C++人该知道的N个问题与做法：浮点数在计算机中的存储方式与精度丢失问题（float，double）

浅浅的花香味﹌ 2022-11-29 12:29 213阅读 0赞

## 浮点数在计算机中的存储方式 ##

对于浮点类型的数据采用单精度类型（float）和双精度类型(double)来存储，float数据占用32bit,double数据占用64bit。

不论是float还是double在存储方式上都是遵从IEEE的规范的

> 无论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分：
> 
> 1.  符号位(Sign) : 0代表正，1代表为负
> 2.  指数位（Exponent）:用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储
> 3.  尾数部分（Mantissa）：尾数部分

单精度与双精度的存储方式如下图所示：

![format_png][]

> 如上图：float的存储为1bit符号位，8bit指数位，23尾数位
> 
> double的存储为1bit符号位，11bit指数位，52尾数位

存储方式都是用科学计数法来存储数据的，比如8.25用十进制的科学计数法表示就为:8.25\*(10^0),而120.5可以表示为:1.205\*(10^2)，在计算机存储中，首先要将上面的数更改为二进制的科学计数法表示。

> 8.25用二进制表示为1000.01，即为1.00001\*(2^3)
> 
> 120.5用二进制表示为1111000.1，即为1.1110001\*(2^6)

IEEE 对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。

当1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。**IEEE 规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。**比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。

对于指数部分，因为指数可正可负，位的指数位能表示的指数范围就应该为:-127-128，指数部分的存储采用移位存储，存储的数据为元数据+127，你也可以理解为指数部分的首位为符号位，1为正，0为负（虽然这是不严谨的）。

指数E还可以再分成三种情况：

**（1）E不全为0或不全为1。**这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。

**（2）E全为0。**这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。

**（3）E全为1。**这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。

所以按照上面的介绍；

> 8.25（1000.01）的存储为 【0】【1000 0010】 【000 0100 0000 0000 0000 0000】
> 
> 符号为正 指数为3 尾数00001

> 120.5（1111000.1）的存储为 【0】【1000 0101】【111 0001 0000 0000 0000 0000】
> 
> 符号为正 指数为6 尾数1110001

而双精度浮点数的存储和单精度的存储大同小异，不同的是指数部分和尾数部分的位数。

> 8.25（1000.01）的存储为 【0】【100 0000 0010】 【0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000】
> 
> 符号为正 指数为3 尾数00001

那么问题来了：

## 精度问题 ##

float单精度的2.2转换为double双精度后，精确到小数点后14位后变为了2.20000004768372，而单精度的2.25转换为双精度后，变为了2.25000000000000，为何2.2在转换后的数值更改了而2.25却没有更改呢？

其实通过上面关于两种存储结果的介绍，我们已经大概能找到答案。

> 2.25的单精度存储方式： 0 1000 0001 001 0000 0000 0000 0000 0000,
> 
> 2.25的双精度存储方式： 0 100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000,

这样2.25在进行强制转换的时候，数值是不会变的，而我们再看看2.2呢，2.2用科学计数法表示应该为：将十进制的小数转换为二进制的小数的方法为将小数\*2，取整数部分，所以得到的二进制是一个无限循环的排列 000110011001100110011...

2.2的float存储为 ： 【0】【1000 0001】【000 1100 1100 1100 1100 1100】 （1100无限循环）

对于单精度数据来说，尾数只能表示24bit的精度，所以当再将其转换成10进制之后就不再是2.2了

而double类型的数据也存在同样的问题，所以在浮点数表示中会产生些许的误差，在单精度转换为双精度的时候，也会存在误差的问题。

这时就会有人很疑问，为什么有的是.999999...而有的却是.00000001...，这就要看下面的舍入规则了;

# 舍入规则 #

> 　　以23位尾数位的单精度浮点数为例，舍入时需要重点参考第24位
> 
> 　　若第24位为1，且第24位之后全部为0。此时就要使第23位为0：若第23位本来就是0则不管，若第23位为1，则第24位就要向第23位进一位，这样第23位就可以为0
> 
> 　　若第24位为1，且第24位之后不全为0，则第24位就要向第23位进一位完成上舍入。
> 
> 　　若第24位为0，此时直接舍去不进位，称为下舍入。

[format_png]: /images/20221124/0bb4656180fd44dabb9ba4b6d2eb90e1.png