隐马尔可夫模型_前向后向算法_维特比算法

àì夳堔傛蜴生んèń 2022-12-07 15:30 272阅读 0赞

# 1.简介 #

马尔可夫模型是一种**无记忆**的模型，即在序列中**t**时刻状态只和**t-1**时刻相关，这是一种直接的关系。所谓的**隐马尔可夫模型**说的就是**t**时刻的状态和**t-1**时刻**间接相关**，也就是说两个观测变量之间并没有直接的关系，但是他们的隐藏变量序列符合马尔科夫性质。很多看似不相关的事物中，都会有一种隐性的关系。要了解这种隐性关系，就需要找到隐藏变量，并且发现其中的规律。这确实是一种很迷人的理论，他让我感到了更多的可能性。

# 2.隐马尔可夫模型 #

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**三个参数：**上面的图展示了隐马尔可夫的工作流程，X作为隐变量序列，Y作为观测序列。我们将模型参数定义为:λ=(π,A,B),其中π表示初始状态概率分布，即x在第一个时刻的概率分布；A表示转移矩阵，即X之间的参数；B表示发射矩阵，即X和Y之间的参数；有了这三个参数，我们能够表示出x,y的所有变化的可能性。

**二个假设:齐次马尔科夫假设**(X在t时刻的状态只和t-1时刻有关)和**观测独立假设**(yt只和xt有关)

**三个问题：**隐马尔科夫有三个经典的问题，对应于它能够处理的三种情况。总结起来就是**Evaluation评估问题,Learning学习问题,Decoding解码问题;**

**Evaluation**就是求给定λ下Y的条件概率(即使用模型参数求观测值);Learning就是给定Y求λ(即给定观测数据，学习模型参数)；Decoding就是已知λ和Y求X(即已知模型参数和观测值,求隐变量);

接下来我们详细介绍一下这三个问题。

# 3.**Evaluation** #

前向算法可以理解为从左到右每个时刻每种状态前向概率之和，后向算法是从右到左每个时刻每种状态后向概率之和。最终都可以表示出参数λ对应观测值的条件概率分布。下面我们详细解释一下。

## 1.前向算法 ##

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**直接暴力求解：**

对于evaluation问题来说，我们已知参数λ和观测序列的值，要求的是参数λ下观测序列的概率分布，即**P(Y|λ),**最直接的办法就是求出**P(X|λ)**，再求出**P(Y|X,λ)，**我们得到了隐变量和观测值之间的联合概率。那么再使用边缘概率分布(固定一个变量时，另外一个变量的概率)就可以简单的求出**P(Y|λ)**

但是这个算法需要去遍历隐层序列所有组合的可能性，整个算法的复杂度是指数级的,假设隐藏状态数为N,隐藏序列长度为T,复杂度就是**![O(TN^\{T\})][O_TN_T]**。这里的复杂度解释一下，序列的组合方式有![N^\{T\}][N_T]中，每个序列需要计算T次。对于数量较少的隐藏单元和状态数来说，这是可以接受的。但是隐藏单元和状态数量很多的情况下，这样的计算成本是致命的。

为了解决这个问题，我们决定另辟蹊径。于是我们召唤来了前向算法。

**前向算法：**

前向算法的思想很简单，既然参数λ是已知的，我们定义隐变量序列为I,观测序列为O

1.第一个时刻前向概率：**时刻一的前向概率=π\*发射矩阵**;

![20200917150704224.png][]

2. 后面时刻的前向概率：**t+1时刻的前向概率=t时刻的前向概率\*状态转移矩阵\*发射矩阵**

![20200917150718423.png][]

3.最终我们把每一时刻的前向概率加和就算出了最终基于参数λ的观测序列O的概率分布

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**总结：**前向算法的思想就是从左往右求出每个时刻的前向概率，这是一种动态规划算法，将每一个时刻与前一时刻前向概率的关系抽象出来，这样就可以轻松的使用迭代表示每一个时刻。然后将所有时刻的前向概率求和，就可以得到最终的概率分布**P(O|λ)；**其中第一时刻的前向概率使用**π**乘以**发射矩阵**，**后面每一时刻的前向概率**使用**前一时刻的前向概率**乘以**状态转移矩阵**再乘以发射矩阵。这样我们避免了每一次都遍历序列左右组合的可能性，整个算法的复杂度降为![O(TN^\{2\})][O_TN_2]，比暴力求解办法**![O(TN^\{T\})][O_TN_T]**复杂度有着指数级的下降。

## 2.后向算法 ##

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刚才我们了解了前向算法，其实就是从左往右计算前向概率，然后将每个时刻加起来。所谓的后向算法就是，从右往左计算后向概率，然后将各个时刻加起来。跟前向算法一样，它也是一种动态算法，使用每一时刻和后面时刻状态的关系表示。

前向算法中我们给定t-1时刻前向概率，来计算t时刻的前向概率。前向概率表示的是以隐变量为条件下观测值的概率，那么t时刻的前向概率表示的就是**t时刻隐变量**为条件下，**前面t-1个时刻观测值的概率分布**。因为是从前往后推，第一个时刻隐变量的状态π是已知的，所以我们可以直接进行地递推计算。

后向算法跟前向其实正好相反，我们是假设已知**t时刻隐变量**的条件下，**后面t+1到T时刻观测值的概率分布**。因为是从后往前面推，所以我们需要先定义一个β，来表示我们刚才的假设。

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然后我们来表示从t+1时刻到t时刻β的递推关系。对应着上面的图我们可以解释一下，其实很简单的一个逻辑。既然βt+1表示了t+1时刻条件下，后面所有观测值的条件概率分布。那么用βt+1乘以转移矩阵，可以得到βt，乘以发射矩阵B可以得到 t+1时刻观测值的条件概率分布，综合起来得到的βt就可以表示出隐变量t时刻下，t+1和后面所有时刻观测值的条件概率分布。

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通过递归我们就可以得到第一个时刻隐变量的状态，对应后面所有时刻观测值的条件概率分布。将所有N个状态加起来就得到了λ(初始状态π、转移矩阵、发射矩阵)对应的观测值的概率分布。

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**总结：**对比着前向算法，我们介绍了后向算法的计算逻辑。其思想和前向算法是一样的，都是通过时刻状态之间的关系来动态表示出参数λ和观测值之间的关系。只不过是因为从右往左推，所以我们需要先定义一个变量β来表示我们的假设。即每一个时刻的隐变量对应后面时刻观测值的概率分布。最终得到第一个时刻π条件下，对应后面观测值的概率分布。所以计算时我们需要初始化t时刻β的值。最终算法复杂度为![O(TN^\{2\})][O_TN_2]。

# 4.维特比(Viterbi)算法 #

首先维特比算法对应的HMM三个基本问题中的解码问题，即已知模型λ(π,A,B)和观测序列O;需要求出隐藏状态序列S。实际应用比如：语音识别，已知一段语音信息，推测出最有可能对应的文字信息；

不用担心，以我活了这么长时间的经验来讲，往往听名字越是令人恐怖的算法其实才越简单；维特比算法核心思想就是求最优路径，也就是最有可能的隐藏状态序列组合方式；怎么求呢？这其中有一个小技巧，假设你知道了t时刻到t+1时刻的最优路径(最大概率)，那么你就能得到t时刻之前的最优路径；继续推一下，假设你知道了倒数第二个时刻到最后时刻的最优路径，那么你就可以推出全局的最优路径了。

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![20200926221903891.png][]

请看上面的两幅图，图一是从S到E的所有可能路径；图二是使用维特比进行处理后的路径，明显更加简单一些。仔细观察会发现，第二幅图之所以简单是因为在每一时刻，对应一个状态只有一条路径。可以将这条路径理解为局部最优路径。最后 到状态E的时候，然后再向后追溯便可以消除其它的路径，只留下一条全局最优路径。

# 5.总结 #

本文讲述了隐马尔科夫模型，其是在马尔科夫模型的基础上引入了隐变量，来表达一个序列。并且介绍了马尔可夫三个经典的问题，即学习问题，评估问题，解码问题。最后我们介绍了评估问题的求解方式前向算法和后向算法。后面的学习问题和解码问题，我打算放在下一篇博客中来讲，因为我现在特别想去看电视。

# 6.废话 #

我特别喜欢说废话，因为这给我带来健康。我一直都想找一个小孩子，他待在我的身边，安安静静的。我跟他说话的时候，他的回答深邃到使我感到震惊 。他对于其它人都在追求的那些东西没有太大的兴趣，反而是很乐意去干那些别人觉得无聊的事情。他喜欢发呆，喜欢自言自语，喜欢看着远方的天空沉思，好像他不属于这个世界似的。他努力的表现的和大家一样，希望 别人觉得他是一个正常的孩子。只有一个人的时候，他才会觉得幸福。他喜欢跟一些看不见的东西聊天，不是用语言，而是用心。在这个时候，周围的一切好像都是有生命的一样。我走了，而他却始终坐在那个夕阳下的田边，荡着双腿。我说hi，天就要黑了！快点回家去吧！他就跑着回家去，然后躺在妈妈的怀里睡着了。我已经很长时间没有见他了，我想他了，但是我找不到了。

滴答 - 侃侃

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