密度：

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方程20：引入宇宙常数即表明真空能量密度的存在。

爱因斯坦引力场方程就变为：

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方程21：含有真空能量张量的爱因斯坦引力场方程。

解方程16得：

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方程22：真空能量密度守恒，因此它最终决定了物质和能量密度。

宇宙学观测得到以下方程：

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方程23：能量密度Λ（即真空能量）的值是通过宇宙观测得到的。

**ΛCDM模型**

根据ΛCDM模型（英文：Lambda-CDM model，为Λ-冷暗物质的简称），宇宙进入暗能量主导的时期后，加速膨胀开始了。

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图16：宇宙能量大致可划分为物质、暗物质和暗能量。

正如前面所解释的那样，宇宙加速膨胀是因为宇宙常数为正（Λ> 0）。后者相当于一种正能量形式，即暗能量。目前在宇宙学标准模型中使用的描述主要包括暗能量和假想的暗物质。

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图17：物理学家根据暗能量的性质预测的宇宙的三种可能结局。

然而，正如物理学家肖恩·卡洛尔（Carroll）所言，广义相对论有以下特点：在非引力物理学（如电磁学）中，只有能量差异与描述物体的运动（能量零点是任意的）有关，在广义相对论中能量的值必须是已知的。那么问题来了：如果能量零点是空态能量，那么真空能量是多少？物理学中最重要的未解难题之一就是如何回答这个问题。

**用量子场论计算真空能量**

用量子场论可以计算任何量子场的量子力学真空能量（或零点能）。这一计算结果可能比通过宇宙学观测得到的上限高出120个数量级。人们相信存在某种方法可以使Λ达到无穷小但不等于零。来计算一下存在于整个宇宙的真空量子能。

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图18：根据海森堡测不准原理，波动虚粒子跃起又消失，因此在短时间内违反能量守恒。

为了计算简便，可以假想一个实无质量标量场φ（而非复杂的电磁场），标量场φ由一个真实的函数φ(x，t)表示。在此情况下，经典哈密顿函数为：

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方程24：经典实无质量标量场的自由哈密顿量。

现将经典场φ按标准量化。对量子真空态取期望值，得到真空能：

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方程25：真空的能量。

用产生和湮灭算符来表示场，进行简单的代数运算，得到真空期望值（在没有粒子的情况下）的如下表达式：

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方程26：真空的能量。

方程26中的第二项表明真空期望值（VEV）是无限的。VEV的无限贡献值就是宇宙常数。正如卡洛尔所指出的，无限值并不是可能无限大空间的结果：它是我们对高频模态求积分的结果。如果我们用截断展开法求积分极限，就会得到：

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方程27：除极高频模态外的真空能量。

如果QFT对像普朗克能量一样高的能量有效，就可以得到：

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方程28：当QFT对像普朗克能量一样高的能量有效时，VEV的数量级。

用方程28除以方程23，就得到了著名的系数120。

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